الرسوم البيانية أحادية الدائرة القصوى لمؤشر سومبور أويلر Extremal Unicyclic Graphs for the Euler Sombor Index

المجلة: match Communications in Mathematical and in Computer Chemistry، المجلد: 94، العدد: 2
DOI: https://doi.org/10.46793/match.94-2.561t
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Alexandru-Petre Tache وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها

نظرة عامة

مؤشر أويلر سومبور لرسم بياني $ G $ هو مؤشر طوبولوجي جديد يتم تعريفه من حيث درجات رؤوسه، وبالتحديد $ d(u) $ و $ d(v) $ للرؤوس $ u $ و $ v $ في $ G $. تهدف هذه الورقة إلى تحديد أول وثاني وثالث الرسوم البيانية أحادية الدورة الدنيا والعليا من الرتبة $ n $ فيما يتعلق بمؤشر أويلر سومبور لجميع $ n \geq 5 $. تسهم النتائج في فهم خصائص الرسوم البيانية المتعلقة بهذا المؤشر، مما يعزز من توصيف الرسوم البيانية أحادية الدورة.

مقدمة

في هذا القسم، يقدم المؤلفون مفاهيم أساسية من نظرية الرسوم البيانية، حيث يعرفون رسمًا بيانيًا بسيطًا وغير موجه ومتصلاً $ G = (V(G), E(G)) $ حيث تمثل $ V(G) $ الرؤوس و $ E(G) $ الحواف. يتم تعريف مصطلحات رئيسية مثل الجوار $ N_G(u) $، الدرجة $ d(u) $، وأنواع المسارات (المعلقة والداخلية) لتأسيس إطار عمل واضح لمناقشة خصائص الرسوم البيانية. ثم يتحول التركيز إلى مؤشر أويلر سومبور، الذي يُرمز له بـ $ EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u)^2 + d(v)^2 + d(u)d(v)) $، وهو مؤشر طوبولوجي حديث مستمد من نهج هندسي بواسطة I. غوتمان. هذا المؤشر هو جزء من فئة أوسع تعرف بمؤشرات سومبور الطوبولوجية، التي لها تطبيقات هامة في الكيمياء الرياضية.

يبرز المؤلفون أهمية مؤشر أويلر سومبور، مشيرين إلى ارتباطه بالمؤشرات المعروفة وفائدته في التنبؤ بالخصائص الفيزيائية والكيميائية للمواد. يشيرون إلى أن الأبحاث السابقة استكشفت خصائص مختلفة لمؤشر سومبور البيضاوي وتعميماته، بالإضافة إلى مؤشر أويلر سومبور نفسه. تهدف الورقة إلى تعزيز فهم مؤشر أويلر سومبور من خلال تحديد أعلى ثلاثة رسوم بيانية أحادية الدورة الدنيا والعليا من الرتبة $ n $ لجميع $ n \geq 5 $.

النتائج

في قسم النتائج، يقدم المؤلفون نتائج هامة تتعلق بهيكل بعض عائلات الرسوم البيانية. على وجه التحديد، بالنسبة لـ $ n \geq 4 $، يحددون عائلة من السلالات المباشرة للرسم البياني $ C_n $، الذي يُرمز له بـ $ I C_n(k) $، والذي يُعرف بأنه $ C_{n-k+1} + P_{x_1 x_k} $ لـ $ 2 \leq k \leq n – 2 $. هذا يؤسس علاقة أساسية بين $ C_n $ وسلالاته.

علاوة على ذلك، بالنسبة لـ $ n \geq 9 $، يوسع المؤلفون الرسم البياني $ I C_n(k) $ من خلال إظهار أنه يمتلك 12 عائلة متميزة من السلالات المباشرة، تُسمى $ II,i C_n(k) $ لـ $ 1 \leq i \leq 12 $. يتم تمثيل هذه العائلات بصريًا في الشكل 4، مما يوضح تعقيد وغنى الهياكل الرسومية مع زيادة $ n $. يبرز هذا القسم الطبيعة الهرمية لعائلات الرسوم البيانية وترابطها بناءً على المعامل $ n $.

المناقشة

في هذا القسم، يستكشف المؤلفون الرسوم البيانية أحادية الدورة العليا فيما يتعلق بمؤشر أويلر سومبور، الذي يُرمز له بـ $EU$. يعرفون مجموعات محددة من الرسوم البيانية أحادية الدورة بناءً على رتبتها وطول الدورة، مع التركيز بشكل خاص على المجموعة الفرعية $\tilde{U}_{n,3}$، التي تتكون من الرسوم البيانية حيث كل حافة ليست جزءًا من الدورة هي حافة معلقة. يقدم المؤلفون ليمات تؤسس التحولات التي تزيد من مؤشر أويلر سومبور وتصف الرسوم البيانية في $\tilde{U}_{n,3}$ بواسطة ثلاثي من الأعداد الصحيحة يمثل عدد الحواف المعلقة عند كل رأس من رؤوس الدورة. من الجدير بالذكر أنهم يظهرون أنه بالنسبة لـ $n \geq 7$، فإن الرسوم البيانية $U_{0,0,n-3}$، $U_{0,1,n-4}$، و $U_{0,2,n-5}$ هي الثلاثة الأكبر في $\tilde{U}_{n,3}$ بالنسبة لمؤشر $EU$.

علاوة على ذلك، يقدم المؤلفون تحليلًا شاملاً للرسوم البيانية أحادية الدورة الدنيا، التي تُرمز بـ $C_p + P_{x_1x_k}$، ويؤسسون عدم المساواة بين فئات مختلفة من هذه الرسوم البيانية. ويستنتجون أنه بالنسبة لـ $n \geq 7$، فإن مؤشر أويلر سومبور للرسم البياني الدوري $C_n$ أقل من ذلك الخاص برسومه المشتقة، مما يشير إلى وجود هيكل هرمي من حيث مؤشر $EU$. تسهم النتائج في فهم أعمق لخصائص الرسوم البيانية أحادية الدورة ومؤشراتها، مما يؤسس لأساس لمزيد من الاستكشاف في نظرية الرسوم البيانية.

Journal: match Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, Volume: 94, Issue: 2
DOI: https://doi.org/10.46793/match.94-2.561t
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Alexandru-Petre Tache et al.
Primary Topic: Graph theory and applications

Overview

The Euler Sombor index of a graph $ G $ is a novel topological index defined in terms of the degrees of its vertices, specifically $ d(u) $ and $ d(v) $ for vertices $ u $ and $ v $ in $ G $. This paper aims to identify the first, second, and third minimal and maximal unicyclic graphs of order $ n $ concerning the Euler Sombor index for all $ n \geq 5 $. The findings contribute to the understanding of graph properties related to this index, enhancing the characterization of unicyclic graphs.

Introduction

In this section, the authors introduce fundamental concepts from graph theory, defining a simple, undirected, and connected graph $ G = (V(G), E(G)) $ where $ V(G) $ represents the vertices and $ E(G) $ the edges. Key terms such as the neighborhood $ N_G(u) $, degree $ d(u) $, and types of paths (pendent and internal) are defined to establish a clear framework for discussing graph properties. The focus then shifts to the Euler Sombor index, denoted as $ EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d(u)^2 + d(v)^2 + d(u)d(v)) $, which is a recent topological index derived from a geometric approach by I. Gutman. This index is part of a broader category known as Sombor topological indices, which have significant applications in mathematical chemistry.

The authors highlight the relevance of the Euler Sombor index, noting its correlation with established indices and its utility in predicting physicochemical properties of substances. They indicate that prior research has explored various properties of the elliptic Sombor index and its generalizations, as well as the Euler Sombor index itself. The paper aims to advance the understanding of the Euler Sombor index by identifying the top three minimal and maximal unicyclic graphs of order $ n $ for all $ n \geq 5 $.

Results

In the results section, the authors present significant findings regarding the structure of certain graph families. Specifically, for $ n \geq 4 $, they identify a family of direct descendants of the graph $ C_n $, denoted as $ I C_n(k) $, which is defined as $ C_{n-k+1} + P_{x_1 x_k} $ for $ 2 \leq k \leq n – 2 $. This establishes a foundational relationship between $ C_n $ and its descendants.

Furthermore, for $ n \geq 9 $, the authors expand on the graph $ I C_n(k) $ by demonstrating that it possesses 12 distinct families of direct descendants, labeled as $ II,i C_n(k) $ for $ 1 \leq i \leq 12 $. These families are visually represented in Figure 4, illustrating the complexity and richness of the graph structures as $ n $ increases. This section underscores the hierarchical nature of graph families and their interconnections based on the parameter $ n $.

Discussion

In this section, the authors investigate maximal unicyclic graphs concerning the Euler Sombor index, denoted as $EU$. They define specific sets of unicyclic graphs based on their order and cycle length, particularly focusing on the subset $\tilde{U}_{n,3}$, which consists of graphs where every edge not part of the cycle is a pendent edge. The authors present Lemmas that establish transformations that increase the Euler Sombor index and characterize graphs in $\tilde{U}_{n,3}$ by a triplet of integers representing the number of pendents at each vertex of the cycle. Notably, they demonstrate that for $n \geq 7$, the graphs $U_{0,0,n-3}$, $U_{0,1,n-4}$, and $U_{0,2,n-5}$ are the three greatest graphs in $\tilde{U}_{n,3}$ with respect to the $EU$ index.

Furthermore, the authors provide a comprehensive analysis of minimal unicyclic graphs, denoted as $C_p + P_{x_1x_k}$, and establish inequalities among various classes of these graphs. They conclude that for $n \geq 7$, the Euler Sombor index of the cycle graph $C_n$ is less than that of its derived graphs, indicating a structured hierarchy in terms of the $EU$ index. The findings contribute to a deeper understanding of the properties of unicyclic graphs and their indices, establishing a foundation for further exploration in graph theory.