DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-18513-w
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41006754
تاريخ النشر: 2025-09-26
المؤلف: Muhammad Altaf Khan وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذه الدراسة، تم تطوير نموذج عشوائي من رتبة كسرية لانتقال COVID-19، مع دمج آثار التطعيم من خلال المشتق الكسرية لأتانغانا-بالينو بمعنى كابوتو. تلتقط هذه الصياغة جوانب الذاكرة والوراثة لديناميات المرض بشكل أكثر فعالية من المشتقات التقليدية. يقوم المؤلفون أولاً بتأسيس إيجابية وحدود النموذج الحتمي وتحديد نقاط التوازن الخاصة به. ثم يتم توسيع النموذج إلى معادلة تفاضلية عشوائية كسرية (FSDE) لمعالجة التقلبات العشوائية في ديناميات المرض، مع إثبات وجود وحيدة الحلول باستخدام تقنيات التحليل العشوائي. تم تقديم مخطط عددي جديد لحل FSDE، مع الأخذ في الاعتبار الخصائص غير المحلية لمشتق أتانغانا-بالينو.
يتم تقدير معلمات النموذج باستخدام بيانات COVID-19 الحقيقية من باكستان، ويتم إجراء محاكاة عددية لكل من النماذج الحتمية والعشوائية. تكشف هذه المحاكاة كيف يؤثر معامل الرتبة الكسرية على معدلات العدوى والتقارب نحو التوازن، بينما تستكشف أيضًا شروط القضاء على المرض تحت قيم المعلمات المتغيرة. تؤكد النتائج على فائدة النمذجة العشوائية الكسرية في تعزيز فهم ديناميات انتقال COVID-19 وتقييم استراتيجيات السيطرة وسط عدم اليقين. تكمن أصالة هذا العمل في دمج حساب التفاضل الكسرية مع النمذجة العشوائية، مما يوفر نهجًا أكثر دقة لنمذجة الأوبئة. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية دمج التباين المكاني وقطع إضافية لتمثيل تراجع المناعة والعدوى المفاجئة بشكل أفضل.
نقاش
تناقش هذه القسم النمذجة الرياضية لديناميات انتقال COVID-19 من خلال نموذج تقسيمي يدمج كل من الأفراد الملقحين وغير الملقحين. يتم تقسيم السكان إلى ستة أقسام: المعرضون ($S(t)$)، الملقحون ($V(t)$)، المعرضون ($E(t)$)، العدوى غير العرضية ($A(t)$)، العدوى العرضية ($I(t)$)، والمتعافون ($R(t)$). يتم تمثيل النموذج بواسطة نظام من المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية، التي تأخذ في الاعتبار معلمات مختلفة مثل معدلات العدوى، والتطعيم، والتعافي، بالإضافة إلى تراجع فعالية اللقاح مع مرور الوقت. يتم التعبير عن إجمالي السكان في الوقت $t$ كـ $N(t) = S(t) + V(t) + E(t) + A(t) + I(t) + R(t)$.
تتناول هذه القسم أيضًا الانتقال من نموذج ذو رتبة صحيحة إلى نموذج ذو رتبة كسرية باستخدام مشتق أتانغانا-بالينو (AB)، مما يسمح بإدراج آثار الذاكرة ويعكس بشكل أفضل الديناميات المعقدة لانتشار المرض. يتم تسليط الضوء على مزايا النمذجة الكسرية، لا سيما من حيث تحسين التوافق مع البيانات الواقعية وتوقعات أكثر دقة لانتقال المرض. يتم إثبات وجود وحيدة وإيجابية الحلول للنموذج الكسرية، مما يضمن أن النموذج يبقى قابلًا للتطبيق بيولوجيًا. تختتم هذه القسم بتقديم عناصر عشوائية للنموذج، مع الاعتراف بعدم القدرة على التنبؤ الكامنة في ديناميات المرض وضرورة دمج العشوائية لتعزيز واقعية التوقعات.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-18513-w
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41006754
Publication Date: 2025-09-26
Author(s): Muhammad Altaf Khan et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this study, a fractional-order stochastic model for COVID-19 transmission is developed, incorporating vaccination effects through the Atangana-Baleanu fractional derivative in the Caputo sense. This formulation captures the memory and hereditary aspects of disease dynamics more effectively than traditional derivatives. The authors first establish the positivity and boundedness of the deterministic model and identify its equilibrium points. The model is then extended to a fractional stochastic differential equation (FSDE) to address random fluctuations in disease dynamics, with the existence and uniqueness of solutions proven using stochastic analysis techniques. A novel numerical scheme is introduced to solve the FSDE, accommodating the non-local characteristics of the Atangana-Baleanu derivative.
The model parameters are estimated using real COVID-19 data from Pakistan, and numerical simulations are conducted for both the deterministic and stochastic models. These simulations reveal how the fractional-order parameter influences infection rates and convergence to equilibrium, while also exploring conditions for disease elimination under varying parameter values. The findings underscore the utility of fractional stochastic modeling in enhancing the understanding of COVID-19 transmission dynamics and evaluating control strategies amid uncertainty. The originality of this work lies in the integration of fractional calculus with stochastic modeling, providing a more nuanced approach to epidemic modeling. Future research directions include incorporating spatial heterogeneity and additional compartments to better represent waning immunity and breakthrough infections.
Discussion
This section discusses the mathematical modeling of COVID-19 transmission dynamics through a compartmental model that incorporates both vaccinated and unvaccinated individuals. The population is divided into six compartments: susceptible ($S(t)$), vaccinated ($V(t)$), exposed ($E(t)$), asymptomatic infectious ($A(t)$), symptomatic infectious ($I(t)$), and recovered ($R(t)$). The model is represented by a system of nonlinear ordinary differential equations, which account for various parameters such as the rates of infection, vaccination, and recovery, as well as the waning of vaccine efficacy over time. The total population at time $t$ is expressed as $N(t) = S(t) + V(t) + E(t) + A(t) + I(t) + R(t)$.
The section further elaborates on the transition from an integer-order to a fractional-order model using the Atangana-Baleanu (AB) derivative, which allows for the inclusion of memory effects and better captures the complex dynamics of disease spread. The advantages of fractional modeling are highlighted, particularly in terms of improved fitting to real-world data and more accurate predictions of disease transmission. The existence, uniqueness, and positivity of solutions to the fractional model are established, ensuring that the model remains biologically feasible. The section concludes with the introduction of stochastic elements to the model, acknowledging the inherent unpredictability in disease dynamics and the necessity of incorporating randomness to enhance the realism of the predictions.