DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-93095-1
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40246880
تاريخ النشر: 2025-04-17
المؤلف: Zhenyun Du وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تتناول هذه الورقة التحدي المتمثل في نمذجة الديناميات الكسرية في علم الأحياء الحاسوبي، من خلال نهج جديد يعيد صياغة نموذج وبائي من رتبة كسرية باستخدام مشتق من نوع نواة غير مفردة. تشمل المساهمات الرئيسية حساب الرقم التكاثري، المرموز له بـ $R_0$، وهو أمر أساسي لفهم ديناميات الأمراض. يقوم المؤلفون بتطبيق معايير استقرار روث-هورتز ومبدأ لاسيلي الثابت لتحليل استقرار النظام وسلوك التوازن. يتم تحقيق التحقق من النموذج من خلال ملاءمة البيانات والتجارب العددية، مدعومة بنظرية بديل باناش ولياري شودر لتأكيد وجود حلول فريدة. يتم استخدام مخطط توفيق-أتانغانا لمحاكاة عددية، مما يكشف أن استقرار النموذج ينخفض مع زيادة أوامر المخطط ولكنه يتحسن مع مشتقات من رتبة كسرية أقل.
في الخاتمة، تقدم الدراسة تحليلًا مفصلًا لديناميات انتقال COVID-19 باستخدام طرق التفاضل من الرتبة الكسرية (FOD)، مع تضمين قسم للعلاج. يتم حساب الرقم التكاثري $R_0$ عبر طريقة مصفوفة الجيل التالي، مما يشير إلى أن $R_0 < 1$ يؤدي إلى استقرار محلي وإمكانية القضاء على العدوى، بينما $R_0 > 1$ يشير إلى انتشار مستمر. يبرز المؤلفون مزايا المشتقات من الرتبة الكسرية مقارنة بالطرق التقليدية، لا سيما في التقاط الديناميات المعقدة والحفاظ على التوافق مع الشروط الأولية والحدودية. ستركز الأبحاث المستقبلية على تقنيات تحليل الاستقرار المتقدمة للمعادلات التفاضلية العادية غير الخطية مع مشتقات من الرتبة الكسرية في الأنظمة غير الذاتية، بهدف تعزيز فهم الأنظمة الديناميكية وإبلاغ استراتيجيات التحكم الفعالة.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج عددية مستمدة من النظام المحدد بواسطة المعادلات (45) إلى (49)، باستخدام قيم المعلمات المدرجة في الجدول 2. يتم تمثيل النتائج بصريًا في الأشكال 2 و3 و4 و5، التي توضح سلوك النظام (1) تحت اختلافات المعلمات المختلفة. توضح هذه النتائج الرسومية تأثير المعلمات المحددة على ديناميات النظام، مما يوفر رؤى حول سلوكه العام.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون استقرار وديناميات نموذج من الرتبة الكسرية لانتقال COVID-19، باستخدام تعريفات مختلفة للمشتقات الكسرية، بما في ذلك مشتقات كابوتو-فابريزيو ومشتقات أتانغانا-بالينو. يكشف تحليل الاستقرار عن عتبة حرجة، الرقم التكاثري $R_0$، الذي يحدد انتشار المرض: إذا كان $R_0 < 1$، فإن التوازن الخالي من المرض يكون مستقرًا محليًا، مما يشير إلى إمكانية القضاء؛ على العكس، إذا كان $R_0 > 1$، يصبح التوازن غير مستقر، مما يشير إلى استمرار الانتقال. يستنتج المؤلفون الرقم التكاثري من خلال نهج مصفوفة جاكوب، مؤكدين أن الاستقرار المحلي للتوازن الخالي من المرض يعتمد على سلبية القيم الذاتية.
يمتد التحليل إلى الحالة المستوطنة، حيث يستمر المرض، ويحدد الشروط للاستقرار الأسّي المحلي عندما يكون $R_0 > 1$. يستخدم المؤلفون طرقًا عددية، وتحديدًا مخطط توفيق-أتانغانا، للتحقق من نموذجهم مقابل بيانات COVID-19 الحقيقية من سوات، باكستان، مما يظهر قوة النموذج ودقته. تؤكد النتائج على مزايا المشتقات من الرتبة الكسرية في التقاط الديناميات المعقدة مقارنة بالنماذج التقليدية من الرتبة الصحيحة، مما يمهد الطريق لأبحاث مستقبلية حول تقنيات الاستقرار المتقدمة في الأنظمة غير الخطية. بشكل عام، تؤكد الدراسة على أهمية حساب التفاضل الكسر في نمذجة الأوبئة وتأثيراته على استراتيجيات الصحة العامة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-93095-1
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40246880
Publication Date: 2025-04-17
Author(s): Zhenyun Du et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This paper addresses the challenge of modeling fractional dynamics in computational biology, specifically through a novel approach that reformulates a fractional-order epidemic model using a non-singular kernel-type derivative. Key contributions include the calculation of the reproductive number, denoted as $R_0$, which is essential for understanding disease dynamics. The authors apply the Routh-Hurwitz stability criteria and the Lasalle invariant principle to analyze system stability and equilibria behavior. Validation of the model is achieved through data fitting and numerical experiments, supported by the Banach and Leary Schauder alternative theorem to confirm the existence of unique solutions. The Toufit-Atangana scheme is employed for numerical simulations, revealing that model stability decreases with higher scheme orders but improves with lower fractional-order derivatives.
In the conclusion, the study presents a detailed analysis of COVID-19 transmission dynamics using Fractional Order Differential (FOD) methods, incorporating a treatment compartment. The reproduction number $R_0$ is calculated via the next-generation matrix method, indicating that $R_0 < 1$ leads to local stability and potential eradication of the infection, while $R_0 > 1$ suggests ongoing spread. The authors highlight the advantages of fractional-order derivatives over classical methods, particularly in capturing complex dynamics and maintaining compatibility with initial and boundary conditions. Future research will focus on advanced stability analysis techniques for nonlinear ordinary differential equations with fractional-order derivatives in non-autonomous systems, aiming to enhance understanding of dynamic systems and inform effective control strategies.
Results
In this section, the authors present numerical results derived from the system defined by equations (45) to (49), utilizing parameter values listed in Table 2. The findings are visually represented in Figures 2, 3, 4, and 5, which collectively demonstrate the behavior of the system (1) under different parameter variations. These graphical results elucidate the influence of the specified parameters on the system’s dynamics, providing insights into its overall behavior.
Discussion
In this section, the authors discuss the stability and dynamics of a fractional-order model for COVID-19 transmission, utilizing various fractional derivative definitions, including the Caputo-Fabrizio and Atangana-Baleanu derivatives. The stability analysis reveals a critical threshold, the reproduction number $R_0$, which determines the disease’s spread: if $R_0 < 1$, the disease-free equilibrium is locally asymptotically stable, indicating potential eradication; conversely, if $R_0 > 1$, the equilibrium becomes unstable, suggesting ongoing transmission. The authors derive the reproduction number through a Jacobian matrix approach, confirming that the local stability of the disease-free equilibrium is contingent on the negativity of the eigenvalues.
The analysis extends to the endemic state, where the disease persists, establishing conditions for local asymptotic stability when $R_0 > 1$. The authors employ numerical methods, specifically the Toufik-Atangana scheme, to validate their model against real COVID-19 data from Swat, Pakistan, demonstrating the model’s robustness and accuracy. The findings underscore the advantages of fractional-order derivatives in capturing complex dynamics compared to traditional integer-order models, paving the way for future research on advanced stability techniques in non-linear systems. Overall, the study emphasizes the importance of fractional calculus in epidemiological modeling and its implications for public health strategies.