DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-025-03256-z
تاريخ النشر: 2025-03-13
المؤلف: Khurshida Parvin وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تبحث الورقة في استقرار أولام (US) لمعادلات لانجفين التفاضلية الكسرية من نوع كابوتو (FLDEs) تحت شروط حدود تكامل كسرية (FIBCs)، مقدمة إطار عمل أكثر عمومية من الدراسات السابقة التي ركزت فقط على مشتق كابوتو الكسرية. يستخدم المؤلفون مبدأ انكماش باناش (BCP) لإثبات وجود وحيدة الحلول لهذه المعادلات، مدمجين مفاهيم من حساب التفاضل الكسرية والكمية. يتم مناقشة أشكال مختلفة من استقرار أولام، بما في ذلك UHS و GUHS و UHRS و GUHRS، وتدعم النتائج النظرية بأمثلة توضيحية.
في الختام، تنجح الدراسة في تعميم معادلات كابوتو التفاضلية الكسرية (FDEs) ضمن إطار عمل فضاء باناش، مع تحديد شروط محددة تضمن وجود وحيدة واستقرار أولام للنظام المقترح. يستخدم المؤلفون نظرية النقطة الثابتة لشيفر، ونظرية انكماش باناش، ونظرية أرسلا-أسكولي للتحقق من نتائجهم، والتي يتم توضيحها من خلال أمثلة. تشمل الاتجاهات البحثية المستقبلية المقترحة استكشاف مشتقات كابوتو الكسرية مع أوامر في نطاق \(0 < \theta \leq 1\) و \(1 < \theta \leq 2\)، بالإضافة إلى توسيع النموذج ليشمل شروط حدود مختلفة وأنظمة معادلات مرتبطة أو غير محدودة.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة تطور وأهمية حساب التفاضل الكسرية (FC)، وهو مجال جذب اهتمامًا متزايدًا عبر مختلف التخصصات بسبب تطبيقاته في نمذجة الظواهر الفيزيائية المعقدة التي تتميز بتأثيرات الذاكرة والانحلال الشاذ. تعود جذور FC التاريخية إلى مراسلة بين لوي هوبتال وليبنيز في عام 1695، والتي وضعت الأساس لمزيد من التطورات في القرن التاسع عشر من قبل رياضيين مثل ليوفيل وريمون. في العقود الأخيرة، ظهرت المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs) كأدوات قوية لنمذجة العمليات الواقعية، على الرغم من أن عدم خطيتها وتعقيدها يمثلان تحديات كبيرة في إيجاد الحلول.
تقدم الورقة أيضًا حساب التفاضل الكمي (QC)، الذي يعمم حساب التفاضل الكلاسيكي من خلال القضاء على مفهوم الحدود، وتبرز دور حساب التفاضل q في ربط الأطر الرياضية المنفصلة والمستمرة. يتم تقديم مشتق كابوتو الكسرية q كامتداد جديد يدمج المبادئ من كل من FC و QC، مما يسهل نمذجة العمليات العشوائية، خاصة في سياق معادلات لانجفين التفاضلية (LDEs). يؤكد المؤلفون على أهمية دراسة الاستقرار في هذه المعادلات، مشيرين إلى مفهوم استقرار أولام-هاير وامتداداته. تختتم المقدمة بتحديد أهداف الورقة، والتي تشمل استكشاف وجود وحيدة الحلول لمعادلات لانجفين التفاضلية الكسرية من نوع كابوتو مع شروط حدود، مما يعزز التطبيقات النظرية والعملية في هذا المجال.
النتائج
في هذا القسم، يبحث المؤلفون في استقرار أولام-هاير (UHS)، واستقرار أولام-هاير العام (GUHS)، واستقرار أولام-هاير راسيا (UHRS)، واستقرار أولام-هاير راسيا العام (GUHRS) للنظام المحدد بالمعادلة (1.1). تظهر النتائج أنه تحت فرضيات محددة (H1 و H2 و H4 و H5) والشرط \(N_X < 1\)، يظهر النظام UHS ومن ثم GUHS. يثبت البرهان أنه بالنسبة لحل \(x\) من عدم المساواة في (2.3)، فإن العلاقة \(\|x - y\|_Y \leq \frac{C_F \epsilon}{1 - N_X}\) صحيحة، حيث \(C_F = \frac{X}{1 - N_X}\)، مما يؤكد خصائص الاستقرار. علاوة على ذلك، يستنتج المؤلفون حدًا للاختلاف بين الحلول \(x\) و \(z\) كالتالي \(|x(ς) - z(ς)| \leq X \Omega \phi \phi(ς) \epsilon\)، مما يعزز نتائج الاستقرار. يختتم القسم بالقول إنه تحت نفس الفرضيات، يحقق النظام أيضًا UHRS وGUHRS العام، مع الاعتماد في البرهان على عدم المساواة المثبتة وخصائص الحل الفريدة للنظام. تسلط هذه التحليل الشامل الضوء على قوة شروط الاستقرار للنظام المعني.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون معادلات كابوتو التفاضلية الكسرية (FDEs) ضمن إطار عمل فضاء باناش، مؤكدين على وجود وحيدة الحلول للنظام المقترح (1.1). يحدد المؤلفون عدة فرضيات (H1 إلى H5) التي يجب تلبيتها لضمان استمرارية وحدود الدالة \( F \) المعنية في المعادلات. يستخدمون نظريات رياضية رئيسية، بما في ذلك نظرية أرسلا-أسكولي ونظرية انكماش باناش، لإظهار أن المشغل \( \omega \) المحدد في سياق المشكلة هو مضغوط ومستمر، مما يؤدي إلى الاستنتاج بأن النظام يمتلك على الأقل حلاً واحدًا.
علاوة على ذلك، يوضح المؤلفون نتائجهم النظرية من خلال عدة أمثلة، مؤكدين على قابلية تطبيق نتائجهم. يحددون الشروط التي يظهر فيها النظام استقرار أولام (UHS) واستقرار أولام العام (GUHS)، مما يعزز قوة نهجهم. يختتم النقاش باقتراحات لوجهات بحثية مستقبلية، بما في ذلك استكشاف أوامر مختلفة لمشتق كابوتو الكسرية وتوسيع النموذج ليشمل أنظمة أكثر تعقيدًا. بشكل عام، تساهم النتائج بشكل كبير في فهم وحل معادلات كابوتو الكسرية (FDEs)، مما يبرز فعالية الطرق المقترحة.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-025-03256-z
Publication Date: 2025-03-13
Author(s): Khurshida Parvin et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
The paper investigates the Ulam stability (US) of Caputo q-fractional Langevin differential equations (FLDEs) under q-fractional integral boundary conditions (FIBCs), presenting a more generalized framework than previous studies focused solely on the Caputo q-fractional derivative. The authors employ the Banach contraction principle (BCP) to establish the existence and uniqueness of solutions for these equations, integrating concepts from both fractional and quantum calculus. Various forms of Ulam stability, including UHS, GUHS, UHRS, and GUHRS, are discussed, and the theoretical findings are supported by illustrative examples.
In conclusion, the research successfully generalizes the Caputo q-fractional differential equations (FDEs) within a Banach space framework, identifying specific conditions that ensure the existence, uniqueness, and Ulam stability of the proposed system. The authors utilize Schaefer’s fixed-point theorem, Banach’s contraction mapping theorem, and the Arzelà-Ascoli theorem to validate their results, which are further demonstrated through examples. Future research directions suggested include exploring Caputo q-fractional derivatives with orders in the range of \(0 < \theta \leq 1\) and \(1 < \theta \leq 2\), as well as extending the model to different boundary conditions and coupled or infinite systems of equations.
Introduction
The introduction of the paper discusses the evolution and significance of fractional calculus (FC), a field that has garnered increasing interest across various disciplines due to its applications in modeling complex physical phenomena characterized by memory effects and anomalous decay. The historical roots of FC trace back to a correspondence between L’Hôpital and Leibniz in 1695, which laid the groundwork for further developments in the 19th century by mathematicians such as Liouville and Riemann. In recent decades, fractional differential equations (FDEs) have emerged as powerful tools for modeling real-world processes, although their inherent nonlinearity and complexity present significant challenges in finding solutions.
The paper also introduces quantum calculus (QC), which generalizes classical calculus by eliminating the concept of limits, and highlights the role of q-calculus in bridging discrete and continuous mathematical frameworks. The Caputo q-fractional derivative is presented as a novel extension that integrates principles from both FC and QC, facilitating the modeling of stochastic processes, particularly in the context of Langevin differential equations (LDEs). The authors emphasize the importance of investigating stability in these equations, referencing the Ulam-Hyers stability concept and its extensions. The introduction concludes by outlining the paper’s objectives, which include exploring the existence and uniqueness of solutions for Caputo q-fractional Langevin differential equations with boundary conditions, thereby advancing theoretical and practical applications in the field.
Results
In this section, the authors investigate the Ulam-Hyers stability (UHS), generalized Ulam-Hyers stability (GUHS), Ulam-Hyers Rassias stability (UHRS), and generalized Ulam-Hyers Rassias stability (GUHRS) of the system defined by equation (1.1). The results demonstrate that under specific hypotheses (H1, H2, H4, and H5) and the condition \(N_X < 1\), the system exhibits UHS and subsequently GUHS. The proof establishes that for a solution \(x\) of the inequality in (2.3), the relationship \(\|x - y\|_Y \leq \frac{C_F \epsilon}{1 - N_X}\) holds, where \(C_F = \frac{X}{1 - N_X}\), confirming the stability properties. Furthermore, the authors derive a bound for the difference between solutions \(x\) and \(z\) as \(|x(ς) - z(ς)| \leq X \Omega \phi \phi(ς) \epsilon\), reinforcing the stability results. The section concludes with the assertion that under the same hypotheses, the system also achieves UHRS and generalized UHRS, with the proof relying on the established inequalities and the unique solution properties of the system. This comprehensive analysis highlights the robustness of the stability conditions for the system in question.
Discussion
In this section, the authors discuss the Caputo q-fractional differential equations (FDEs) within a Banach space framework, emphasizing the existence and uniqueness of solutions for the proposed system (1.1). The authors establish several hypotheses (H1 to H5) that must be satisfied to ensure the continuity and boundedness of the function \( F \) involved in the equations. They utilize key mathematical theorems, including the Arzela-Ascoli theorem and Banach’s contraction mapping theorem, to demonstrate that the operator \( \omega \) defined in the context of the problem is compact and continuous, leading to the conclusion that the system possesses at least one solution.
The authors further illustrate their theoretical findings through multiple examples, confirming the applicability of their results. They establish conditions under which the system exhibits Ulam stability (UHS) and generalized Ulam stability (GUHS), reinforcing the robustness of their approach. The discussion concludes with suggestions for future research directions, including the exploration of different orders of the Caputo q-fractional derivative and the extension of the model to more complex systems. Overall, the findings contribute significantly to the understanding and solution of Caputo q-FDEs, highlighting the effectiveness of the proposed methods.