DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025768
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Ahmed Elshahhat وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقدير التوزيع الإحصائي وتطبيقاته
نظرة عامة
تقدم ورقة البحث صيغة منفصلة جديدة لتوزيع غومبيرتس-ماكهام (GM)، تُسمى نموذج GM المنفصل (DGM)، والذي تم تصميمه لنمذجة بيانات العمر بشكل فعال والتي تتميز بأوقات أحداث منفصلة. يستخدم المؤلفون تقنية تفكيك دالة البقاء لاشتقاق دالة الكتلة الاحتمالية الأساسية لنموذج DGM، ودالة معدل المخاطر، ودالة التوزيع التراكمي. يقومون بتحليل صارم لمختلف الخصائص الإحصائية، بما في ذلك الكوانتيلات، واللحظات، والانحراف، والتفرطح، وإحصائيات الترتيب، ويتناولون تحديات تقدير المعلمات تحت التعتيم من النوع الثاني باستخدام كل من تقدير الاحتمالية القصوى وطرق الاستدلال بايزي، حيث تستخدم الأخيرة معلومات سابقة غاما وتُنفذ عبر خوارزمية ميتروبوليس-هاستينغز لسلسلة ماركوف مونت كارلو.
تشير النتائج إلى أن نموذج DGM يظهر ملاءمة أفضل مقارنة بالنماذج المنفصلة الموجودة، مثل نموذج نادراجاه-هاجيهي المنفصل، ونموذج ويبل المعدل، ونموذج ويبل، ونموذج غاما، خاصة في التطبيقات الواقعية عبر ثلاث علوم حيوية. يحتفظ نموذج DGM بالخصائص الأساسية لتوزيع GM الأصلي بينما يستوعب معدلات المخاطر المتزايدة، والمتناقصة، والشبيهة بحوض الاستحمام، مما يجعله متعدد الاستخدامات لبيانات البقاء والموثوقية. تؤكد دراسات المحاكاة أن طرق بايزي توفر تقديرات معلمات أكثر موثوقية، خاصة مع أحجام عينات أصغر. تختتم الورقة بالتأكيد على مرونة DGM وبساطته الرياضية، مقترحة اتجاهات بحث مستقبلية تشمل تكييف النموذج لهيكليات بيانات أكثر تعقيدًا وإدماج المتغيرات التوضيحية لتعزيز قابليته للتطبيق في دراسات البقاء والموثوقية.
مقدمة
يعتبر توزيع غومبيرتس-ماكهام (GM) نموذجًا محوريًا في تحليل البقاء، والديموغرافيا، ونظرية الموثوقية، حيث نشأ من أعمال غومبيرتس في عام 1825 وماكهام في عام 1860. يصف هذا النموذج بشكل فعال زيادة الوفيات مع تقدم العمر من خلال دمج خطر ثابت (مصطلح ماكهام) وزيادة خطر تعتمد على العمر (مصطلح غومبيرتس)، ممثلة رياضيًا كـ \( h(t) = A + BC t \)، حيث \( A = \alpha > 0 \)، \( B = \theta > 0 \)، و \( C = e^\mu \) مع \( \mu > 0 \). تمتد تطبيقاته عبر مجالات متعددة، بما في ذلك العلوم الاكتوارية، وعلم الأحياء، والديموغرافيا، وعلم الشيخوخة، وعلوم الحاسوب، والتسويق، مما يبرز مرونته في نمذجة بيانات الوقت حتى الحدث.
على الرغم من استخدامه الواسع في الأطر المستمرة، غالبًا ما تتضمن التطبيقات الواقعية بيانات منفصلة، مما يستلزم تطوير نظائر منفصلة لتوزيع GM. تعالج هذه الدراسة الفجوة في الأدبيات من خلال اقتراح توزيع GM منفصل (DGM) يحتفظ بالميزات الأساسية للنموذج المستمر بينما يتكيف مع قيود البيانات المنفصلة. توضح الدراسة خمس مساهمات رئيسية: الخصائص الرياضية لتوزيع DGM، تطبيق تقنيات تقدير بايزي وتقدير الاحتمالية القصوى، محاكاة مونت كارلو لتقييم سلوك المقدرين تحت ظروف التعتيم المختلفة، وتحليل مقارن يظهر ملاءمة DGM الأفضل مقارنة بالتوزيعات المنفصلة الأخرى. تم هيكلة الورقة لتقديم توزيع DGM، ومناقشة خصائصه، وتفصيل تقدير المعلمات، وعرض نتائج المحاكاة، وتحليل مجموعات بيانات واقعية، مختتمة بملخص للنتائج واتجاهات البحث المستقبلية.
النتائج
يقدم قسم النتائج تحليلًا شاملاً لنتائج المحاكاة، كما هو موضح في الجداول 3-8، والتي تتضمن مقاييس مثل تقدير النقطة المتوسطة (APE)، ومتوسط الخطأ التربيعي (MSE)، والانحياز المطلق المتوسط (MAB)، ومتوسط طول الفترات (AIL)، ونسبة التغطية (CP) لمختلف المعلمات. تشير النتائج الرئيسية إلى أن أداء المقدّر يتحسن مع زيادة حجم العينة ($n$)، مما يظهر اتساقه وقوته. بالإضافة إلى ذلك، ترتبط نسبة الإيجابيات الكاذبة الأعلى (FP%) بدقة محسّنة في كل من تقديرات النقطة والفترة.
يكشف التحليل أيضًا أن مقدرات بايزي تتفوق بشكل كبير على مقدرات القائمة على الاحتمالية، خاصة في سيناريوهات العينات الصغيرة، مما يبرز موثوقيتها. علاوة على ذلك، يُعزى أعلى أداء إلى طريقة فترة الكثافة الخلفية الأعلى (HPD)، التي تتجاوز طريقة الفترة الموثوقة المتوسطة (ACI) بسبب المعلومات الغنية التي توفرها المعلومات السابقة غاما. تدعم هذه النتائج خوارزمية محاكاة مونت كارلو الموضحة، التي تولد بشكل منهجي متغيرات مستقلة موحدة وأعمار من التوزيع المحدد.
المناقشة
يتناول قسم المناقشة في الورقة توزيع DGM (غومبيرتس-ماكهام المنفصل)، الذي يدمج قانون غومبيرتس للوفيات وخطر ماكهام الثابت لنمذجة الوقت حتى الفشل أو الموت. يعد هذا التوزيع مفيدًا بشكل خاص في مجالات مثل هندسة الموثوقية والعلوم الاكتوارية بسبب مرونته في التقاط الفشل العشوائي المبكر وزيادة خطر الفشل مع تقدم العمر. يتم تعريف دالة الكتلة الاحتمالية (PMF) ودالة البقاء لنموذج DGM، مع تسليط الضوء على PMF اللوجاريتمي المقعر، الذي يضمن الاستقرار الهيكلي والانحدار الأحادي، مما يجعله مناسبًا لنمذجة بيانات العمر مع معدلات مخاطر متزايدة.
يناقش القسم أيضًا دالة التوزيع التراكمي (CDF) ودالة معدل المخاطر (HRF) لنموذج DGM، موضحًا أن HRF تزداد بشكل أحادي، مما يظهر معدل فشل متزايد (IFR). هذه الخاصية ضرورية لنمذجة بيانات العمر مع تأثيرات الشيخوخة. كما توضح الورقة الوظائف الإحصائية المرتبطة بتوزيع DGM، بما في ذلك الكوانتيلات، واللحظات، وإحصائيات الترتيب، مع التأكيد على قدرة التوزيع على نمذجة البيانات المنحرفة نحو اليمين والذيل الثقيل. تشير النتائج إلى أن توزيع DGM قابل للتكيف مع سيناريوهات موثوقية متنوعة، مما يلتقط بشكل فعال كل من الفشل المبكر وظواهر البقاء الطويل. يختتم القسم بمناقشة حول طرق تقدير الاحتمالية وطرق بايزي لتقدير المعلمات، مما يبرز قوة النموذج وقابليته للتطبيق في تحليل البيانات الواقعية.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025768
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Ahmed Elshahhat et al.
Primary Topic: Statistical Distribution Estimation and Applications
Overview
The research paper introduces a novel discrete formulation of the Gompertz-Makeham (GM) distribution, termed the discrete GM (DGM) model, which is designed to effectively model lifetime data characterized by discrete event times. The authors employ a survival function discretization technique to derive the DGM’s foundational probability mass function, hazard rate function, and cumulative distribution function. They rigorously analyze various statistical properties, including quantiles, moments, skewness, kurtosis, and order statistics, and address parameter estimation challenges under Type-II data censoring using both maximum likelihood estimation and Bayesian inference methods, the latter utilizing gamma priors and implemented via a Metropolis-Hastings Markov chain Monte Carlo algorithm.
The findings indicate that the DGM model exhibits superior goodness-of-fit compared to existing discrete models, such as the discrete Nadarajah-Haghighi, modified Weibull, Weibull, and gamma models, particularly in real-world applications across three life sciences. The DGM retains the core properties of the original GM distribution while accommodating increasing, decreasing, and bathtub-shaped hazard rates, making it versatile for survival and reliability data. Simulation studies confirm that Bayesian methods yield more reliable parameter estimates, especially with smaller sample sizes. The paper concludes by highlighting the DGM’s flexibility and mathematical simplicity, suggesting future research directions that include adapting the model for more complex data structures and incorporating covariates to enhance its applicability in survival and reliability studies.
Introduction
The Gompertz-Makeham (GM) distribution is a pivotal model in survival analysis, demography, and reliability theory, originating from the works of Gompertz in 1825 and Makeham in 1860. This model effectively describes the increase in mortality with age by combining a constant hazard (Makeham term) and an age-dependent risk escalation (Gompertz term), represented mathematically as \( h(t) = A + BC t \), where \( A = \alpha > 0 \), \( B = \theta > 0 \), and \( C = e^\mu \) with \( \mu > 0 \). Its applications span various fields, including actuarial science, biology, demography, gerontology, computer science, and marketing, highlighting its versatility in modeling time-to-event data.
Despite its extensive use in continuous frameworks, real-world applications often involve discrete data, necessitating the development of discrete counterparts to the GM distribution. This research addresses the gap in literature by proposing a discrete GM (DGM) distribution that retains the essential features of the continuous model while adapting to discrete data constraints. The study outlines five main contributions: the DGM distribution’s mathematical characteristics, the application of Bayesian and maximum likelihood estimation techniques, Monte Carlo simulations to assess estimator behavior under different censoring conditions, and a comparative analysis demonstrating the DGM’s superior fit over other discrete distributions. The paper is structured to introduce the DGM distribution, discuss its properties, detail parameter estimation, present simulation results, and analyze real-world datasets, concluding with a summary of findings and future research directions.
Results
The results section presents a comprehensive analysis of the simulation outcomes, as detailed in Tables 3-8, which include metrics such as average point estimate (APE), mean squared error (MSE), mean absolute bias (MAB), average interval length (AIL), and coverage percentage (CP) for various parameters. Key findings indicate that the performance of the estimator improves with an increase in sample size ($n$), demonstrating its consistency and robustness. Additionally, a higher false positive percentage (FP%) correlates with enhanced precision in both point and interval estimations.
The analysis further reveals that Bayesian estimators significantly outperform likelihood-based estimators, particularly in small sample scenarios, underscoring their reliability. Moreover, the highest performance is attributed to the highest posterior density (HPD) interval method, which surpasses the average credible interval (ACI) method due to the enriched information provided by the gamma prior. These results are supported by the Monte Carlo simulation algorithm outlined, which systematically generates independent uniform variates and lifetimes from the specified distribution.
Discussion
The discussion section of the paper elaborates on the DGM (Discrete Gompertz-Makeham) distribution, which integrates Gompertz’s law of mortality and Makeham’s constant risk to model time to failure or death. This distribution is particularly advantageous in fields such as reliability engineering and actuarial science due to its flexibility in capturing early random failures and the increasing risk of failure with age. The probability mass function (PMF) and survival function of the DGM model are defined, highlighting its log-concave PMF, which ensures structural stability and unimodality, making it suitable for modeling lifetime data with increasing hazard rates.
The section further discusses the cumulative distribution function (CDF) and hazard rate function (HRF) of the DGM model, demonstrating that the HRF is monotonically increasing, thus exhibiting an increasing failure rate (IFR). This property is essential for modeling lifetime data with aging effects. The paper also outlines the statistical functions associated with the DGM distribution, including quantiles, moments, and order statistics, emphasizing the distribution’s ability to model right-skewed data and heavy tails. The results indicate that the DGM distribution is adaptable for various reliability scenarios, effectively capturing both early failures and long survival phenomena. The section concludes with a discussion on likelihood and Bayesian estimation methods for parameter estimation, underscoring the model’s robustness and applicability in real-world data analysis.