DOI: https://doi.org/10.15388/namc.2025.30.38345
تاريخ النشر: 2025-01-09
المؤلف: Jiafa Xu وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل المعادلات التفاضلية غير الخطية
نظرة عامة
في هذه الدراسة، نحقق في مشكلة قيمة الحدود الثلاثية من النوع هادامارد ذات الرتبة الكسرية المعرفة على نصف الخط. من خلال فرض شروط نمو محددة تتعلق بالنصف الطيفي للمشغل الخطي المرتبط، نثبت وجود وتعدد الحلول الإيجابية من خلال نهج النقطة الثابتة. تعزز نتائجنا وتعمم النتائج الموجودة في الأدبيات، مما يساهم في فهم مشاكل قيمة الحدود الكسرية.
مقدمة
في هذه الورقة، يبحث المؤلفون في وجود وتعدد الحلول الإيجابية لمشكلة قيمة الحدود الثلاثية من النوع هادامارد ذات الرتبة الكسرية المعرفة على نصف الخط. يتم التعبير عن المشكلة كما يلي:
\[
D^{\sigma}_{1+} z(t) = -\theta(t) f(t, z(t)), \quad t \in (1, +\infty), \quad z(1) = \delta z(1) = 0, \quad D^{\sigma-1}_{1+} z(+\infty) = b x(\xi),
\]
حيث \(D^{\sigma}_{1+}\) يدل على المشتق الكسرية هادامارد من الرتبة \(\sigma \in (2, 3)\). يحدد المؤلفون شروط (H0)-(H2) على المعلمات المعنية، بما في ذلك شروط الاستمرارية وعدم التلاشي للدوال \(f\) و\(\theta\). يبرزون أهمية حساب التفاضل الكسرية في نمذجة الظواهر الطبيعية، مشيرين إلى دراسات سابقة استخدمت أطر رياضية مماثلة.
تشمل النتائج الرئيسية اثنين من النظريات التي تقدم شروطًا كافية لوجود حل إيجابي واحد على الأقل وحل إيجابيين لمشكلة قيمة الحدود تحت شروط نمو محددة تتعلق بالنصف الطيفي لمشغل خطي ذي صلة. تستفيد الإثباتات من نظريات النقطة الثابتة والنظرية الطيفية، مما يشير إلى نهج جديد لمعالجة التحديات التي تطرحها عدم التجانس في الفترة اللانهائية في سياق مشاكل قيمة الحدود الكسرية من النوع هادامارد.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المشتق الكسرية من النوع هادامارد وتطبيقه في حل مشاكل قيمة الحدود. يتم تعريف المشتق الكسرية من النوع هادامارد من الرتبة σ للدوال \( z: [1, +\infty) \to \mathbb{R} \) باستخدام التمثيل التكامل الذي يتضمن دالة غاما والحدود اللوغاريتمية. يستخرج المؤلفون حلاً لمشكلة قيمة الحدود المميزة بالمشتق الكسرية، موضحين أن الحل يمكن التعبير عنه من حيث دالة غرين \( G(t, s) \)، التي تُبنى من دالة أخرى \( g(t, s) \) وتدمج شروط الحدود.
تُثبت خصائص دالة غرين \( G \) والدالة \( g \)، مع تسليط الضوء على عدم سلبية، واستمرارية، وزيادة هذه الخصائص. يقدم المؤلفون مشغلًا خطيًا \( L \) معرفًا على مخروط من الدوال غير السلبية، مثبتين أن نصف طيفه \( r(L) \) إيجابي. تشير هذه النتيجة، جنبًا إلى جنب مع نظرية كرين-روتمان، إلى وجود دالة ذات قيمة خاصة إيجابية تتوافق مع أول قيمة خاصة لـ \( L \). يختتم القسم باللممات التي تقدم شروطًا يمكن من خلالها تحديد مؤشر النقطة الثابتة للمشغل \( A \)، مما يسهل تحليل الحلول الإيجابية لمشكلة قيمة الحدود.
DOI: https://doi.org/10.15388/namc.2025.30.38345
Publication Date: 2025-01-09
Author(s): Jiafa Xu et al.
Primary Topic: Nonlinear Differential Equations Analysis
Overview
In this study, we investigate a Hadamard-type fractional-order three-point boundary value problem defined on the half-line. By imposing specific growth conditions related to the spectral radius of the associated linear operator, we establish the existence and multiplicity of positive solutions through a fixed-point approach. Our findings enhance and generalize existing results in the literature, contributing to the understanding of fractional boundary value problems.
Introduction
In this paper, the authors investigate the existence and multiplicity of positive solutions for a Hadamard-type fractional-order three-point boundary value problem defined on the half-line. The problem is expressed as:
\[
D^{\sigma}_{1+} z(t) = -\theta(t) f(t, z(t)), \quad t \in (1, +\infty), \quad z(1) = \delta z(1) = 0, \quad D^{\sigma-1}_{1+} z(+\infty) = b x(\xi),
\]
where \(D^{\sigma}_{1+}\) denotes the Hadamard fractional derivative of order \(\sigma \in (2, 3)\). The authors establish conditions (H0)-(H2) on the parameters involved, including continuity and non-vanishing conditions for the functions \(f\) and \(\theta\). They highlight the relevance of fractional calculus in modeling natural phenomena, referencing previous studies that utilized similar mathematical frameworks.
The main results include two theorems that provide sufficient conditions for the existence of at least one and two positive solutions to the boundary value problem under specific growth conditions related to the spectral radius of a relevant linear operator. The proofs leverage fixed-point theorems and spectral theory, indicating a novel approach to addressing the challenges posed by the noncompactness of the infinite interval in the context of Hadamard-type fractional boundary value problems.
Discussion
In this section, the authors discuss the Hadamard-type fractional derivative and its application in solving boundary value problems. The σ-order Hadamard-type fractional derivative is defined for functions \( z: [1, +\infty) \to \mathbb{R} \) using the integral representation involving the gamma function and logarithmic terms. The authors derive a solution to the boundary value problem characterized by the fractional derivative, demonstrating that the solution can be expressed in terms of a Green’s function \( G(t, s) \), which is constructed from another function \( g(t, s) \) and incorporates boundary conditions.
The properties of the Green’s function \( G \) and the function \( g \) are established, highlighting their non-negativity, continuity, and monotonicity. The authors introduce a linear operator \( L \) defined on a cone of non-negative functions, proving that its spectral radius \( r(L) \) is positive. This result, combined with the Krein-Rutman theorem, indicates the existence of a positive eigenfunction corresponding to the first eigenvalue of \( L \). The section concludes with lemmas that provide conditions under which the fixed point index of the operator \( A \) can be determined, thereby facilitating the analysis of positive solutions to the boundary value problem.