DOI: https://doi.org/10.14445/22315373/ijmtt-v72i3p103
تاريخ النشر: 2026-03-25
المؤلف: V. D. Mathpati V. D. Mathpati وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تبحث هذه الدراسة في تطبيق الطرق شبه التحليلية لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية المتعلقة بدوائر RL و RC الكهربائية، والتي تتميز بالذاكرة والتأثيرات غير المحلية. تشمل الطرق المستخدمة طريقة التحويل التفاضلي المعممة (GDTM)، وطريقة التكرار التبايني (VIM)، وطريقة الاضطراب الهوموتوبي (HPM)، وطريقة تحليل أدوميان (ADM). تقدم الدراسة تحليلًا مقارنًا للحلول السلسلية التي تم الحصول عليها من هذه الطرق، مع تسليط الضوء على فعاليتها في توضيح تأثير المعلمات من الرتبة الكسرية على ديناميات الدائرة من خلال التمثيلات الرسومية.
في الخاتمة، تؤكد الدراسة على تقييم الاستجابات العابرة للرتب الكسرية $\alpha = 0.8, 0.9,$ و $1.0$، مما يظهر انتقالًا سلسًا من الاستجابات الكهربائية الكسرية إلى الكلاسيكية. وتجد أن جميع الطرق تعطي حلولًا عددية متطابقة عند استخدام نفس عدد الحدود السلسلية. بالنسبة للدوائر الكسرية الخطية، يتم الإشارة إلى ADM و HPM لفعاليتهما الحسابية وسرعة التقارب، بينما يُوصى باستخدام GDTM و VIM للأنظمة غير الخطية الأكثر تعقيدًا. بشكل عام، تؤكد النتائج على موثوقية وكفاءة الطرق شبه التحليلية في تحليل نماذج الدوائر الكهربائية من الرتبة الكسرية، مما يساهم في تقديم رؤى قيمة للرياضيات التطبيقية والهندسة الكهربائية.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على الأهمية المتزايدة لحساب التفاضل الكسرية كإطار رياضي لنمذجة الأنظمة الديناميكية المعقدة التي تتميز بالذاكرة والخصائص الوراثية. من خلال توسيع التفاضل والتكامل من الرتبة الصحيحة التقليدية إلى رتب حقيقية أو معقدة عشوائية، يسهل حساب التفاضل الكسرية التمثيل الدقيق للظواهر الفيزيائية والهندسية حيث تؤثر الحالات السابقة على الظروف الحالية. لقد استكشفت الأدبيات بشكل موسع المعادلات التفاضلية الكسرية، مع أعمال أساسية من بودلوبني، وأولدهام وسبانيير، وبيترش، من بين آخرين، مما يثبت تطبيقاتها في مجالات مختلفة، وخاصة الهندسة الكهربائية.
في تحليل الدوائر الكهربائية، يعالج حساب التفاضل الكسرية قيود نماذج الرتبة الصحيحة، التي غالبًا ما تفشل في التقاط السلوكيات غير المثالية للمكونات مثل المكثفات والمحاثات. أدت التطورات الأخيرة إلى تطوير نماذج كسرية لدارات RL و RC و RLC، مما يوضح فعاليتها في تمثيل الاستجابات الديناميكية. لقد أغنت إدخال مشغلين كسرين وتقنيات تحليلية جديدة هذا المجال، حيث قدمت دراسات من غوميز-أغيلار وآخرين حلولًا تحليلية وتحليلات مقارنة لمشتقات كسرية مختلفة. على الرغم من التطبيق الواسع لحساب التفاضل الكسرية في الدوائر الكهربائية، لا يزال هناك فجوة في الدراسات المقارنة للطرق شبه التحليلية. تهدف هذه الورقة إلى سد تلك الفجوة من خلال مقارنة منهجية لأربع تقنيات شبه تحليلية لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية في دوائر RL و RC، وبالتالي تقييم فعاليتها وقابليتها للتطبيق في تحليل استجابة الدائرة.
طرق
في هذا القسم، يقدم المؤلفون طرقًا شبه تحليلية لحل المعادلة التفاضلية من الرتبة الكسرية (1). تم تصميم هذه الطرق لتوفير حلول دقيقة مع الاستفادة من الخصائص الفريدة لحساب التفاضل الكسرية. يجمع النهج بين التقنيات التحليلية والتقريبات العددية، مما يسمح بفهم أكثر شمولاً للديناميات التي تصفها المعادلة. يتم إثبات فعالية هذه الطرق من خلال أمثلة متنوعة، مما يبرز قابليتها للتطبيق في معالجة المشكلات المعقدة في الأنظمة من الرتبة الكسرية.
مناقشة
ت outlines قسم المناقشة في الورقة الأسس النظرية والمنهجيات المستخدمة لتحليل المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية، خاصة في سياق الدوائر الكهربائية. يبدأ بتعريفات مشتق كابوتو الكسرية والتكامل، مما يحدد المعادلة الحاكمة للمعادلات التفاضلية الكسرية. ثم يقدم القسم عدة طرق شبه تحليلية لحل هذه المعادلات، بما في ذلك طريقة تحليل أدوميان (ADM)، وطريقة الاضطراب الهوموتوبي (HPM)، وطريقة التحويل التفاضلي المعممة (GDTM)، وطريقة التكرار التبايني (VIM). يتم وصف كل طريقة من حيث نهجها في التعامل مع المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية، مع التأكيد على قدرتها على توفير حلول دون الحاجة إلى خطية أو تمييز.
تظهر تطبيقات هذه الطرق على دوائر RL و RC من الرتبة الكسرية فعاليتها في التقاط الاستجابات العابرة لهذه الأنظمة. تشير النتائج إلى أن الاستجابات من الرتبة الكسرية تظهر ديناميات متأخرة مقارنة بالحالات الكلاسيكية من الرتبة الصحيحة، مما يعكس الطبيعة المعتمدة على الذاكرة للمشتقات الكسرية. تختتم الدراسة بأن جميع الطرق المستخدمة تعطي حلولًا عددية متسقة، مما يبرز الكفاءة الحسابية لـ ADM و HPM للأنظمة الخطية، بينما تعتبر GDTM و VIM بدائل قيمة للسيناريوهات غير الخطية الأكثر تعقيدًا. بشكل عام، تؤكد النتائج على موثوقية وقابلية تطبيق التقنيات شبه التحليلية في تحليل نماذج الدوائر الكهربائية من الرتبة الكسرية، مما يساهم في التقدم في كل من الرياضيات التطبيقية والهندسة الكهربائية.
DOI: https://doi.org/10.14445/22315373/ijmtt-v72i3p103
Publication Date: 2026-03-25
Author(s): V. D. Mathpati V. D. Mathpati et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research investigates the application of semi-analytical methods to solve fractional-order differential equations relevant to RL and RC electrical circuits, which are characterized by memory and nonlocal effects. The methods employed include the Generalized Differential Transform Method (GDTM), Variational Iteration Method (VIM), Homotopy Perturbation Method (HPM), and Adomian Decomposition Method (ADM). The study presents a comparative analysis of the series solutions obtained from these methods, highlighting their effectiveness in illustrating the influence of fractional-order parameters on circuit dynamics through graphical representations.
In the conclusion, the study emphasizes the evaluation of transient responses for fractional orders $\alpha = 0.8, 0.9,$ and $1.0$, demonstrating a smooth transition from fractional to classical electrical responses. It finds that all methods yield identical numerical solutions when the same number of series terms is used. For linear fractional circuits, ADM and HPM are noted for their computational efficiency and rapid convergence, while GDTM and VIM are recommended for more complex nonlinear systems. Overall, the findings underscore the reliability and efficiency of semi-analytical methods in analyzing fractional-order electrical circuit models, contributing valuable insights for applied mathematics and electrical engineering.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the growing significance of fractional calculus as a mathematical framework for modeling complex dynamical systems characterized by memory and hereditary properties. By extending traditional integer-order differentiation and integration to arbitrary real or complex orders, fractional calculus facilitates the accurate representation of physical and engineering phenomena where past states affect present conditions. The literature has extensively explored fractional differential equations, with foundational works by Podlubny, Oldham and Spanier, and Petráš, among others, establishing its applications in various fields, particularly electrical engineering.
In electrical circuit analysis, fractional calculus addresses the limitations of integer-order models, which often fail to capture non-ideal behaviors of components like capacitors and inductors. Recent advancements have led to the development of fractional models for RL, RC, and RLC circuits, demonstrating their effectiveness in representing dynamic responses. The introduction of new fractional operators and analytical techniques has further enriched this field, with studies by Gómez-Aguilar and others providing analytical solutions and comparative analyses of different fractional derivatives. Despite the extensive application of fractional calculus in electrical circuits, there remains a gap in comparative studies of semi-analytical methods. This paper aims to fill that gap by systematically comparing four semi-analytical techniques for solving fractional-order differential equations in RL and RC circuits, thereby assessing their effectiveness and applicability in circuit response analysis.
Methods
In this section, the authors present semi-analytical methods for solving the fractional order differential equation (1). These methods are designed to provide accurate solutions while leveraging the unique properties of fractional calculus. The approach combines analytical techniques with numerical approximations, allowing for a more comprehensive understanding of the dynamics described by the equation. The effectiveness of these methods is demonstrated through various examples, highlighting their applicability in addressing complex problems in fractional order systems.
Discussion
The discussion section of the paper outlines the theoretical foundations and methodologies employed to analyze fractional-order differential equations, particularly in the context of electrical circuits. It begins with the definitions of the Caputo fractional derivative and integral, establishing the governing equation for fractional differential equations. The section then introduces several semi-analytical methods for solving these equations, including the Adomian Decomposition Method (ADM), Homotopy Perturbation Method (HPM), Generalized Differential Transform Method (GDTM), and Variational Iteration Method (VIM). Each method is described in terms of its approach to handling linear and nonlinear differential equations, emphasizing their ability to provide solutions without requiring linearization or discretization.
The application of these methods to fractional-order RL and RC circuits demonstrates their effectiveness in capturing the transient responses of these systems. The results indicate that fractional-order responses exhibit delayed dynamics compared to classical integer-order cases, reflecting the memory-dependent nature of fractional derivatives. The study concludes that all employed methods yield consistent numerical solutions, highlighting the computational efficiency of ADM and HPM for linear systems, while GDTM and VIM serve as valuable alternatives for more complex nonlinear scenarios. Overall, the findings underscore the reliability and applicability of semi-analytical techniques in the analysis of fractional-order electrical circuit models, contributing to advancements in both applied mathematics and electrical engineering.