DOI: https://doi.org/10.3846/mma.2025.22745
تاريخ النشر: 2025-11-11
المؤلف: M. Abdelhakem وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة خوارزمية طيفية جديدة مصممة لمعالجة مسائل القيمة الحدية الكسرية (BVPs) من خلال استخدام المشتقات الكسرية لحدود متعددة الحدود تشيبيشيف المعدلة. الخوارزمية قابلة للتطبيق على كل من مسائل BVP الخطية وغير الخطية، بما في ذلك معادلات براتو، وتستخدم دوال أساسية مشتقة من حدود من الدرجة الأولى التي تلبي بشكل طبيعي الشروط الحدية المتجانسة. إن صياغة المشتقات الكسرية هي جزء أساسي من عملية الحل، مما يعزز فعالية الخوارزمية.
يجري المؤلفون تحليل تقارب للتحقق من صحة توسيع الأساس المقترح، مما يوضح موثوقيته. يتم تقديم نتائج عددية لتوضيح قابلية تطبيق الطريقة ودقتها، مما يؤكد أن الخوارزمية الطيفية هي أداة قوية لحل مسائل BVP الكسرية. بشكل عام، تشير النتائج إلى أن النهج لا يبسط فقط عملية الحل ولكن أيضًا يحقق دقة عالية في النتائج.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على الأهمية المتزايدة لمشاكل القيمة الحدية الكسرية (F-BVPs) عبر مجالات علمية مختلفة، بما في ذلك الفيزياء والكيمياء والهندسة. نظرًا لتعقيد هذه المعادلات، غالبًا ما تكون الحلول الدقيقة غير قابلة للتحقيق، مما يستلزم استخدام طرق عددية. تستعرض الورقة عدة خوارزميات عددية مستخدمة لحل F-BVPs، بما في ذلك دالة ميتاج-ليفيلر، وتقنيات الموجات فايبوناتشي من الدرجة الكسرية، وطرق طيفية متنوعة. من بين هذه، يتم التأكيد على الطريقة الطيفية لدقتها وكفاءتها، مع دمج تقنيات مثل طريقة التجميع، وطريقة غاليركين، وطريقة تاو، التي تستخدم حدودًا متعامدة مثل حدود تشيبيشيف.
يقترح المؤلفون استخدام حدود تشيبيشيف المعدلة (MSCH-Ps) كدالة أساسية لطرقهم الطيفية، مما يضمن الامتثال للشروط الأولية والحدودية. يهدف هذا الاختيار إلى تبسيط عملية الحل لمشاكل F-BVP مع تقليل تعقيد المعادلات الناتجة. توضح الورقة هيكلها، موضحة التعريفات والعلاقات اللازمة للدراسة، ومشتقات الحدود الكسرية لـ MSCH-Ps، وتطبيق طرق غاليركين وتاو في حل F-BVPs. بالإضافة إلى ذلك، تتضمن تحليل الخطأ ومقارنات بين الطرق المقترحة والحلول الموجودة في التطبيقات الواقعية.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المشتق الكسرى من نوع كابوتو من الدرجة $v$ وتطبيقه على حدود تشيبيشيف المعدلة (MSCH-Ps). يتم تعريف المشتق الكسرى باستخدام دالة غاما، ويتم استكشاف خصائص MSCH-Ps، بما في ذلك علاقاتها التكرارية، والتعامد، والشروط الحدية. يقدم القسم أيضًا المشتق من الدرجة الكسرية لـ MSCH-Ps، ويؤسس نظرية تعرف المشتق الكسرى لهذه الحدود من حيث مجموع يتضمن دوال غاما.
ثم ينتقل المؤلفون إلى حل مشاكل القيمة الحدية الكسرية (F-BVPs) باستخدام طريقتين طيفيتين: غاليركين وتاو. يوضحون صياغة F-BVPs، مؤكدين على الحاجة إلى شروط أولية وحدودية متجانسة، ويصفون كيفية تحويل الشروط غير المتجانسة إلى متجانسة. يقدم قسم تحليل الخطأ مفاهيم تتعلق بالتقارب ويقدم نظريات تحدد حدود الخطأ في الحلول التقريبية. يختتم القسم بأمثلة عددية توضح فعالية الطرق المقترحة، مع عرض تطبيقها على أنواع مختلفة من F-BVPs وتأكيد استقرار ودقة الخوارزمية الطيفية المطورة.
DOI: https://doi.org/10.3846/mma.2025.22745
Publication Date: 2025-11-11
Author(s): M. Abdelhakem et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This paper presents a novel spectral algorithm designed for addressing fractional boundary value problems (BVPs) through the use of fractional derivatives of modified Chebyshev polynomials. The algorithm is applicable to both linear and non-linear BVPs, including Bratu equations, and employs basis functions derived from first-kind shifted polynomials that inherently satisfy homogeneous boundary conditions. The formulation of fractional derivatives is integral to the solution process, enhancing the algorithm’s effectiveness.
The authors conduct a convergence analysis to validate the proposed basis expansion, demonstrating its reliability. Numerical results are provided to illustrate the method’s applicability and accuracy, confirming that the spectral algorithm is a robust tool for solving fractional BVPs. Overall, the findings indicate that the approach not only simplifies the solution process but also achieves high precision in results.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the growing importance of fractional boundary value problems (F-BVPs) across various scientific fields, including physics, chemistry, and engineering. Due to the complexity of these equations, exact solutions are often unattainable, necessitating the use of numerical methods. The paper reviews several numerical algorithms employed to solve F-BVPs, including the Mittag-Leffler function, fractional-order Fibonacci wavelet techniques, and various spectral methods. Among these, the spectral method is emphasized for its accuracy and efficiency, incorporating techniques such as the collocation method, Galerkin method, and Tau method, which utilize orthogonal polynomials like Chebyshev polynomials.
The authors propose the use of modified shifted Chebyshev polynomials (MSCH-Ps) as the basis function for their spectral methods, ensuring compliance with initial and boundary conditions. This choice aims to streamline the solution process for F-BVPs while reducing the complexity of the resulting equations. The paper outlines its structure, detailing the definitions and relations necessary for the study, the derivation of fractional derivatives of MSCH-Ps, and the application of the Galerkin and Tau methods in solving F-BVPs. Additionally, it includes an error analysis and comparisons of the proposed methods with existing solutions in real-life applications.
Discussion
In this section, the authors discuss the Caputo fractional derivative of order $v$ and its application to modified shifted Chebyshev polynomials (MSCH-Ps). The fractional derivative is defined using the Gamma function, and the properties of MSCH-Ps are explored, including their recurrence relations, orthogonality, and boundary conditions. The section also presents the fractional order derivative of MSCH-Ps, establishing a theorem that defines the fractional derivative of these polynomials in terms of a summation involving Gamma functions.
The authors then transition to solving fractional boundary value problems (F-BVPs) using two spectral methods: Galerkin and Tau. They outline the formulation of F-BVPs, emphasizing the need for homogeneous initial and boundary conditions, and describe how to transform non-homogeneous conditions into homogeneous ones. The error analysis section introduces concepts related to convergence and provides theorems that establish bounds on the error of the approximated solutions. The section concludes with numerical examples demonstrating the effectiveness of the proposed methods, showcasing their application to various types of F-BVPs and confirming the stability and accuracy of the spectral algorithm developed.