DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026395
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Ammar Abuualshaikh وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة تقنية عددية-تحليلية جديدة تعرف باسم طريقة التحويل التفاضلي العامة الجديدة (NGDTM) لمعالجة المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسرية (FDEs). تستفيد الطريقة من صيغة تايلور العامة جنبًا إلى جنب مع المشتق الكسرية ريمان-ليوفيلي، مما يثبت نظريات صارمة تؤكد على التقارب والتفرد للحلول المستمدة. من خلال أمثلة خطية وغير خطية متنوعة، بما في ذلك نماذج ذات صلة بالتحليل الإحصائي، يظهر المؤلفون أن NGDTM ينتج تقريبًا دقيقًا للغاية، وغالبًا ما يحقق حلولًا دقيقة مع عدد قليل من التكرارات.
بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام إطار عمل NGDTM لاشتقاق التوزيع الأسي الكلاسيكي، جنبًا إلى جنب مع تقديم توزيع أسي كسرية جديد. تؤكد النتائج على فعالية الطريقة كأداة قوية لحل المعادلات التفاضلية الكسرية وتطبيقها في السياقات الإحصائية، مما يبرز إمكانياتها في تقديم حلول دقيقة بكفاءة.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث الأهمية المتزايدة للنماذج الرياضية من الرتبة الكسرية، وخاصة المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs)، في التقاط ديناميات الأنظمة المتأثرة بالحالات الحالية والتاريخية. على عكس المعادلات التفاضلية من الرتبة الصحيحة التقليدية، تستخدم FDEs مشغلين غير محليين لأخذ تأثيرات الذاكرة والوراثة في الاعتبار، مما يجعلها مناسبة بشكل خاص للتطبيقات في مجالات مثل اللدونة، وعلم الأحياء، وتحليل الإشارات. ومع ذلك، غالبًا ما تتطلب تعقيدات FDEs حلولًا تقريبية أو شبه تحليلية بسبب نقص الحلول الدقيقة لمعظم السيناريوهات غير الخطية في العالم الحقيقي. تم تطوير تقنيات متنوعة، بما في ذلك الطرق المعتمدة على الهوموتوبيا ومخططات التحلل، ومع ذلك، غالبًا ما تتضمن حسابات معقدة ومعلمات مساعدة قد تعيق كفاءة التقارب.
لمعالجة هذه التحديات، يقترح المؤلفون طريقة جديدة للتحويل التفاضلي العامة (NGDTM) لحل المعادلات التفاضلية العادية الكسرية (ODEs). تعتمد هذه الطريقة على توسيع تايلور العام والمشتق الكسرية ريمان-ليوفيلي، مما يوفر نهجًا منهجيًا لاشتقاق صيغ التكرار لكل من المشاكل الخطية وغير الخطية دون المساس بالشكل التحليلي للحلول. تظهر NGDTM دقة عالية مع عدد قليل من الحدود وقد تم تطبيقها بنجاح لاشتقاق توزيعات أسي كسرية كلاسيكية وجديدة. تشير النتائج إلى أن NGDTM هي أداة قوية وفعالة لنمذجة الرتبة الكسرية، مع آثار كبيرة على الرياضيات التطبيقية والتحليل الإحصائي.
نقاش
في قسم النقاش من الورقة، يتم تقديم المفاهيم الأساسية لحساب التفاضل الكسرية، بما في ذلك التكامل والمشتق الكسرية ريمان-ليوفيلي. يتم توضيح التعريفات والخصائص لهذه المشغلين، مع التأكيد على استمراريتها والعلاقات بين أوامر التكامل والتفاضل المختلفة. بشكل ملحوظ، يقدم القسم صيغة تايلور الكسرية العامة، التي تشكل أساسًا لطريقة التحويل التفاضلي العامة العددية المقترحة حديثًا (NGDTM). تستفيد هذه الطريقة من خصائص المشتقات الكسرية لاشتقاق معاملات لتقريب الدوال، مما يضع نهجًا منهجيًا لحل المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs).
تظهر NGDTM أنها فعالة في تقريب الحلول لكل من FDEs الخطية وغير الخطية، مع أمثلة توضح تطبيقها على معادلات متنوعة، بما في ذلك تلك التي تؤدي إلى توزيعات أسي. يتم التحقق بدقة من تقارب الطريقة وتفردها، مما يوضح أنها يمكن أن تحقق نتائج دقيقة مع جهد حسابي قليل. علاوة على ذلك، يتم تطبيق NGDTM لاشتقاق توزيع أسي كسرية، مما يعرض إمكانياتها في توليد توزيعات احتمالية جديدة وتعزيز النمذجة الإحصائية في مجالات متنوعة. بشكل عام، تؤكد النتائج على قوة ومرونة NGDTM كأداة لمعالجة المشكلات المعقدة في حساب التفاضل الكسرية ونظرية الاحتمالات.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026395
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Ammar Abuualshaikh et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This paper introduces a novel numerical-analytical technique known as the New Generalized Differential Transform Method (NGDTM) for addressing fractional-order differential equations (FDEs). The method leverages the generalized Taylor formula alongside the Riemann-Liouville fractional derivative, establishing rigorous theorems that confirm the convergence and uniqueness of the solutions derived. Through various linear and nonlinear examples, including models pertinent to statistical analysis, the authors demonstrate that NGDTM yields highly accurate approximations, often achieving exact solutions with minimal iterations.
Additionally, the NGDTM framework is utilized to derive the classical exponential distribution, alongside the introduction of a new fractional exponential distribution. The findings underscore the method’s efficacy as a robust tool for solving fractional differential equations and its applicability in statistical contexts, highlighting its potential for providing precise solutions efficiently.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the increasing relevance of fractional-order mathematical models, particularly fractional differential equations (FDEs), in capturing the dynamics of systems influenced by both current and historical states. Unlike traditional integer-order differential equations, FDEs utilize nonlocal operators to account for memory and hereditary effects, making them particularly suitable for applications in fields such as viscoelasticity, biology, and signal analysis. However, the complexity of FDEs often necessitates approximate or semi-analytical solutions due to the lack of exact solutions for most real-world nonlinear scenarios. Various techniques, including homotopy-based methods and decomposition schemes, have been developed, yet they often involve intricate calculations and auxiliary parameters that may hinder convergence efficiency.
To address these challenges, the authors propose a new generalized differential transform method (NGDTM) for solving fractional ordinary differential equations (ODEs). This method builds on the generalized Taylor expansion and the Riemann-Liouville fractional derivative, offering a systematic approach to derive recurrence formulas for both linear and nonlinear problems without compromising the analytic form of the solutions. The NGDTM demonstrates high accuracy with minimal terms and has been successfully applied to derive classical and new fractional exponential distributions. The findings suggest that NGDTM is a robust and effective tool for fractional-order modeling, with significant implications for applied mathematics and statistical analysis.
Discussion
In the discussion section of the paper, fundamental concepts of fractional calculus are introduced, including the Riemann-Liouville fractional integral and derivative. The definitions and properties of these operators are outlined, emphasizing their continuity and the relationships between different orders of integration and differentiation. Notably, the section presents the Generalized Fractional Taylor Formula, which serves as a foundation for the newly proposed Numerical Generalized Differential Transform Method (NGDTM). This method leverages the properties of fractional derivatives to derive coefficients for approximating functions, establishing a systematic approach for solving fractional differential equations (FDEs).
The NGDTM is shown to be effective in approximating solutions to both linear and nonlinear FDEs, with examples illustrating its application to various equations, including those leading to exponential distributions. The method’s convergence and uniqueness are rigorously validated, demonstrating that it can yield accurate results with minimal computational effort. Furthermore, the NGDTM is applied to derive a fractional exponential distribution, showcasing its potential for generating new probability distributions and enhancing statistical modeling in diverse fields. Overall, the findings underscore the robustness and versatility of the NGDTM as a tool for addressing complex problems in fractional calculus and probability theory.