DOI: https://doi.org/10.1007/s13324-024-00893-3
تاريخ النشر: 2024-03-26
المؤلف: Bouharket Benaissa وآخرون
الموضوع الرئيسي: عدم المساواة الرياضية والتطبيقات
نظرة عامة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون فئة جديدة من الدوال تُسمى دالة B، والتي تُستخدم لتطوير نسخة محسّنة من متباينات هيرميت-هادامارد والتربيعية. تتميز هذه المتباينات بصيغها على الجانب الأيمن التي تتضمن دوال h-convex ومشغلات ψ-Hilfer. بالإضافة إلى ذلك، يقدم المؤلفون متباينات جديدة من نوع نقطة المنتصف تستفيد من خصائص الدوال h-convex، مما يوسع الإطار الحالي للمتباينات التكاملية في التحليل الرياضي.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على أهمية نظرية التقعر في معالجة مجموعة واسعة من المشكلات الرياضية، سواء النظرية أو العملية. تُعرف الدوال المقعرة بشكل خاص بتنوعها، مما يؤدي إلى إنشاء متباينات مختلفة، بما في ذلك متباينة هيرميت-هادامارد المعروفة، التي تلعب دورًا حاسمًا في نظرية التقعر.
يقدم المؤلف فئة جديدة من الدوال تُسمى الدوال h-convex، المعرفة لدالة غير سالبة \( h: J \to \mathbb{R} \) مع \( h = 0 \). تُصنف دالة \( f: I \to \mathbb{R} \) على أنها h-convex إذا كانت تلبي المتباينة \( f(\alpha x + (1 – \alpha)y) \leq h(\alpha) f(x) + h(1 – \alpha) f(y) \) لجميع \( x, y \in I \) و \( \alpha \in (0, 1) \). تشير الورقة إلى أن عكس هذه المتباينة يميز الدوال h-concave. من خلال اختيار أشكال محددة لـ \( h(\alpha) \)، تشمل هذه التعريفات عدة فئات دالة معروفة، بما في ذلك دوال P، ودوال s-convex، ودوال n-fractional polynomial convex، ودوال Godunova-Levin.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون مشغلات التكامل الكسرية $\psi$-Hilfer، المعرفة لدالة إيجابية، متزايدة بشكل صارم وقابلة للاشتقاق $\psi$ التي تتلاشى على فترة محددة $[a, b]$. تعمم هذه المشغلات التكاملات الكسرية التقليدية، مثل مشغلات ريمان-ليوفيلي ومشغلات هادامارد، من خلال دمج الدالة $\psi$. يؤسس المؤلفون فضاءً $X[a, b]$ للدوال التي تكون تكاملاتها بالنسبة لـ $\psi$ محدودة. يظهرون أن هذه المشغلات يمكن استخدامها لاشتقاق متباينات جديدة تتعلق بالدوال h-convex، بما في ذلك نسخ من متباينات هيرميت-هادامارد والتربيعية.
يتناول القسم أيضًا خصائص دوال B ودورها في إثبات هذه المتباينات. يقدم المؤلفون عدة نتائج تمتد بالنتائج إلى فئات محددة من الدوال، مثل الدوال المقعرة والدوال s-convex، ويقدمون براهين مفصلة للمتباينات المستمدة من مشغلات $\psi$-Hilfer. ومن الجدير بالذكر أنهم يظهرون أنه من خلال اختيار أشكال مختلفة من $\psi$، يمكن استعادة المتباينات المعروفة لأنواع مختلفة من المشغلات الكسرية. تسهم النتائج في فهم حساب التفاضل والتكامل الكسرية وتطبيقاتها في نظرية المتباينات، لا سيما في سياق التقعر والمتباينات التكاملية.
DOI: https://doi.org/10.1007/s13324-024-00893-3
Publication Date: 2024-03-26
Author(s): Bouharket Benaissa et al.
Primary Topic: Mathematical Inequalities and Applications
Overview
In this section, the authors introduce a novel function class termed B-function, which is utilized to develop an enhanced version of fractional Hermite-Hadamard and trapezoidal inequalities. These inequalities are characterized by their right-hand side formulations that incorporate h-convex functions and ψ-Hilfer operators. Additionally, the authors present new midpoint-type inequalities that leverage the properties of h-convex functions, thereby expanding the existing framework of integral inequalities in mathematical analysis.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the significance of convexity theory in addressing a wide array of mathematical problems, both theoretical and practical. Convex functions are particularly noted for their versatility, leading to the establishment of various inequalities, including the well-known Hermite-Hadamard inequality, which plays a crucial role in convexity theory.
The author presents a new class of functions termed h-convex functions, defined for a non-negative function \( h: J \to \mathbb{R} \) with \( h = 0 \). A function \( f: I \to \mathbb{R} \) is classified as h-convex if it satisfies the inequality \( f(\alpha x + (1 – \alpha)y) \leq h(\alpha) f(x) + h(1 – \alpha) f(y) \) for all \( x, y \in I \) and \( \alpha \in (0, 1) \). The paper notes that reversing this inequality characterizes h-concave functions. By selecting specific forms for \( h(\alpha) \), this definition encompasses several established function classes, including P-functions, s-convex functions, n-fractional polynomial convex functions, and Godunova-Levin functions.
Discussion
In this section, the authors introduce the $\psi$-Hilfer fractional integral operators, defined for a positive, strictly increasing differentiable function $\psi$ that vanishes on a specified interval $[a, b]$. These operators generalize traditional fractional integrals, such as the Riemann-Liouville and Hadamard operators, by incorporating the function $\psi$. The authors establish a space $X[a, b]$ for functions whose integrals with respect to $\psi$ are finite. They demonstrate that these operators can be used to derive new inequalities related to h-convex functions, including versions of the Hermite-Hadamard and trapezoid inequalities.
The section further elaborates on the properties of B-functions and their role in establishing these inequalities. The authors present several corollaries that extend the results to specific classes of functions, such as convex and s-convex functions, and provide detailed proofs for the inequalities derived from the $\psi$-Hilfer operators. Notably, they show that by selecting different forms of $\psi$, one can recover known inequalities for various types of fractional operators. The results contribute to the understanding of fractional calculus and its applications in inequality theory, particularly in the context of convexity and integral inequalities.