DOI: https://doi.org/10.3846/mma.2026.24019
تاريخ النشر: 2026-06-17
المؤلف: Samaneh Darvishi Khezri وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تتناول هذه الورقة البحثية وجود وخصوصية الحلول لمعادلات فولتر غير الخطية المفردة ذات البعدين مع أوامر كسرية ضمن إطار فضاء باناش. يستخدم المؤلفون مقياس عدم التماسك ونظرية النقطة الثابتة لتأسيس نتائجهم، مشيرين إلى أن هذه المعادلات تعمل كعمومية لمعادلات فولتر غير الخطية المفردة ذات البعدين. لتقريب الحلول، تستخدم الدراسة طريقة الاضطراب المعدلة بالتزامن مع متعددات أدوميان، مما يوضح فعالية النهج من خلال مثال محدد في مجال المعادلات التكاملية غير الخطية المفردة.
تؤكد الاستنتاجات على قابلية حل المعادلات المقترحة وتفصل تقارب الخوارزمية التكرارية المستخدمة لتقريب الحل. يتحقق المؤلفون من نتائجهم من خلال مقارنة النتائج العددية مع تلك التي تم الحصول عليها من طرق أخرى معتمدة، مما يظهر دقة وموثوقية نهجهم. بشكل عام، تسهم الورقة في فهم المعادلات التكاملية غير الخطية وتقدم طريقة قوية لحلها في سياق كسري.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على أهمية المعادلات التكاملية المفردة غير الخطية ذات البعدين من نوع فولتر عبر مجالات علمية متنوعة، بما في ذلك الكيمياء الكمومية ونظرية الحركة. هذه المعادلات، التي تتميز غالبًا بتعقيدها وعدم خطيتها، ضرورية لنمذجة الظواهر الواقعية. تؤكد الدراسة على دور نظرية النقطة الثابتة ومقاييس عدم التماسك في إثبات قابلية حل هذه المعادلات التكاملية، مشيرة إلى أعمال أساسية مختلفة في هذا المجال.
تتناول الورقة بشكل خاص وجود وخصوصية الحلول لفئة معينة من المعادلات التكاملية المفردة غير الخطية ذات البعدين مع ترتيب كسري، ممثلة بالمعادلة
\[
u(s, \tau) = g(s, \tau) + h(s, \tau, u(s, \tau)) \int_0^s \int_0^\tau (s^m – \xi^m)^{\gamma-1} (\tau^n – \omega^n)^{\theta-1} \frac{1}{\Gamma(\gamma)\Gamma(\theta)} m \xi^{m-1} n \omega^{n-1} k(f(s, \tau, \xi, \omega)) u(\xi, \omega) \, d\xi \, d\omega,
\]
حيث \(0 < \gamma, \theta \leq 1\) و \(s, \tau \in [0, 1]\). يثبت المؤلفون وجود حلول غير متناقصة ضمن فضاء الدوال المستمرة على \(C([0, 1] \times [0, 1])\)، باستخدام مقياس عدم التماسك في إطار فضاء باناش الحقيقي. تهدف هذه الأعمال الأساسية إلى تعزيز التحليل الرياضي مع تقديم رؤى قابلة للتطبيق في مجالات متنوعة.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج عددية توضح فعالية الخوارزمية 1 في تقريب الحلول لمعادلة فولتر التكاملية ذات البعدين مع ترتيب كسري، كما هو موضح في المعادلة (4.1). يتم إثبات وجود وخصوصية الحل في فضاء باناش \( C([0, 1] \times [0, 1]) \). تستخدم الخوارزمية دوال محددة، مثل \( g(s, \tau) = \frac{1}{7} s^2 \tau^2 \) و \( h(s, \tau, u) = \frac{3s\tau}{7(1 + s + \tau)} \frac{|u(s, \tau)|}{1 + |u(s, \tau)|} \)، لحساب التقريبات \( y_j(s, \tau) \) بشكل تكراري بناءً على الشروط الأولية.
تتم مقارنة النتائج مع الأعمال السابقة، وخاصة تلك التي تستخدم متعددات برنشتاين وأويلر، مما يبرز الأخطاء المطلقة في التقريب عبر معلمات مختلفة \( \nu \) و \( \theta \). تشير النتائج إلى أنه مع اقتراب \( \nu \) و \( \theta \) من 1، تنخفض الأخطاء المطلقة، مما يشير إلى التقارب نحو الحل الدقيق. يتم تقديم جداول تلخص الأخطاء المطلقة لقيم المعلمات المختلفة، جنبًا إلى جنب مع تمثيلات رسومية للتقارب، مما يعزز فعالية الخوارزمية في تحقيق دقة عالية في تقريب الحلول.
المناقشة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون تعميمًا لنظرية النقطة الثابتة لدربو، باستخدام نوع محدد من خرائط الانكماش. يعرفون خريطة انكماش عامة $(\Psi, G, \vartheta)$ ويثبتون نظرية تؤكد أن مثل هذه الخرائط تمتلك على الأقل نقطة ثابتة واحدة ضمن مجموعة مغلقة ومحدودة ومحدبة من فضاء باناش. يعتمد الإثبات على خصائص مقياس عدم التماسك ويوازي الإثباتات الموجودة في فضاءات باناش مشابهة.
يطبق المؤلفون هذا التعميم أيضًا لإثبات وجود حلول لمعادلات التكامل المفردة غير الخطية ذات البعدين ضمن فضاء باناش $C([0, 1] \times [0, 1])$. يستخرجون شروطًا تكون فيها المشغلين المعنيين مستمرين ويظهرون أن الخريطة تحافظ على خصائص معينة، مما يؤدي إلى الاستنتاج بأن المشغل ينقل كرة في الفضاء إلى نفسها. هذا يؤسس الأساس لإثبات وجود وخصوصية الحلول لمعادلات التكامل ذات الترتيب الكسري، مما يوسع من قابلية تطبيق نظرية النقطة الثابتة لدربو على فئة أوسع من المشكلات الرياضية.
DOI: https://doi.org/10.3846/mma.2026.24019
Publication Date: 2026-06-17
Author(s): Samaneh Darvishi Khezri et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research paper addresses the existence and uniqueness of solutions for two-dimensional non-linear singular Volterra integral equations with fractional orders within a Banach space framework. The authors employ the measure of non-compactness and fixed-point theorem to establish their findings, highlighting that these equations serve as a generalization of two-dimensional Riemann-Liouville fractional non-linear integral equations. To approximate solutions, the study utilizes a modified homotopy perturbation method in conjunction with Adomian polynomials, demonstrating the approach’s effectiveness through a specific example in the realm of singular non-linear integral equations.
The conclusions affirm the solvability of the proposed equations and detail the convergence of the iterative algorithm used for solution approximation. The authors validate their results by comparing numerical outcomes with those obtained from other established methods, showcasing the accuracy and reliability of their approach. Overall, the paper contributes to the understanding of non-linear integral equations and presents a robust method for solving them in a fractional context.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the significance of two-dimensional non-linear singular integral equations of Volterra type across various scientific domains, including quantum chemistry and kinetic theory. These equations, often characterized by their complexity and non-linearity, are crucial for modeling real-world phenomena. The study emphasizes the role of fixed-point theory and measures of non-compactness in establishing the solvability of these integral equations, referencing various foundational works in the field.
The paper specifically addresses the existence and uniqueness of solutions for a particular class of two-dimensional non-linear singular Volterra integral equations with fractional order, represented by the equation
\[
u(s, \tau) = g(s, \tau) + h(s, \tau, u(s, \tau)) \int_0^s \int_0^\tau (s^m – \xi^m)^{\gamma-1} (\tau^n – \omega^n)^{\theta-1} \frac{1}{\Gamma(\gamma)\Gamma(\theta)} m \xi^{m-1} n \omega^{n-1} k(f(s, \tau, \xi, \omega)) u(\xi, \omega) \, d\xi \, d\omega,
\]
where \(0 < \gamma, \theta \leq 1\) and \(s, \tau \in [0, 1]\). The authors establish the existence of non-decreasing solutions within the space of continuous functions on \(C([0, 1] \times [0, 1])\), utilizing a measure of non-compactness in a real Banach space framework. This foundational work aims to advance mathematical analysis while providing insights applicable to various fields.
Results
In this section, the authors present numerical results demonstrating the effectiveness of Algorithm 1 in approximating solutions to a two-dimensional Volterra integral equation with fractional order, as outlined in Equation (4.1). The existence and uniqueness of the solution are established in the Banach space \( C([0, 1] \times [0, 1]) \). The algorithm utilizes specific functions, such as \( g(s, \tau) = \frac{1}{7} s^2 \tau^2 \) and \( h(s, \tau, u) = \frac{3s\tau}{7(1 + s + \tau)} \frac{|u(s, \tau)|}{1 + |u(s, \tau)|} \), to iteratively compute approximations \( y_j(s, \tau) \) based on initial conditions.
The results are compared with previous works, specifically those employing Bernstein and Euler polynomials, highlighting the absolute errors in approximation across various parameters \( \nu \) and \( \theta \). The findings indicate that as \( \nu \) and \( \theta \) approach 1, the absolute errors decrease, suggesting convergence towards the exact solution. Tables summarizing the absolute errors for different parameter values are provided, alongside graphical representations of convergence, reinforcing the algorithm’s efficacy in achieving high accuracy in approximating solutions.
Discussion
In this section, the authors present a generalization of the Darbo fixed-point theorem, utilizing a specific type of contraction mapping. They define a generalized $(\Psi, G, \vartheta)$-contractive mapping and establish a theorem asserting that such mappings possess at least one fixed point within a closed, bounded, convex subset of a Banach space. The proof is based on the properties of the measure of non-compactness and parallels existing proofs in similar Banach spaces.
The authors further apply this generalization to demonstrate the existence of solutions for two-dimensional non-linear singular integral equations within the Banach space $C([0, 1] \times [0, 1])$. They derive conditions under which the operators involved are continuous and show that the mapping preserves certain properties, leading to the conclusion that the operator maps a ball in the space into itself. This establishes the groundwork for proving the existence and uniqueness of solutions to integral equations of fractional order, thereby extending the applicability of the Darbo fixed-point theorem to a broader class of mathematical problems.