DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025609
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Akbar Ali وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
يتناول هذا القسم خصائص وسمات الرسوم البيانية الدورية من الدرجة k، المعرفة كرسوم بيانية متصلة ذات ترتيب \( n \) وحجم \( n + k – 1 \)، حيث \( k \) هو عدد صحيح غير سالب. التركيز هو على المؤشرات الرسومية لهذه الرسوم البيانية، وبشكل خاص تلك التي تأخذ الشكل \( BID_f \)، حيث \( f \) هو دالة متناظرة تنتج مخرجات من الأعداد الحقيقية. يهدف البحث إلى تحديد الرسوم البيانية الدورية من الدرجة k التي إما تقلل أو تزيد من \( BID_f \) تحت قيود محددة مفروضة على الدالة \( f \).
تشير النتائج إلى أن مؤشرات مختلفة موجودة تتوافق مع القيود المعمول بها، مما يوسع من قابلية تطبيق النتائج على هذه المؤشرات. ومن الجدير بالذكر أن النتائج تشمل مؤشرات Sombor البيضوية وZagreb-Sombor التي تم تطويرها مؤخرًا، بالإضافة إلى مؤشر Euler-Sombor الذي تم تقديمه حديثًا. وهذا يشير إلى مساهمة كبيرة في فهم الرسوم البيانية الدورية من الدرجة k ومؤشراتها الرسومية المرتبطة، مما يوفر إطارًا لمزيد من الاستكشاف في هذا المجال من نظرية الرسوم البيانية.
مقدمة
تركز مقدمة هذه الورقة على الرسوم البيانية المتصلة والبسيطة، مشيرة إلى المصطلحات الأساسية في نظرية الرسوم البيانية. تناقش الثوابت الرسومية ذات القيم الحقيقية، والتي يشار إليها عادةً بالمؤشرات الرسومية أو الطوبولوجية في نظرية الرسوم البيانية الكيميائية. من المساهمات الهامة التي تم تسليط الضوء عليها هو مؤشر Sombor، الذي يُعرف لرسمة \( G \) كالتالي \( SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2) \)، حيث \( d_u \) و \( d_v \) هما درجات الرؤوس \( u \) و \( v \) في \( G \). كما تقدم الورقة مؤشر Sombor البيضوي (ESO)، الذي يُعرف كالتالي \( ESO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u + d_v)(d_u^2 + d_v^2) \)، ومؤشر Euler-Sombor (EU)، المعطى بـ \( EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2 + d_u d_v) \). بالإضافة إلى ذلك، يتم اشتقاق مؤشر Zagreb-Sombor (ZSO) عن طريق تعديل مجموع درجات مؤشر ESO إلى حاصل ضرب.
يصنف المؤلفون هذه المؤشرات تحت شكل عام يُمثل كالتالي \( BID_\Psi(G) = \sum_{uv \in E(G)} \Psi(d_u, d_v) \)، حيث \( \Psi \) هي دالة متناظرة على مجموعة درجات \( G \). تهدف الورقة إلى تصنيف الرسوم البيانية التي تقلل أو تزيد من هذه المؤشرات BID بين الرسوم البيانية الدورية من الدرجة k ذات ترتيب محدد، مما يساهم في فهم مختلف مؤشرات BID وخصائصها. هذه العمل موجه لتقدم دراسة مؤشرات BID المحددة من خلال النتائج التي تم الحصول عليها.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الرسوم البيانية القصوى التي تتميز بمجموعة درجات {2، 3} وعلاقتها بمؤشرات الرسوم البيانية المختلفة، وخاصة مؤشر الاتجاه الثنائي (BID) المرتبط بالدوال المتناظرة ذات القيم الحقيقية $\Psi(x_1, x_2)$. تُقدم النظريات التي تحدد الشروط التي بموجبها تقلل أو تزيد الرسوم البيانية المحددة من BID بين الرسوم البيانية الدورية من الدرجة $n$-order $\mu$. يشير المؤلفون إلى النتائج الموجودة، مثل تلك التي قدمها Hu وآخرون وLiu وآخرون، لبناء فهم هياكل الرسوم البيانية التي تحقق خصائص قصوى فيما يتعلق بـ BID.
تشمل النتائج الرئيسية ليمات تؤكد غياب المسارات المعلقة في الرسوم البيانية التي تقلل أو تزيد من BID، مما يؤدي إلى نتائج فرعية تحدد هياكل فريدة (مثل الرسوم البيانية المسارية والدائرية) التي تحقق هذه الخصائص القصوى للأشجار والرسوم البيانية أحادية الدورة. يقدم القسم أيضًا شروطًا بموجبها تزيد أو تقلل الرسوم البيانية ذات الرؤوس العالمية من BID، مما يؤدي إلى نظريات تحدد تسلسلات الدرجات الدقيقة للرسوم البيانية القصوى بناءً على المعلمات $n$ و$\mu$. ومن الجدير بالذكر أن النتائج تمتد إلى مؤشرات مختلفة، بما في ذلك مؤشر Sombor البيضوي ومؤشر Euler-Sombor المخفض، مما يشير إلى قابلية تطبيق النتائج على نطاق واسع عبر سياقات نظرية الرسوم البيانية المختلفة.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025609
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Akbar Ali et al.
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
This section discusses the properties and characteristics of k-cyclic graphs, defined as connected graphs with an order of \( n \) and a size of \( n + k – 1 \), where \( k \) is a nonnegative integer. The focus is on the graphical indices of these graphs, specifically those of the form \( BID_f \), where \( f \) is a symmetric function producing real-number outputs. The research aims to identify k-cyclic graphs that either minimize or maximize \( BID_f \) under specific constraints imposed on the function \( f \).
The findings indicate that various existing indices conform to the established constraints, thereby extending the applicability of the results to these indices. Notably, the results encompass the recently developed elliptic Sombor and Zagreb-Sombor indices, as well as the newly introduced Euler-Sombor index. This suggests a significant contribution to the understanding of k-cyclic graphs and their associated graphical indices, providing a framework for further exploration within this area of graph theory.
Introduction
The introduction of this paper focuses on connected and simple graphs, referencing foundational terminology in graph theory. It discusses real-valued graph invariants, commonly referred to as graphical or topological indices in chemical graph theory. A significant contribution highlighted is the Sombor index, defined for a graph \( G \) as \( SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2) \), where \( d_u \) and \( d_v \) are the degrees of vertices \( u \) and \( v \) in \( G \). The paper also introduces the elliptic Sombor (ESO) index, defined as \( ESO(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u + d_v)(d_u^2 + d_v^2) \), and the Euler-Sombor (EU) index, given by \( EU(G) = \sum_{uv \in E(G)} (d_u^2 + d_v^2 + d_u d_v) \). Additionally, the Zagreb-Sombor (ZSO) index is derived by modifying the ESO index’s degree sum to a product.
The authors categorize these indices under a general form represented as \( BID_\Psi(G) = \sum_{uv \in E(G)} \Psi(d_u, d_v) \), where \( \Psi \) is a symmetric function on the degree set of \( G \). The paper aims to characterize graphs that minimize or maximize these BID indices among \( k \)-cyclic graphs of a specified order, contributing to the understanding of various BID indices and their properties. This work is positioned to advance the study of specific BID indices through the results obtained.
Discussion
In this section, the authors discuss extremal graphs characterized by a degree set of {2, 3} and their relationship with various graph indices, particularly the Bidirectional Index (BID) associated with real-valued symmetric functions $\Psi(x_1, x_2)$. Theorems presented establish conditions under which specific graphs minimize or maximize BID among $n$-order $\mu$-cyclic graphs. The authors reference existing results, such as those by Hu et al. and Liu et al., to build upon the understanding of graph structures that yield extremal properties concerning BID.
Key findings include Lemmas that assert the absence of pendent paths in graphs that minimize or maximize BID, leading to Corollaries that identify unique structures (e.g., path and cycle graphs) that achieve these extremal properties for trees and unicyclic graphs. The section also introduces conditions under which graphs with universal vertices maximize or minimize BID, culminating in Theorems that specify the exact degree sequences of extremal graphs based on the parameters $n$ and $\mu$. Notably, the results extend to various indices, including the elliptic Sombor index and the reduced Euler-Sombor index, indicating the broad applicability of the findings across different graph theoretical contexts.