DOI: https://doi.org/10.32323/ujma.1879909
تاريخ النشر: 2026-03-30
المؤلف: Darios Kayo وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذه الورقة، يقدم المؤلفون صياغة جديدة لمخطط آدامز-باشفورث مصممة لحل المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs) التي تستخدم مشتق كابوتو من نوع كايو-كينغني-أكغول. يبدأون بتأسيس التعريفات الرسمية لهذا المشتق وتكامله المقابل، مؤكدين وجودهما وحدودهما. من خلال التحقق من نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية في هذا السياق، يظهرون أن التكامل يعمل كعكس دقيق لمشغل من نوع كابوتو. ثم يمدد المؤلفون مخطط آدامز-باشفورث إلى FDEs من خلال صياغة مشكلة كوشي ذات الصلة واستغلال العلاقة العكسية، مما يؤدي إلى تقاطع لاغرانج ذو خطوتين للتفريق الزمني.
تحلل الورقة بدقة خطأ الاقتطاع، والتقارب، والاستقرار للطريقة العددية المقترحة. يتم توضيح فعالية هذا الإطار من خلال تطبيقه على نظام تدفق فوضوي ثلاثي الأبعاد، حيث تؤكد النتائج أن مخطط آدامز-باشفورث يحافظ على التقارب والاستقرار. تشير المحاكاة العددية أيضًا إلى أن النظام يحافظ بنجاح على دينامياته الفوضوية ضمن السياق الكسر، كما يتضح من صور الطور والتطور الزمني لمتغيرات الحالة.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على أهمية الرياضيات، وخاصة حساب التفاضل الكسر، في فهم الظواهر الطبيعية المعقدة. تشير إلى استفسار لويبتال حول أوامر التفاضل غير الصحيحة، والذي حفز تطوير مشغلين كسريين مختلفين. لقد أظهرت هذه المشغلين فعاليتها في نمذجة سلوكيات معقدة مثل تأثيرات الذاكرة والانتشار الشاذ، والتي تكافح المشتقات الكلاسيكية لالتقاطها. اقترح المؤلفون، كايو، كينغني، وأكغول، مؤخرًا إطارًا كسريًا جديدًا يعزز نمذجة التعقيدات الواقعية.
تشمل المساهمات الرئيسية للورقة: (i) إثبات أن التكامل الذي عرّفه كايو، كينغني، وأكغول يعمل كعكس رسمي لمشتقهم من نوع كابوتو، مما يضمن حساب تفاضل كسري متسق؛ (ii) تطوير مخطط آدامز-باشفورث العددي لمشاكل كوشي المرتبطة بهذا المشتق؛ و (iii) صياغة نهج كسري لأنظمة التدفق الفوضوي ثلاثية الأبعاد. تهدف هذه الدراسة إلى توفير أدوات عددية قوية لمعالجة الديناميات الفوضوية غير الخطية، والتي تعتبر حاسمة لمواجهة تحديات الاستدامة العالمية. يتم توضيح هيكل الورقة، مع تخصيص الأقسام اللاحقة للأسس الرياضية، وبناء المخطط العددي، والتحقق من خلال التطبيقات العملية.
مناقشة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون الأسس الرياضية والنتائج الرئيسية المتعلقة بمشتق كايو-كينغني-أكغول (KKA) والتكامل في معنى كابوتو، مؤكدين خصائصهما وتطبيقاتهما. يتم تعريف مشتق KKA للوظائف المستمرة ضمن فضاء سوبوليف، ويتم إثبات حدوده من خلال النظرية 2.3، التي تؤكد أن مشتق KKA معرف جيدًا ومحدود بواسطة معيار مشتق الوظيفة. كما يثبت المؤلفون قابلية عكس التكامل KKA بالنسبة لمشتق KKA، مؤكدين أن هذه المشغلين الكسرين تلبي نظرية حساب التفاضل الأساسية.
علاوة على ذلك، يطور المؤلفون مخطط آدامز-باشفورث العددي لحل المعادلات التفاضلية التي تتضمن مشتق KKA، محللين خطأ الاقتطاع، والتقارب، والاستقرار. تشير النتائج إلى أن المخطط متقارب ومستقر، مع تراجع خطأ الاقتطاع كلما اقترب حجم الخطوة من الصفر. يوضح تطبيق هذا الإطار على نظام تدفق فوضوي من الدرجة الكسرية فعاليته في التقاط سلوكيات ديناميكية معقدة، مما يظهر أن مشتق KKA يعمم المشتقات الكلاسيكية مع الحفاظ على الطبيعة الفوضوية للنظام. بشكل عام، تؤكد النتائج قوة إطار KKA في كل من السياقات النظرية والعملية.
DOI: https://doi.org/10.32323/ujma.1879909
Publication Date: 2026-03-30
Author(s): Darios Kayo et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this paper, the authors introduce a novel formulation of the Adams-Bashforth scheme tailored for solving fractional differential equations (FDEs) that utilize the Caputo-type Kayo-Kengne-Akgül derivative. They begin by establishing the formal definitions of this derivative and its corresponding integral, confirming their existence and boundedness. By validating the Fundamental Theorem of Calculus within this context, they demonstrate that the integral serves as the exact inverse of the Caputo-type operator. The authors then extend the Adams-Bashforth scheme to FDEs by formulating the relevant Cauchy problem and leveraging the inverse relationship, leading to a two-step Lagrange interpolation for temporal discretization.
The paper rigorously analyzes the truncation error, convergence, and stability of the proposed numerical method. The effectiveness of this framework is illustrated through its application to a three-dimensional chaotic flow system, where the results affirm that the Adams-Bashforth scheme maintains convergence and stability. The numerical simulations further indicate that the system successfully preserves its chaotic dynamics within the fractional context, as evidenced by the phase portraits and the temporal evolution of state variables.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the significance of mathematics, particularly fractional calculus, in understanding complex natural phenomena. It references L’Hôpital’s inquiry into non-integer orders of differentiation, which has spurred the development of various fractional operators. These operators have demonstrated their efficacy in modeling intricate behaviors such as memory effects and anomalous diffusion, which classical derivatives struggle to capture. The authors, Kayo, Kengne, and Akgül, recently proposed a new fractional framework that enhances the modeling of real-world complexities.
The paper’s primary contributions include: (i) establishing that the integral defined by Kayo, Kengne, and Akgül serves as the formal inverse of their Caputo-type derivative, ensuring a consistent fractional calculus; (ii) developing the Adams-Bashforth numerical scheme for Cauchy problems associated with this derivative; and (iii) formulating a fractional approach to three-dimensional chaotic flow systems. This research aims to provide robust numerical tools for addressing nonlinear chaotic dynamics, which are crucial for tackling global sustainability challenges. The structure of the paper is outlined, with subsequent sections dedicated to mathematical foundations, numerical scheme construction, and validation through practical applications.
Discussion
In this section, the authors present the mathematical foundations and key results related to the Kayo-Kengne-Akgül (KKA) derivative and integral in the Caputo sense, establishing their properties and applications. The KKA derivative is defined for continuous functions within the Sobolev space, and its boundedness is demonstrated through Theorem 2.3, which asserts that the KKA derivative is well-defined and bounded by the norm of the function’s derivative. The authors also prove the invertibility of the KKA integral with respect to the KKA derivative, confirming that these fractional operators satisfy the fundamental theorem of calculus.
Furthermore, the authors develop an Adams-Bashforth numerical scheme for solving differential equations involving the KKA derivative, analyzing its truncation error, convergence, and stability. The results indicate that the scheme is convergent and stable, with the truncation error diminishing as the step size approaches zero. The application of this framework to a fractional-order chaotic flow system illustrates its effectiveness in capturing complex dynamical behaviors, demonstrating that the KKA derivative generalizes classical derivatives while preserving the chaotic nature of the system. Overall, the findings affirm the robustness of the KKA framework in both theoretical and practical contexts.