DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2026098
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Mousomi Bhakta وآخرون
الموضوع الرئيسي: المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية
نظرة عامة
تبحث هذه الدراسة في وجود وتعدد الحلول الإيجابية لمشكلة حرجة مقعرة تتميز بمشغل مختلط من حيث الترتيب، والذي يجمع بين $p$-لابلاسي الكلاسيكي و$p$-لابلاسي الكسري. يتم إجراء الدراسة ضمن مجموعة مفتوحة محدودة $\Omega \subset \mathbb{R}^N$، مع تعريف المعلمات كالتالي: $\epsilon \in (0, 1]$، $0 < s < 1 < q < p < N$، و$p^* = \frac{N p}{N - p}$. تكشف النتائج أنه بالنسبة لـ $\lambda \leq 0$، فإن المشكلة $(P_{\lambda, \epsilon})$ تفتقر إلى حلول غير تافهة في المجالات ذات الشكل النجمي. على العكس، بالنسبة لـ $\lambda > 0$، يثبت المؤلفون نتائج من نوع أمبروسيتي-بريزيس-سيرامي، مما يوضح وجود قيمة حرجة $\Lambda_\epsilon$ بحيث أن $(P_{\lambda, \epsilon})$ لديه حل إيجابي أدنى لـ $0 < \lambda < \Lambda_\epsilon$، وحل إيجابي لـ $\lambda = \Lambda_\epsilon$، ولا توجد حلول إيجابية لـ $\lambda > \Lambda_\epsilon$.
علاوة على ذلك، تحدد الورقة عتبة $0 < \lambda^* \leq \Lambda_\epsilon$ حيث أن $(P_{\lambda, \epsilon})$ يقبل على الأقل حلين إيجابيين عندما $\lambda \in (0, \lambda^*)$، بشرط أن تكون $\epsilon$ صغيرة بما فيه الكفاية. تعمق هذه النتيجة في النتائج السابقة التي توصل إليها بياجي وفيتشي (2025) وأموندسن وآخرون (2023) من حالة $p = 2$ إلى النطاق الأوسع من $1 < p < N$، بينما تمتد أيضًا النتائج الكلاسيكية لأزوريرو وبارال (1994) لتشمل مشاكل كوازيلينية مختلطة محلية وغير محلية. بالإضافة إلى ذلك، تعزز النتائج من اكتشافات التعددية للحلول غير السالبة التي قدمها دا سيلفا وآخرون (2024).
مقدمة
في هذه الورقة، يستكشف المؤلفون مشكلة حرجة مقعرة مختلطة محلية وغير محلية تتميز بالمعادلة
\[
-\Delta_p u + \varepsilon (-\Delta_p)^s u = \lambda |u|^{q-2} u + |u|^{p^*-2} u \quad \text{في } \Omega، \quad u = 0 \text{ في } \mathbb{R}^N \setminus \Omega،
\]
حيث \( \varepsilon \in (0, 1] \)، \( 0 < s < 1 < q < p < N \)، و \( \Omega \subset \mathbb{R}^N \) هي مجال محدود من الفئة \( C^{1,\alpha} \) لبعض \( \alpha \in (0, 1) \). يُشار إلى الأس exponent Sobolev الحرجة بـ \( p^* = \frac{N p}{N - p} \)، ويتم تعريف المشغلين المعنيين على أنها دوال سلسة بما فيه الكفاية، مع إعطاء $p$-لابلاسي بواسطة \[ -\Delta_p u = -\text{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u). \] تهدف هذه الدراسة إلى استكشاف وجود وخصائص الحلول لهذه المشكلة المعقدة، التي تجمع بين التأثيرات المحلية وغير المحلية في إطار تبايني.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون وجود وعدم وجود حلول لفئة من المشاكل غير الخطية التي تتميز بمشغلين مختلطين محليين وغير محليين. يبنون على النتائج الأساسية، وخاصة نظرية أمبروسيتي-بريزيس-سيرامي (ABC)، لتحديد الشروط التي توجد بموجبها حلول ضعيفة إيجابية. على وجه التحديد، يوضحون أنه بالنسبة لمجال محدود $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ومعلمات $\lambda$ و$\epsilon$، يوجد عتبة $\Lambda_\epsilon$ بحيث إذا كان $0 < \lambda < \Lambda_\epsilon$، فإن المشكلة $(P_{\lambda,\epsilon})$ تقبل حلاً ضعيفاً إيجابياً أدنى. على العكس، بالنسبة لـ $\lambda > \Lambda_\epsilon$، لا توجد حلول ضعيفة إيجابية. كما يوسع المؤلفون النتائج السابقة لتشمل الحالات التي يكون فيها $p \neq 2$، مع معالجة التحديات التي تطرحها عدم وجود عدم التماثل في المشغلين المختلطين المحليين وغير المحليين.
تستكشف الورقة أيضًا تعددية الحلول الإيجابية، خاصةً تحت الشروط التي يكون فيها $p \in [2, \infty)$ وبعض القيود على $q$. يستخدم المؤلفون طرقًا تباينية، بما في ذلك نهج مانيفولد نيهاري وتقديرات الطاقة، لإظهار أنه بالنسبة لـ $\lambda$ صغيرة بما فيه الكفاية، يمكن العثور على حلول إيجابية متعددة. ويختتمون بالإشارة إلى أن نتائجهم لا تعمم الأدبيات الموجودة فحسب، بل تقدم أيضًا رؤى جديدة حول سلوك الحلول مع تغير المعلمات، خاصةً في سياق المشغلين الكوازيلينيين المختلطين المحليين وغير المحليين.
DOI: https://doi.org/10.3934/dcds.2026098
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Mousomi Bhakta et al.
Primary Topic: Nonlinear Partial Differential Equations
Overview
This research investigates the existence and multiplicity of positive solutions for a concave-critical problem characterized by a mixed-order operator, which combines the classical $p$-Laplacian and the fractional $p$-Laplacian. The study is conducted within a bounded open set $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, with parameters defined as $\epsilon \in (0, 1]$, $0 < s < 1 < q < p < N$, and $p^* = \frac{N p}{N - p}$. The findings reveal that for $\lambda \leq 0$, the problem $(P_{\lambda, \epsilon})$ lacks nontrivial solutions in star-shaped domains. Conversely, for $\lambda > 0$, the authors establish Ambrosetti-Brezis-Cerami type results, demonstrating the existence of a critical value $\Lambda_\epsilon$ such that $(P_{\lambda, \epsilon})$ has a positive minimal solution for $0 < \lambda < \Lambda_\epsilon$, a positive solution for $\lambda = \Lambda_\epsilon$, and no positive solutions for $\lambda > \Lambda_\epsilon$.
Furthermore, the paper identifies a threshold $0 < \lambda^* \leq \Lambda_\epsilon$ for which $(P_{\lambda, \epsilon})$ admits at least two positive solutions when $\lambda \in (0, \lambda^*)$, contingent upon $\epsilon$ being sufficiently small. This result generalizes previous findings by Biagi and Vecchi (2025) and Amundsen et al. (2023) from the case of $p = 2$ to the broader range of $1 < p < N$, while also extending the classical results of Azorero and Peral (1994) to encompass mixed local-nonlocal quasilinear problems. Additionally, the results enhance the multiplicity findings for nonnegative solutions presented by da Silva et al. (2024).
Introduction
In this paper, the authors investigate a mixed local-nonlocal concave-critical problem characterized by the equation
\[
-\Delta_p u + \varepsilon (-\Delta_p)^s u = \lambda |u|^{q-2} u + |u|^{p^*-2} u \quad \text{in } \Omega, \quad u = 0 \text{ in } \mathbb{R}^N \setminus \Omega,
\]
where \( \varepsilon \in (0, 1] \), \( 0 < s < 1 < q < p < N \), and \( \Omega \subset \mathbb{R}^N \) is a bounded domain of class \( C^{1,\alpha} \) for some \( \alpha \in (0, 1) \). The critical Sobolev exponent is denoted by \( p^* = \frac{N p}{N - p} \), and the operators involved are defined for sufficiently smooth functions, with the \( p \)-Laplacian given by \[ -\Delta_p u = -\text{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u). \] This study aims to explore the existence and properties of solutions to this complex problem, which combines local and nonlocal effects in a variational framework.
Discussion
In this section, the authors discuss the existence and non-existence of solutions for a class of nonlinear problems characterized by mixed local-nonlocal operators. They build upon foundational results, particularly the Ambrosetti-Brezis-Cerami (ABC) theorem, to establish conditions under which positive weak solutions exist. Specifically, they demonstrate that for a bounded domain $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ and parameters $\lambda$ and $\epsilon$, there exists a threshold $\Lambda_\epsilon$ such that if $0 < \lambda < \Lambda_\epsilon$, the problem $(P_{\lambda,\epsilon})$ admits a positive minimal weak solution. Conversely, for $\lambda > \Lambda_\epsilon$, no positive weak solution exists. The authors also extend previous findings to include cases where $p \neq 2$, addressing the challenges posed by the lack of scaling invariance in mixed local-nonlocal operators.
The paper further explores the multiplicity of positive solutions, particularly under the conditions that $p \in [2, \infty)$ and certain constraints on $q$. The authors utilize variational methods, including the Nehari manifold approach and energy estimates, to show that for small enough $\lambda$, multiple positive solutions can be found. They conclude by noting that their results not only generalize existing literature but also provide new insights into the behavior of solutions as parameters vary, particularly in the context of mixed local-nonlocal quasilinear operators.