DOI: https://doi.org/10.11948/20250176
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Shugui Kang وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل المعادلات التفاضلية غير الخطية
نظرة عامة
تبحث هذه الدراسة في مشكلة قيمة حدودية منفصلة باستخدام مشغل ريمان-ليوفيلي، مع التركيز بشكل خاص على مشكلة قيمة حدودية جمع منفصلة تعكس مشكلة القيمة الحدودية التكاملية المرتبطة بمعادلات التفاضل الكسرية. من خلال توسيع مشغل الفرق الكسرية المستخدم على نطاق واسع، يستنتج المؤلفون دالة غرين المقابلة ويعيدون صياغة المشكلة في إطار معادلة النقطة الثابتة.
تؤسس الدراسة وجود وتعدد الحلول الإيجابية للمشكلة الم formulated. لتوضيح الآثار العملية للنتائج النظرية، يتم تقديم مثالين، مصحوبين بمحاكاة عددية تؤكد النتائج بشكل أكبر. تسهم هذه العمل في فهم مشاكل القيمة الحدودية الكسرية في الإعدادات المنفصلة وتوفر أساسًا للبحث المستقبلي في هذا المجال.
مقدمة
تسلط مقدمة ورقة البحث الضوء على الاهتمام المتزايد في حساب التفاضل الكسرى بسبب التقدم في القدرة الحاسوبية، مما يؤدي إلى تطبيقاته عبر مجالات مختلفة مثل معالجة الإشارات، والفيزياء، والمالية، وتعلم الآلة. يتم التأكيد على معادلات التفاضل الكسرية (FDEs) كأدوات فعالة لنمذجة الظواهر المعقدة التي تتميز بسلوكيات تعتمد على الذاكرة أو غير محلية، مع توفير طرق الشبكات العصبية حلولًا فعالة. تناقش الورقة أيضًا معادلات الفرق الكسرية، التي تعمل كتناظر منفصل لـ FDEs، وأهميتها في التحليل العددي والنمذجة الحسابية.
يقدم المؤلفون مشتق كابوتو-فابريزيو، الذي يستخدم نواة أسية لمعالجة الأنظمة ذات تأثيرات الذاكرة، ويلاحظون مزاياه في حل المشكلات الفيزيائية ذات الشروط الأولية. تركز الدراسة على مشاكل قيمة الحدود الكسرية لجمع الفرق (SBVPs) وتوسع النظريات الحالية من خلال تقديم نتائج وجود جديدة للحلول تحت شروط حدود كسرية عامة. تهدف الورقة إلى إثبات وجود حلول إيجابية متعددة لمعادلة فرق كسرية محددة، وبالتالي تسهم في فهم مشاكل القيمة الحدودية الكسرية غير المحلية وتطبيقاتها.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون ليمات ونظريات أساسية تتعلق بالفرق الكسرية المنفصلة ونظرية النقطة الثابتة، والتي تعتبر حاسمة لحل مشكلة قيمة حدودية محددة (SBVP). تؤسس الليمات الأولى علاقة بين الجمع والفرق الكسرية لدالة، بينما توفر الليمات الثانية صيغة للفرق الكسرية لدالة ذات متغيرين. يتم تقديم نظرية النقطة الثابتة الكلاسيكية لجو-كراسنوسيلسكي، التي تؤكد أنه تحت ظروف معينة، يمتلك مشغل مستمر تمامًا نقطة ثابتة في منطقة محددة من فضاء باناش. هذه النظرية حاسمة لإثبات وجود حلول لـ SBVP.
يستنتج المؤلفون حلاً لـ SBVP من خلال تطبيق الليمات والنظريات التي تم مناقشتها. يعبرون عن الحل من حيث دالة غرين، $G(t, s)$، التي تُعرف لنطاقات محددة من $t$ و $s$. يتضمن الحل شروط الحدود ويظهر أنه يعتمد على خصائص $G(t, s)$، بما في ذلك استمراريته وإيجابيته تحت ظروف معينة. يختتم القسم بأمثلة توضح النتائج النظرية، مؤكدة وجود حلول إيجابية لـ SBVP من خلال المحاكاة العددية، مما يثبت الإطار النظري الذي تم تأسيسه في النقاش.
DOI: https://doi.org/10.11948/20250176
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Shugui Kang et al.
Primary Topic: Nonlinear Differential Equations Analysis
Overview
This research investigates a discrete boundary value problem utilizing the Riemann-Liouville fractional operator, specifically focusing on a discrete fractional summing boundary value problem that mirrors the integral boundary value problem associated with fractional differential equations. By extending a widely used fractional difference operator, the authors derive the corresponding Green’s function and reformulate the problem into a fixed-point equation framework.
The study establishes the existence and multiplicity of positive solutions to the formulated problem. To illustrate the practical implications of the theoretical findings, two examples are presented, accompanied by numerical simulations that further validate the results. This work contributes to the understanding of fractional boundary value problems in discrete settings and offers a foundation for future research in this area.
Introduction
The introduction of the research paper highlights the growing interest in fractional calculus due to advancements in computational power, leading to its applications across various fields such as signal processing, physics, finance, and machine learning. Fractional differential equations (FDEs) are emphasized as effective tools for modeling complex phenomena characterized by memory-dependent or nonlocal behaviors, with neural network methods providing efficient solutions. The paper also discusses fractional difference equations, which serve as discrete analogues of FDEs, and their relevance in numerical analysis and computational modeling.
The authors introduce the Caputo-Fabrizio derivative, which utilizes an exponential kernel to address systems with memory effects, and note its advantages in solving physical problems with initial conditions. The study focuses on fractional difference summing boundary value problems (SBVPs) and extends existing theories by providing new existence results for solutions under generalized fractional-summing boundary conditions. The paper aims to establish the existence of multiple positive solutions for a specific fractional difference equation, thereby contributing to the understanding of nonlocal fractional boundary value problems and their applications.
Discussion
In this section, the authors present foundational lemmas and theorems related to discrete fractional differences and fixed point theory, which are crucial for solving a specific boundary value problem (SBVP). The first lemma establishes a relationship between the fractional sum and difference of a function, while the second lemma provides a formula for the fractional difference of a two-variable function. The classical Guo-Krasnosel’skii fixed point theorem is introduced, which asserts that under certain conditions, a completely continuous operator has a fixed point in a specified region of a Banach space. This theorem is pivotal for demonstrating the existence of solutions to the SBVP.
The authors derive a solution to the SBVP through the application of the lemmas and theorems discussed. They express the solution in terms of a Green’s function, $G(t, s)$, which is defined for specific ranges of $t$ and $s$. The solution incorporates boundary conditions and is shown to depend on the properties of $G(t, s)$, including its continuity and positivity under certain conditions. The section concludes with examples that illustrate the theoretical results, confirming the existence of positive solutions to the SBVP through numerical simulations, thereby validating the theoretical framework established in the discussion.