DOI: https://doi.org/10.1007/s10474-024-01455-6
تاريخ النشر: 2024-08-01
المؤلف: Cristina Maria Păcurar وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية النقاط الثابتة والتحليل
نظرة عامة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون فئة جديدة من الخرائط في الفضاءات المترية تُسمى خرائط من نوع شاترجيا العامة، والتي تعمل كتناظر ثلاثي النقاط للخرائط المعروفة من نوع شاترجيا. تُظهر الدراسة أن هذه الخرائط العامة يمكن أن تظهر انقطاعًا، مشابهًا لأسلافها، والأهم من ذلك، أنها تشمل الفئة الأصلية من خرائط نوع شاترجيا. علاوة على ذلك، يثبت المؤلفون نظرية النقطة الثابتة خصيصًا لخرائط نوع شاترجيا العامة، مما يساهم في الإطار النظري المحيط بنظرية النقطة الثابتة في الفضاءات المترية.
مقدمة
في مقدمة الورقة، يناقش المؤلفون التقدمات الأخيرة في دراسة الخرائط في الفضاءات المترية، وخاصة تلك التي تقلل من محيطات المثلثات. أسس عمل بتروف نظرية النقطة الثابتة لهذه الخرائط، موضحًا استمراريتها وتقديم أمثلة ليست خرائط تقليدية للتقليص. تُعرف خريطة \( T: X \to X \) بأنها تقلل من محيطات المثلثات إذا كان هناك \( \alpha \in [0, 1) \) بحيث لأي ثلاث نقاط متميزة \( x, y, z \in X \)، فإن عدم المساواة
\[
d(Tx, Ty) + d(Ty, Tz) + d(Tz, Tx) \leq \alpha[d(x, y) + d(y, z) + d(z, x)]
\]
صحيح. تؤكد النظرية أنه في فضاء مترى كامل، فإن \( T \) لديه نقطة ثابتة إذا كانت تفتقر إلى نقاط دورية ذات فترة أولية 2، مع حد أقصى لنقطتين ثابتتين.
علاوة على ذلك، قدم بتروف وبيشت خريطة من نوع كانان العامة، والتي تتميز بعدم مساواة مختلفة تتعلق بمعامل \( \lambda \in [0, \frac{2}{3}) \). أثبتوا نظرية النقطة الثابتة لهذه الخرائط، مشيرين إلى أنه إذا كانت \( T \) تلبي شروطًا معينة، فإنها أيضًا تمتلك نقطة ثابتة، مرة أخرى مع حد أقصى لنقطتين ثابتتين. يشير المؤلفون إلى استقلالية هذه النظريات عن تلك التي أسسها باناش وكانان، مما يبرز أهمية نتائج شاترجيا للخرائط المنقطعة، والتي أدت إلى مزيد من البحث والتعميمات. تهدف الورقة الحالية إلى تقديم تناظر ثلاثي النقاط لخرائط نوع شاترجيا، مما يساهم في المجال المتوسع لنظرية النقطة الثابتة من خلال تقديم خرائط شاترجيا العامة التي تختلف عن الفئة الأصلية.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون مفهوم خرائط نوع شاترجيا العامة ضمن فضاء مترى $(X, d)$، حيث $|X| \geq 3$. تُصنف خريطة $T: X \to X$ كخريطة من نوع شاترجيا العامة إذا كان هناك معامل $\lambda \in [0, \frac{1}{2})$ يلبي عدم مساواة معينة تتعلق بالمسافات بين النقاط في $X$. يشير المؤلفون إلى أن كل خريطة من نوع شاترجيا هي بطبيعتها خريطة من نوع شاترجيا العامة. يقدمون مثالًا يوضح خريطة تؤهل كخريطة شاترجيا العامة ولكن ليست كخريطة من نوع شاترجيا، مما يبرز التمييز بين هذه التصنيفات.
النتيجة الرئيسية المقدمة هي النظرية 2.4، التي تؤكد أن أي خريطة من نوع شاترجيا العامة بدون نقاط دورية ذات فترة أولية اثنين تمتلك نقاط ثابتة، مع حد أقصى لنقطتين ثابتتين. يتضمن الإثبات بناء سلسلة من نقطة ابتدائية وإظهار أنها تتقارب إلى حد داخل الفضاء المترى الكامل، مما يظهر في النهاية أن هذا الحد هو نقطة ثابتة للخريطة. يوضح المؤلفون أيضًا أنه إذا كانت هناك نقطة ثابتة، فهي فريدة تحت ظروف معينة، ويقدمون أمثلة إضافية لتوضيح آثار نتائجهم، مما يبرز مساهمات عملهم في نظرية نظريات النقطة الثابتة.
DOI: https://doi.org/10.1007/s10474-024-01455-6
Publication Date: 2024-08-01
Author(s): Cristina Maria Păcurar et al.
Primary Topic: Fixed Point Theorems Analysis
Overview
In this section, the authors present a novel class of mappings in metric spaces termed generalized Chatterjea type mappings, which serve as a three-point analogue to the established Chatterjea type mappings. The study demonstrates that these generalized mappings can exhibit discontinuity, similar to their predecessors, and importantly, they encompass the original class of Chatterjea type mappings. Furthermore, the authors establish a fixed point theorem specifically for generalized Chatterjea type mappings, contributing to the theoretical framework surrounding fixed point theory in metric spaces.
Introduction
In the introduction of the paper, the authors discuss recent advancements in the study of mappings in metric spaces, particularly those that contract the perimeters of triangles. Petrov’s work established a fixed point theorem for such mappings, demonstrating their continuity and providing examples that are not traditional contraction mappings. Specifically, a mapping \( T: X \to X \) is defined as contracting perimeters of triangles if there exists \( \alpha \in [0, 1) \) such that for any three distinct points \( x, y, z \in X \), the inequality
\[
d(Tx, Ty) + d(Ty, Tz) + d(Tz, Tx) \leq \alpha[d(x, y) + d(y, z) + d(z, x)]
\]
holds. The theorem asserts that in a complete metric space, \( T \) has a fixed point if it lacks periodic points of prime period 2, with a maximum of two fixed points.
Furthermore, Petrov and Bisht introduced a generalized Kannan type mapping, characterized by a different inequality involving a parameter \( \lambda \in [0, \frac{2}{3}) \). They proved a fixed point theorem for these mappings, indicating that if \( T \) satisfies certain conditions, it also has a fixed point, again with a maximum of two fixed points. The authors note the independence of these fixed point theorems from those established by Banach and Kannan, highlighting the significance of Chatterjea’s results for discontinuous mappings, which led to further research and generalizations. The current paper aims to present a three-point analogue of Chatterjea type mappings, contributing to the expanding field of fixed point theory by introducing generalized Chatterjea mappings that are distinct from the original class.
Discussion
In this section, the authors introduce the concept of generalized Chatterjea type mappings within a metric space $(X, d)$, where $|X| \geq 3$. A mapping $T: X \to X$ is classified as a generalized Chatterjea type mapping if there exists a parameter $\lambda \in [0, \frac{1}{2})$ satisfying a specific inequality involving distances between points in $X$. The authors note that every Chatterjea type mapping is inherently a generalized Chatterjea type mapping. They provide an example illustrating a mapping that qualifies as generalized Chatterjea but not as a Chatterjea type mapping, emphasizing the distinction between these classifications.
The main result presented is Theorem 2.4, which asserts that any generalized Chatterjea type mapping without periodic points of prime period two possesses fixed points, with a maximum of two fixed points. The proof involves constructing a sequence from an initial point and demonstrating that it converges to a limit within the complete metric space, ultimately showing that this limit is a fixed point of the mapping. The authors further clarify that if a fixed point exists, it is unique under certain conditions, and they provide additional examples to illustrate the implications of their findings, highlighting the contributions of their work to the theory of fixed point theorems.