DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-38301-4
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41667645
تاريخ النشر: 2026-02-10
المؤلف: Ramsha Shafqat وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة نموذج وبائي من نوع SVIR ذو ترتيب كسري يستخدم مشتق كابوتو-فابريزيو المنظم (NCF)، والذي يتضمن تأثيرات الذاكرة من خلال نواة غير مفردة. يدمج النموذج بفعالية ديناميات التطعيم، مما يسمح بمحاكاة واقعية للتحكم في الأوبئة. تم إثبات الخصائص الرياضية الأساسية مثل الوجود، الفريدة، الإيجابية، الحدودية، والحفاظ على إجمالي السكان. تم اقتراح خطة عددية فعالة لمحاكاة النموذج، وكشفت التجارب العددية عن اختلافات كبيرة في مسارات الأوبئة مقارنة بالنماذج الكلاسيكية، مع تسليط الضوء بشكل خاص على التأثير المثبت لتأثيرات الذاكرة تحت استراتيجيات التطعيم.
تشير تحليل التفرع إلى أن نموذج NCF-SVIR المغلق مع التطعيم الثابت لا يظهر تفرعات عكسية أو تفرعات هوف، حتى مع حدوث إصابات مشبعة، مما يشير إلى أن أي سلوك تذبذبي ملحوظ هو مؤقت ومرتبط بتأثيرات الذاكرة بدلاً من الدورات المستمرة. تؤكد النتائج على أهمية الترتيب الكسري $\alpha$ في التأثير على ديناميات الأوبئة ودور الذاكرة في انتقال الأمراض المدفوعة بالتطعيم. يتم وضع نموذج NCF-SVIR كإطار قوي للبحوث المستقبلية، مع امتدادات محتملة تشمل دوران السكان، التطعيم غير الكامل، وتطبيقات على بيانات وبائية حقيقية، مما يعزز من أهميته في اتخاذ قرارات الصحة العامة.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون مشتق كابوتو-فابريزيو المنظم (NCF)، الذي يدمج تأثيرات الذاكرة في ديناميات نموذج وبائي. يتم تعريف مشتق NCF باستخدام دالة تنظيمية \( C_\alpha(t) = \frac{1}{\alpha}(1 – e^{-\mu_\alpha t}) \)، حيث \( \mu_\alpha = \frac{\alpha}{1 – \alpha} \)، مما يضمن أن تتكامل النواة الأسية إلى الواحد على الفترة \([0, t]\). يسمح هذا التنظيم للنموذج بأن يعكس ديناميات وبائية واقعية من خلال منع تراكم الحالات التاريخية غير المحدود، مما يؤدي إلى نتائج أكثر قابلية للتفسير، خاصة في السيناريوهات التي تتضمن التطعيم والتغيرات السلوكية.
يصيغ المؤلفون نموذج SVIR كسري منظم، حيث تحكم ديناميات السكان القابلين للإصابة، والمطعمين، والمعديين، والمتعافين بواسطة مشتق NCF. يلتقط النموذج كيف تؤثر الحالات السابقة على الديناميات الحالية، مع ضمان الشروط الأولية عدم السلبية والحفاظ على إجمالي السكان. تم إثبات وجود وحيدة الحلول باستخدام نظرية النقاط الثابتة، مما يؤكد صحة النموذج الرياضية. كما يظهر المؤلفون أن الحلول تبقى غير سلبية ومحدودة، ويحللون استقرار التوازن الخالي من المرض، مستنتجين أنه مستقر محليًا بشكل أساسي تحت ظروف معينة. يتم اشتقاق عدد التكاثر الفعال \( R_0 \)، مما يبرز دوره في تحديد ديناميات العدوى، خاصة في سياق التطعيم.
توضح المحاكاة العددية سلوك النموذج تحت تأثيرات الذاكرة المتغيرة ومعدلات التطعيم، كاشفة أن الذاكرة الأقوى (أقل \( \alpha \)) تؤدي إلى تأخير في ذروات الأوبئة وديناميات أكثر سلاسة. تظهر خطة العددية المقترحة، المستندة إلى قاعدة النقطة اليسرى لتفكيك مشتق NCF، أنها متسقة ومتقاربة، مع التحقق ضد النماذج الكلاسيكية. بشكل عام، يعزز إطار NCF-SVIR من فهم ديناميات الأوبئة من خلال دمج تأثيرات الذاكرة، مما يجعله أداة قيمة للتخطيط الصحي العام والدراسات النظرية.
القيود
تستكشف قيود نموذج NCF-SVIR المغلق من خلال تحليل التفرع، الذي يعمل كأداة لتحديد وتصنيف التحولات النوعية في ديناميات الأوبئة مع تغير معلمات النموذج. يسلط هذا التحليل الضوء على أنظمة المعلمات الحرجة حيث قد يفقد التوازن الخالي من المرض (DFE) استقراره، مما يؤدي إلى ظهور توازنات متوطنة أو بدء حلول تذبذبية. تركز هذه القسم بشكل خاص على ظواهر التفرع العكسي وتفرع هوف ضمن إطار NCF-SVIR، مما يبرز التعقيدات والقيود المحتملة المتأصلة في قدرات النموذج التنبؤية بشأن سلوك الأوبئة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-38301-4
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41667645
Publication Date: 2026-02-10
Author(s): Ramsha Shafqat et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This study introduces a fractional-order SVIR epidemic model utilizing the normalized Caputo-Fabrizio (NCF) derivative, which incorporates memory effects through a non-singular kernel. The model effectively integrates vaccination dynamics, allowing for realistic epidemic control simulations. Key mathematical properties such as existence, uniqueness, positivity, boundedness, and conservation of total population are established. An efficient numerical scheme is proposed for simulating the model, and numerical experiments reveal significant differences in epidemic trajectories compared to classical models, particularly highlighting the stabilizing influence of memory effects under vaccination strategies.
The bifurcation analysis indicates that the closed NCF-SVIR model with constant vaccination does not exhibit backward or Hopf bifurcations, even with saturated incidence, suggesting that any observed oscillatory behavior is transient and linked to memory effects rather than sustained cycles. The findings underscore the importance of the fractional order $\alpha$ in influencing epidemic dynamics and the role of memory in vaccination-driven disease transmission. The NCF-SVIR model is positioned as a robust framework for future research, with potential extensions including demographic turnover, imperfect vaccination, and applications to real epidemiological data, thereby enhancing its relevance for public health decision-making.
Discussion
In this section, the authors introduce the normalized Caputo-Fabrizio (NCF) derivative, which incorporates memory effects into the dynamics of an epidemic model. The NCF derivative is defined using a normalization function \( C_\alpha(t) = \frac{1}{\alpha}(1 – e^{-\mu_\alpha t}) \), where \( \mu_\alpha = \frac{\alpha}{1 – \alpha} \), ensuring that the exponential kernel integrates to unity over the interval \([0, t]\). This normalization allows the model to reflect realistic epidemic dynamics by preventing the unbounded accumulation of historical states, thereby yielding more interpretable results, particularly in scenarios involving vaccination and behavioral changes.
The authors formulate a normalized fractional SVIR model, where the dynamics of susceptible, vaccinated, infectious, and recovered populations are governed by the NCF derivative. The model captures how previous states influence current dynamics, with initial conditions ensuring non-negativity and conservation of the total population. The existence and uniqueness of solutions are established using fixed-point theory, confirming the model’s mathematical validity. The authors also demonstrate that solutions remain non-negative and bounded, and they analyze the stability of the disease-free equilibrium, concluding that it is locally asymptotically stable under certain conditions. The effective reproduction number \( R_0 \) is derived, highlighting its role in determining infection dynamics, particularly in the context of vaccination.
Numerical simulations illustrate the model’s behavior under varying memory effects and vaccination rates, revealing that stronger memory (lower \( \alpha \)) leads to delayed epidemic peaks and smoother dynamics. The proposed numerical scheme, based on a left-point rule for discretizing the NCF derivative, is shown to be consistent and convergent, with validation against classical models. Overall, the NCF-SVIR framework enhances the understanding of epidemic dynamics by integrating memory effects, making it a valuable tool for public health planning and theoretical studies.
Limitations
The limitations of the closed NCF-SVIR model are explored through bifurcation analysis, which serves as a tool for identifying and categorizing qualitative shifts in epidemic dynamics as model parameters change. This analysis highlights critical parameter regimes where the disease-free equilibrium (DFE) may lose stability, leading to the emergence of endemic equilibria or the onset of oscillatory solutions. Specifically, the section focuses on the phenomena of backward bifurcation and Hopf bifurcation within the NCF-SVIR framework, underscoring the complexities and potential limitations inherent in the model’s predictive capabilities regarding epidemic behavior.