DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.039.02.04
تاريخ النشر: 2025-03-29
المؤلف: S.G. Ahmed وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تستكشف هذه الورقة البحثية نماذج من الرتبة الكسرية لمعالجة التحديات الكبيرة في الرعاية الصحية العالمية التي تسببت بها COVID-19، مع التركيز على تطبيق مشتق Atangana-Baleanu-Caputo (ABC) الكسرية مع نواة Mittag-Leffler. يستخدم المؤلفون نهج بيكارد-لينديلوف لتحليل وجود وحصرية الحلول لنموذج COVID-19 غير الخطي من الرتبة الكسرية. يتم استخدام مشغل ABC، الذي يدمج حساب التفاضل الكسرية مع تقنيات الاستيفاء متعدد الحدود من الدرجة الثانية، لتقدير الحلول، مما يوضح فعاليته في التعامل مع المعادلات غير الخطية. تشير النتائج إلى إمكانية تطبيق مشغل ABC الكسرية في علم الأوبئة الرياضي وسيناريوهات العالم الحقيقي الأخرى.
في الخاتمة، تقدم الدراسة نموذج وبائي من الرتبة الكسرية لـ COVID-19، بدءًا من نموذج كلاسيكي والتحقق من صحة النهج من الرتبة الكسرية من خلال تحليل إيجابية الحلول وحدودها. يتم بناء النموذج باستخدام مشغل ABC ودالة Mittag-Leffler العامة، مع الحصول على حلول تقريبية من خلال حساب التفاضل الكسرية وطرق متعدد الحدود من الدرجة الثانية. يتم توضيح ديناميات مجموعات سكانية مختلفة، مثل الأفراد المعرضين للإصابة والأشخاص المصابين، من خلال الرسوم البيانية، مما يبرز التأثير الكبير لتغيرات المعلمات على سلوك النموذج. يوصي المؤلفون بأن تركز الحكومات والمنظمات الصحية على تقليل انتقال COVID-19 وتعزيز الوعي العام بالإجراءات الوقائية، مع اقتراح التحقق المستقبلي من النموذج باستخدام مشتقات كسرية بديلة.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية التأثير العالمي لجائحة COVID-19، التي نشأت في ووهان، الصين، ومنذ ذلك الحين أثرت على السكان في جميع أنحاء العالم. يتميز الفيروس بانتشاره السريع وانتشاره بدون أعراض، مع فترة حضانة تتراوح من 2 إلى 14 يومًا. تشمل الأعراض حمى شديدة وصعوبات في التنفس، وعلى الرغم من وجود حالات نادرة من انتقال العدوى من الحيوانات، إلا أن الانتقال من إنسان إلى إنسان هو السائد. حاليًا، لا توجد علاجات مضادة للفيروسات أو لقاحات مؤكدة، مما يستدعي تدخلات صحية استراتيجية وتواصل فعال لاستراتيجيات الوقاية للتخفيف من انتشار المرض.
تؤكد الورقة على أهمية النمذجة الرياضية في فهم والسيطرة على انتشار الأمراض المعدية مثل COVID-19. تم تطوير نماذج مختلفة، لا سيما تلك المعتمدة على المعادلات التفاضلية غير الخطية، لتحليل ديناميات انتقال الفيروس. تبرز المقدمة أهمية حساب التفاضل الكسرية في النمذجة الوبائية، مشيرة إلى أن النماذج الكسرية يمكن أن توفر رؤى أكثر دقة حول سلوكيات الأمراض المعقدة مقارنة بالنماذج التقليدية من الرتبة الصحيحة. تهدف الدراسة إلى استخدام مشغل مشتق كسرية جديد، وهو مشغل ABC مع نواة Mittag-Leffler، لتعزيز نمذجة ديناميات COVID-19، مع معالجة قيود الطرق التقليدية وتحسين المحاكاة العددية. يتم توضيح هيكل الورقة، مع تفاصيل الأقسام التي تستعرض حساب التفاضل الكسرية، وتصف النماذج، وتقدم تحليلات ومحاكاة تتعلق بتفشي COVID-19.
نقاش
تتناول قسم النقاش في الورقة تعريفات وخصائص مشتقات ABC وAtangana-Baleanu الكسرية، مع التأكيد على تطبيقها في نمذجة الظواهر الواقعية، لا سيما في سياق COVID-19. يقدم المؤلفون نموذج وبائي من الرتبة الكسرية يصنف السكان إلى مجموعات معرضة (S)، غير مصابة (A)، أعراض غير مُبلغ عنها (U)، أعراض مُبلغ عنها (V)، ومتRecovered (R). يتم التحكم في النموذج من خلال مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية التي تلتقط ديناميات انتقال المرض والتعافي، مع دمج المشتقات الكسرية لتعزيز دقة ومرونة النموذج.
تم إثبات وجود وحصرية الحلول للنموذج المقترح باستخدام نظريات النقاط الثابتة، مما يوضح أن النهج الكسرية يوفر إطارًا قويًا لتحليل ديناميات الأوبئة. يبرز المؤلفون أهمية المعلمات مثل معدل الانتقال بين الأفراد غير المصابين والمصابين، والتي تؤثر بشكل حاسم على انتشار المرض. تكشف المحاكاة العددية أن تغيير هذه المعلمات يؤثر بشكل كبير على نتائج النموذج، مما يشير إلى أن النموذج الكسرية يقدم رؤى أعمق مقارنة بالنماذج التقليدية من الرتبة الصحيحة. تؤكد النتائج على أهمية تدابير الصحة العامة والوعي في السيطرة على انتقال COVID-19، مع توصيات للتحقق المستقبلي من النموذج باستخدام مشتقات كسرية بديلة.
DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.039.02.04
Publication Date: 2025-03-29
Author(s): S.G. Ahmed et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research paper investigates fractional-order models to address significant challenges in global healthcare posed by COVID-19, focusing on the application of the Atangana-Baleanu-Caputo (ABC) fractional derivative with the Mittag-Leffler kernel. The authors employ the Picard-Lindelof approach to analyze the existence and uniqueness of solutions for the nonlinear fractional-order COVID-19 model. The ABC operator, which integrates fractional calculus with two-step Lagrange polynomial interpolation, is utilized to estimate solutions, demonstrating its effectiveness in handling nonlinear equations. The results indicate the ABC fractional operator’s potential applicability in mathematical epidemiology and other real-world scenarios.
In the conclusion, the study presents a fractional-order epidemic model for COVID-19, starting with a classical model and validating the fractional-order approach through an analysis of solution positivity and boundedness. The model is constructed using the ABC operator and the generalized Mittag-Leffler function, with approximate solutions obtained through fractional calculus and Lagrange polynomial methods. The dynamics of various population groups, such as susceptible individuals and infected persons, are illustrated through figures, highlighting the significant impact of parameter variations on model behavior. The authors recommend that governments and health organizations focus on reducing COVID-19 transmission and enhancing public awareness of preventive measures, while suggesting future validation of the model with alternative fractional derivatives.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the global impact of the COVID-19 pandemic, which originated in Wuhan, China, and has since affected populations worldwide. The virus is characterized by its rapid transmission and asymptomatic spread, with an incubation period ranging from 2 to 14 days. Symptoms include high fever and respiratory difficulties, and while there have been rare instances of animal transmission, human-to-human spread is predominant. Currently, there are no confirmed antiviral treatments or vaccines, necessitating strategic health interventions and effective communication of prevention strategies to mitigate the outbreak.
The paper emphasizes the importance of mathematical modeling in understanding and controlling the spread of infectious diseases like COVID-19. Various models, particularly those based on nonlinear differential equations, have been developed to analyze the dynamics of the virus’s transmission. The introduction highlights the significance of fractional calculus in epidemiological modeling, noting that fractional models can provide more accurate insights into complex disease behaviors compared to traditional integer-order models. The research aims to utilize a novel fractional derivative operator, the ABC operator with a Mittag-Leffler kernel, to enhance the modeling of COVID-19 dynamics, addressing limitations of conventional methods and improving numerical simulations. The structure of the paper is outlined, detailing sections that review fractional calculus, describe the models, and present analyses and simulations related to the COVID-19 outbreak.
Discussion
The discussion section of the paper elaborates on the definitions and properties of the ABC and Atangana-Baleanu fractional derivatives, emphasizing their application in modeling real-world phenomena, particularly in the context of COVID-19. The authors present a fractional-order epidemic model that categorizes the population into susceptible (S), asymptomatic (A), unreported symptomatic (U), reported symptomatic (V), and recovered (R) groups. The model is governed by a set of non-linear ordinary differential equations that capture the dynamics of disease transmission and recovery, incorporating fractional derivatives to enhance the model’s accuracy and flexibility.
The existence and uniqueness of solutions for the proposed model are established using fixed-point theorems, demonstrating that the fractional approach provides a robust framework for analyzing epidemic dynamics. The authors highlight the significance of parameters such as the transmission rate between asymptomatic and symptomatic individuals, which critically influences the spread of the disease. Numerical simulations reveal that varying these parameters significantly affects the model’s outcomes, suggesting that the fractional model offers deeper insights compared to traditional integer-order models. The findings underscore the importance of public health measures and awareness in controlling the transmission of COVID-19, with recommendations for future validation of the model using alternative fractional derivatives.