DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-28809-6
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41656327
تاريخ النشر: 2026-02-08
المؤلف: K. Divyabala وآخرون
الموضوع الرئيسي: علم الأحياء الرياضي ونمو الأورام
نظرة عامة
تقدم هذه القسم تحقيقًا نظريًا حول وجود واستقرار الحلول لمعادلة كيلر-سيجل-نافير-ستوكز العشوائية ذات الكسر الزمني ضمن إطار فضاء هيلبرت. يوضح المؤلفون وجود حلول خفيفة محلية وعالمية، بالإضافة إلى تفردها، من خلال استخدام نظرية النقطة الثابتة لباناش ونظرية الدالة الضمنية لباناش. تتضمن التحليل أدوات من حساب التفاضل العشوائي، وحساب التفاضل الكسر، ودوال ميتاج-ليفلر، مما يؤدي إلى نتائج مهمة تتعلق بالاستقرار الأسيمبتي للنظام.
بالإضافة إلى ذلك، يتضمن البحث مثالًا عدديًا يوضح سلوك النظام، مصحوبًا بنتائج عددية. يشير المؤلفون إلى أن العمل المستقبلي سيوسع هذه الدراسة لتشمل معادلة كيلر-سيجل-نافير-ستوكز العشوائية ذات الكسر الزمني والمكانية مع تأثيرات مفاجئة وأوقات تأخير. كما يخططون لإجراء تحليل للخطأ للخطط العددية المقترحة لضمان دقتها.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون محاكاة عددية لمعادلة TFSKSNS التي تتضمن عملية وينر وقفزات بواسون ضمن مجال مكاني ثنائي الأبعاد من \([0, 1] \times [0, 1]\). تستخدم المحاكاة مشغل لابلاس كسر من الدرجة \(\alpha = 1.5\) ومشتقات كابوتو الكسرية من الدرجة \(\eta = 0.8\). تشمل المعلمات الرئيسية معاملات الانتشار للكثافة \(n\)، تركيز الأكسجين \(c\)، والسرعة \(u\) المحددة عند \(\beta = 0.1\)، \(\mu = 0.1\)، و\(\zeta = 0.1\)، على التوالي. يتم تعريف الشروط الأولية كالتالي: \(n_0(x, y) = \sin(\pi x) \sin(\pi y)\)، \(c_0(x, y) = x^2 y^2\)، و\(u_0(x, y) = [\sin(\pi y), \sin(\pi x)]\). تُجرى المحاكاة بخطوة زمنية قدرها \(\Delta t = 0.01\) وخطوات مكانية \(\Delta x = \Delta y = 0.05\).
توضح النتائج السلوك الكيميائي للبكتيريا، التي تتحرك نحو مناطق ذات تركيز أعلى من الأكسجين في بيئة سائلة ضحلة، متأثرة بديناميات السوائل والعمليات العشوائية. تصور الدراسة ظواهر مثل تجمع البكتيريا ودوامات السوائل، مما يبرز التفاعل المعقد بين الانتشار، الكيمياء الحيوية، وديناميات السوائل. يتم تحليل حالتين: الأولى تحاكي حتى خطوة زمنية 1 والثانية حتى خطوة زمنية 3، باستخدام طريقة الفرق المحدود لتقريب المشتقات المكانية. تؤكد النتائج على التأثير الكبير للضوضاء العشوائية وقفزات بواسون على تطور الكثافة، تركيز الأكسجين، والسرعة مع مرور الوقت.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الجوانب الأساسية لنظام TFSKSNS (معادلة كيلر-سيجل-نافير-ستوكز العشوائية ذات الكسر الزمني)، مع التركيز على إنشاء حلول خفيفة محلية وعالمية ضمن سياق فضاءات $L^p$. يتم تعريف النظام من خلال مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية التي تصف ديناميات كثافة الخلايا ($n$)، تركيز الأكسجين ($c$)، وسرعة السوائل ($u$) في بيئة عشوائية، مع تضمين مشتقات كسرية من الدرجة $\eta$ ومشغل لابلاس كسر من الدرجة $\alpha/2$. تأخذ المعادلات في الاعتبار التفاعلات بين هذه المتغيرات، بما في ذلك الانتشار، النقل، والقوى الخارجية، الممثلة بمصطلحات عشوائية ودوال محتملة.
يقدم المؤلفون مجموعة متنوعة من البنى الرياضية، بما في ذلك فضاءات باناش وفضاءات لورنتز، لتعريف فضاءات الحلول للنظام بشكل صارم. يحددون معايير لوجود وتفرد الحلول الخفيفة العالمية تحت ظروف معينة على البيانات الأولية والمعلمات، مثل قابلية تكامل الشروط الأولية وسلوك الدالة المحتملة $\Phi$. يختتم القسم بصياغة الحلول الخفيفة كمعادلات تكاملية، مما يبرز التفاعل بين الشروط الأولية والمصطلحات غير الخطية الناشئة عن تفاعلات $n$، $c$، و$u$. تشير النتائج إلى أنه تحت الظروف المحددة، يوجد حل خفيف عالمي فريد، مما يساهم في الإطار النظري لفهم الديناميات البيولوجية والسوائل المعقدة التي نمذجها نظام TFSKSNS.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-28809-6
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41656327
Publication Date: 2026-02-08
Author(s): K. Divyabala et al.
Primary Topic: Mathematical Biology Tumor Growth
Overview
This section presents a theoretical investigation into the existence and stability of solutions for the time-fractional stochastic Keller-Segel-Navier-Stokes equation within a Hilbert space framework. The authors demonstrate the existence of both local and global mild solutions, as well as their uniqueness, by employing the Banach fixed point theorem and the Banach implicit function theorem. The analysis incorporates tools from stochastic calculus, fractional calculus, and Mittag-Leffler functions, leading to significant findings regarding the asymptotic stability of the system.
Additionally, the research includes a numerical example that illustrates the behavior of the system, accompanied by numerical results. The authors indicate that future work will extend this study to encompass the time-space fractional stochastic Keller-Segel-Navier-Stokes equation with impulsive effects and delay terms. They also plan to conduct an error analysis of the proposed numerical schemes to ensure their accuracy.
Results
In this section, the authors present numerical simulations of the TFSKSNS equation incorporating a Wiener process and Poisson jumps within a two-dimensional spatial domain of \([0, 1] \times [0, 1]\). The simulations utilize a fractional Laplacian operator of order \(\alpha = 1.5\) and fractional Caputo derivatives of order \(\eta = 0.8\). Key parameters include diffusion coefficients for density \(n\), oxygen concentration \(c\), and velocity \(u\) set at \(\beta = 0.1\), \(\mu = 0.1\), and \(\zeta = 0.1\), respectively. The initial conditions are defined as \(n_0(x, y) = \sin(\pi x) \sin(\pi y)\), \(c_0(x, y) = x^2 y^2\), and \(u_0(x, y) = [\sin(\pi y), \sin(\pi x)]\). The simulations are conducted with a time step of \(\Delta t = 0.01\) and spatial steps \(\Delta x = \Delta y = 0.05\).
The results illustrate the chemotactic behavior of bacteria, which move toward areas of higher oxygen concentration in a shallow fluid environment, influenced by fluid dynamics and stochastic processes. The study visualizes phenomena such as bacterial aggregation and fluid vortices, highlighting the complex interplay between diffusion, chemotaxis, and fluid dynamics. Two cases are analyzed: the first simulating up to time step 1 and the second up to time step 3, employing a finite difference method to approximate spatial derivatives. The findings underscore the significant impact of stochastic noise and Poisson jumps on the evolution of density, oxygen concentration, and velocity over time.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational aspects of the TFSKSNS (Time-Fractional Stochastic Keller-Segel-Navier-Stokes) system, focusing on establishing local and global mild solutions within the context of $L^p$ spaces. The system is defined by a set of fractional partial differential equations that describe the dynamics of cell density ($n$), oxygen concentration ($c$), and fluid velocity ($u$) in a stochastic environment, incorporating fractional derivatives of order $\eta$ and a fractional Laplacian operator of order $\alpha/2$. The equations account for interactions between these variables, including diffusion, advection, and external forces, represented by stochastic terms and potential functions.
The authors introduce various mathematical constructs, including Banach spaces and Lorentz spaces, to rigorously define the solution spaces for the system. They establish criteria for the existence and uniqueness of global mild solutions under specific conditions on the initial data and parameters, such as the integrability of the initial conditions and the behavior of the potential function $\Phi$. The section culminates in the formulation of the mild solutions as integral equations, highlighting the interplay between the initial conditions and the nonlinear terms arising from the interactions of $n$, $c$, and $u$. The findings indicate that under the specified conditions, a unique global mild solution exists, contributing to the theoretical framework for understanding complex biological and fluid dynamics modeled by the TFSKSNS system.