DOI: https://doi.org/10.1007/s12346-024-00965-6
تاريخ النشر: 2024-02-09
المؤلف: Mohammed A. Almalahi وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تبحث هذه الورقة في السلوك الديناميكي لنظام كسري مرتبط مع تأخيرات من خلال استخدام المشتقات القطعية، وتقسيم فترة الدراسة إلى فترتين فرعيتين. يثبت المؤلفون ويؤسسون لليمات رئيسية تتعلق بالمشتقات القطعية، موسعين الشروط اللازمة لوجود وحيدة الحلول. كما يستكشفون نتائج استقرار هايرز-أولام للنظام المقترح، مستفيدين من مبدأ انكماش باناش ونظرية النقطة الثابتة البديلة للياري-شودر. لحساب الحلول التقريبية، يتم استخدام طريقة عددية تعتمد على متعددات الحدود الاستقرائية لنيوتن، ويتم تقديم مثال توضيحي لإظهار التطبيق العملي للنتائج النظرية.
في الختام، تسلط الدراسة الضوء على المجال المتنامي للمشتقات الكسريّة القطعية، مؤكدة على الحاجة لمزيد من الاستكشاف للأسئلة غير المحلولة والتطبيقات المحتملة. لقد طور المؤلفون بنجاح شروطًا كافية لوجود، وحيدة، واستقرار الحلول للمعادلات الكسريّة من خلال مشتقات أتانغانا-بالينو الكسريّة المبتكرة. من خلال الاستفادة من تقنيات التحليل الوظيفي، أسسوا نتائج استقرار هامة ضمن إطار هايرز-أولام. يُقترح البحث المستقبلي لتوسيع هذه النتائج من خلال دمج مشتقات كسريّة قطعية من نوع بسي في إطار أتانغانا-بالينو، كابوتو، وفابريزيو، بهدف تعميق الفهم لكلا الجانبين النظري والعملي للمشتقات الكسريّة القطعية.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على الأهمية المتزايدة لحساب التفاضل الكسري، وخاصة المعادلات التفاضلية من الرتبة الكسريّة، عبر مجالات علمية مختلفة مثل الريولوجيا، ميكانيكا السوائل، ونظرية التحكم. تميز بين تعريفات مختلفة للمشتقات الكسريّة، لا سيما مشتقات ريمان-ليوفيلي، كابوتو، كابوتو-فابريزيو، ومشتقات أتانغانا-بالينو-كابوتو (ABC)، مشددة على المزايا الفريدة لمشتقة ABC بسبب نواتها غير المفردة من نوع ميتاغ-ليفيلر. تسهل هذه المشتقة تأثيرات الذاكرة الممتدة وتوفر قدرات نمذجة محسنة للظواهر المعقدة، بما في ذلك ديناميات الأمراض المعدية واستجابات نمو الأورام.
تحدد الورقة فجوة في الأدبيات المتعلقة بدراسة سلوكيات التداخل في الأنظمة المرتبطة من المعادلات التفاضلية الكسريّة مع تأخيرات. لمعالجة ذلك، يقترح المؤلفون استخدام مشتقات أتانغانا-بالينو الكسريّة القطعية لاستكشاف هذه السلوكيات وتأسيس خصائص نوعية للنظام المرتبط. يحددون مساهماتهم، والتي تشمل تطوير ليمات لتحليل النظام، توسيع الشروط لوجود وحيدة الحلول، واستخدام نظريات النقطة الثابتة والأساليب العددية للتطبيقات العملية. تم هيكلة الأقسام اللاحقة من الورقة لتوفير مراجعة شاملة لحساب التفاضل الكسري، وتأسيس نتائج نظرية، وتقديم أمثلة عددية للتحقق من النتائج.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية اللازمة لتحليل المشتقات القطعية، مع التركيز بشكل خاص على المشتقات الكسريّة الكلاسيكية وأتانغانا-بالينو. يعرفون فضاء باناش \( C(J, \mathbb{R}) \) وفضاء المنتج \( S = C(J, \mathbb{R}) \times C(J, \mathbb{R}) \)، مؤسسين معايير لكل من الفضاءين. يتم تقديم التكامل القطعي لدالة مستمرة \( \mu \) والذي يتغير بناءً على فترة \( \xi \). يتم تقديم ليمتين رئيسيتين: توضح الليمّا 2.2 أن تركيب التكامل القطعي والمشتقة ينتج عنه اختلافات محددة في \( \mu \) عبر الفترات المحددة، بينما تؤسس الليمّا 2.3 أن التركيب العكسي يعيد الدالة الأصلية \( \mu \).
يقدم القسم أيضًا معادلة تكاملية مكافئة لنظام مرتبط من المعادلات التفاضلية الكسريّة، مما يؤدي إلى صياغة مشغل يخرّج من \( S \) إلى نفسه. يستخدم المؤلفون نظرية النقطة الثابتة البديلة للياري-شودر لإثبات وجود الحلول تحت شروط معينة، ويحددون الخطوات اللازمة لتأسيس الاستمرارية، والحدود، والتساوي في الاستمرارية للمشغل. يتم تناول وحيدة الحل بعد ذلك باستخدام مبدأ انكماش باناش، مما يؤدي إلى التأكيد على أن النظام لديه حل وحيد بشرط تلبية عدم المساواة المحددة. أخيرًا، يستكشف المؤلفون استقرار هايرز-أولام للنظام، معرفين الشروط التي يبقى النظام بموجبها مستقرًا تحت الاضطرابات، وينتهون بخطة عددية لحل المعادلات التفاضلية الكسريّة باستخدام طريقة آدامز-باشفورث مع تقنيات التكامل القطعي.
DOI: https://doi.org/10.1007/s12346-024-00965-6
Publication Date: 2024-02-09
Author(s): Mohammed A. Almalahi et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This paper investigates the dynamic behavior of a coupled fractional system with delays by employing piecewise derivatives, dividing the study interval into two subintervals. The authors establish and prove key lemmas related to piecewise derivatives, extending the necessary conditions for the existence and uniqueness of solutions. They also explore the Hyers-Ulam stability results for the proposed system, utilizing the Banach contraction principle and the Leary-Schauder alternative fixed-point theorem. To compute approximate solutions, a numerical method based on Newton’s interpolation polynomials is employed, and an illustrative example is provided to demonstrate the practical application of the theoretical findings.
In conclusion, the study highlights the burgeoning field of piecewise fractional derivatives, emphasizing the need for further exploration of unresolved questions and potential applications. The authors have successfully developed sufficient conditions for the existence, uniqueness, and stability of solutions to fractional equations through innovative piecewise Atangana-Baleanu fractional derivatives. By leveraging functional analysis techniques, they have established significant stability results within the Hyers-Ulam framework. Future research is proposed to extend these findings by incorporating psi piecewise fractional derivatives within the Atangana-Baleanu, Caputo, and Fabrizio frameworks, aiming to deepen the understanding of both theoretical and practical aspects of piecewise fractional derivatives.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the growing significance of fractional calculus, particularly fractional order differential equations, across various scientific fields such as rheology, fluid mechanics, and control theory. It distinguishes between different definitions of fractional derivatives, notably the Riemann-Liouville, Caputo, Caputo-Fabrizio, and Atangana-Baleanu-Caputo (ABC) derivatives, emphasizing the unique advantages of the ABC derivative due to its non-singular Mittag-Leffler kernel. This derivative facilitates extended memory effects and offers enhanced modeling capabilities for complex phenomena, including the dynamics of infectious diseases and tumor growth responses.
The paper identifies a gap in the literature regarding the study of crossover behaviors in coupled systems of fractional differential equations with delays. To address this, the authors propose the use of piecewise Atangana-Baleanu fractional derivatives to explore these behaviors and establish qualitative properties of the coupled system. They outline their contributions, which include developing lemmas for analyzing the system, expanding conditions for existence and uniqueness of solutions, and employing fixed-point theorems and numerical methods for practical applications. The subsequent sections of the paper are structured to provide a comprehensive review of fractional calculus, establish theoretical results, and present numerical examples to validate the findings.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts necessary for analyzing piecewise derivatives, particularly focusing on classical and Atangana-Baleanu fractional derivatives. They define a Banach space \( C(J, \mathbb{R}) \) and a product space \( S = C(J, \mathbb{R}) \times C(J, \mathbb{R}) \), establishing norms for both spaces. The piecewise integral of a continuous function \( \mu \) is introduced, which varies based on the interval of \( \xi \). Two key lemmas are presented: Lemma 2.2 demonstrates that the composition of the piecewise integral and derivative yields specific differences in \( \mu \) across defined intervals, while Lemma 2.3 establishes that the reverse composition returns the original function \( \mu \).
The section further introduces an equivalent integral equation for a coupled system of fractional differential equations, leading to the formulation of an operator that maps from \( S \) to itself. The authors apply the Leary-Schauder alternative fixed-point theorem to prove the existence of solutions under certain conditions, and they outline the steps necessary to establish the continuity, boundedness, and equicontinuity of the operator. The uniqueness of the solution is subsequently addressed using the Banach contraction principle, culminating in the assertion that the system has a unique solution provided specific inequalities are satisfied. Finally, the authors explore the Hyers-Ulam stability of the system, defining conditions under which the system remains stable under perturbations, and they conclude with a numerical scheme for solving the fractional differential equations using the Adams-Bashforth method combined with piecewise integral techniques.