DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-30065-7
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41310394
تاريخ النشر: 2025-11-27
المؤلف: Emad A. Az-Zo’bi وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم ورقة البحث صياغة جديدة لمعادلات النقل والتشتت من الرتبة الكسرية لمعالجة نقل الملوثات، وهي قضية بيئية حاسمة. تستخدم الدراسة المشتق الكسرى المعدل من أتانغانا-بالينو-كابوتو (MABC)، الذي يعزز المشتق الكلاسيكي لأتانغانا-بالينو من خلال توفير مرونة محسنة في نمذجة الذاكرة والتأثيرات غير المحلية في نقل الملوثات. لحل معادلات النقل والتشتت الكسرية الناتجة (FADEs) عددياً، يستخدم المؤلفون الشبكات العصبية المدعومة بالفيزياء (PINNs)، التي تدمج القوانين الفيزيائية الحاكمة في إطار التعلم العميق، مما ينتج عنه حلول شبه تحليلية دقيقة للغاية وسريعة التقارب.
تشير النتائج إلى أن معامل الرتبة الكسرية $\theta$ في المشتق MABC يدل على قوة الذاكرة في نقل الملوثات، حيث ترتبط القيم الأصغر لـ $\theta$ بتأثيرات غير محلية أقوى وتدهور أبطأ للذاكرة. النموذج الكسرى المطور يلتقط بفعالية تعقيدات نقل الملوثات، وطريقة PINN تحول المعادلات التفاضلية الحاكمة إلى نظام من المعادلات الجبرية، مما يسمح بحلول فعالة من خلال تقنيات التحسين القياسية. تظهر النتائج دقة وموثوقية وكفاءة هذا النهج مقارنة بالطرق العددية الحالية، مما يشير إلى إمكانيته للتطبيقات المستقبلية في نمذجة البيئة.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث تطور وأهمية حساب التفاضل والتكامل الكسرى (FC)، الذي يعمم مفاهيم المشتقات والتكاملات إلى رتب تعسفية. تاريخياً، واجه FC تحديات في التطبيقات العملية بسبب نقص التفسيرات الفيزيائية الواضحة. ومع ذلك، فإن خصائصه غير المحلية، التي تتضمن تأثيرات الذاكرة، جعلت المعادلات التفاضلية الكسرية أكثر فعالية في نمذجة الظواهر المعقدة في العالم الحقيقي عبر مجالات مختلفة، بما في ذلك الطب والهندسة. تبرز الورقة تطوير تعريفات مختلفة للمشتق الكسرى، وخاصة المشتق الكسرى لكابوتو وتعديلاته، مثل المشتق غير المفرد الذي اقترحه كابوتو وفابريزيو، والمشتق الأكثر تعميماً لأتانغانا-بلايناو، culminating in the modified Atangana-Blaenau-Caputo (MABC) derivative.
يستخدم المشتق MABC، الذي يستخدم دالة ميتاج-ليفلر ك kernel له، لمعالجة قيود النماذج السابقة من خلال السماح بتدهور غير أسّي، مما يعزز نمذجة عمليات الانتشار الشاذة. تؤكد الورقة على أهمية معادلات النقل والتشتت الكسرية (FADEs) في تمثيل نقل الملوثات بدقة في الوسائط المسامية، خاصة تحت ظروف غير فيكي. يقترح المؤلفون نهجًا جديدًا باستخدام الشبكات العصبية المدعومة بالفيزياء (PINNs) لحل FADEs المكونة باستخدام المشتق MABC، مما يدمج القوانين الفيزيائية في دالة خسارة الشبكة العصبية لتحسين عملية الحل. يهدف هذا الإطار إلى توفير حلول دقيقة وفعالة لنمذجة نقل الملوثات، مما يعكس الأهمية المتزايدة لحساب التفاضل والتكامل الكسرى في البحث العلمي المعاصر.
طرق
في هذا القسم، يستخدم المؤلفون الشبكات العصبية المدعومة بالفيزياء (PINNs) لتقريب الحلول لمعادلة النقل والتشتت الكسرية (FADE)، باستخدام مشتق كسرى معدل يعرف باسم المشتق MABC. تدمج المنهجية الخصائص الجوهرية لـ PINNs، التي تستفيد من كل من المعادلات الحاكمة وظروف الحدود لإبلاغ عملية تدريب الشبكة العصبية. من خلال دمج وظائف المشتقات ذات الصلة، يهدف النهج إلى تعزيز دقة وكفاءة عملية الحل لـ FADE، مع معالجة التعقيدات المرتبطة بالمشتقات الكسرية في نمذجة ظواهر النقل.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون تطوير وتطبيق المشغلين الكسرين المعدلين، وخاصة المشتقات ABC وMABC، التي تعزز نمذجة السلوكيات غير المحلية والمعتمدة على الذاكرة في المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs). يقدم المشتق MABC معلمة نواة مرنة، مما يحسن الاستقرار وقابلية التفسير الفيزيائي، ويُعرف من خلال سلسلة من المعادلات التكاملية التي تتضمن دالة ميتاج-ليفلر. يقدم المؤلفون أيضًا نهجًا جديدًا باستخدام الشبكات العصبية المدعومة بالفيزياء (PINNs) لحل مشاكل النقل والتشتت، مع التركيز على دمج المعادلات الحاكمة في دالة الخسارة لضمان الامتثال لظروف البداية والحدود.
يتكون هيكل PINN من طبقتين مخفيتين مع عدد محدد من الخلايا العصبية، باستخدام متوسط الخطأ التربيعي كدالة خسارة. تتضمن عملية التدريب تحديثات تكرارية للأوزان والانحيازات من خلال خوارزميات التحسين، مع التركيز على توليد نقاط التوافق للتعلم الفعال. يظهر المؤلفون فعالية طريقتهم من خلال أمثلة توضيحية، مقارنة النتائج العددية مع الحلول التحليلية والأدبيات الحالية، التي تؤكد دقة وكفاءة النهج المقترح. تشير النتائج إلى أن إطار المشتق MABC، جنبًا إلى جنب مع PINNs، هو أداة واعدة لمعالجة تحديات نمذجة البيئة المعقدة، مع إمكانيات تطبيقات مستقبلية في أنظمة PDE-جبرية مرتبطة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-30065-7
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41310394
Publication Date: 2025-11-27
Author(s): Emad A. Az-Zo’bi et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
The research paper presents a novel formulation of advection-dispersion equations of fractional order to address the transport of pollutants, a critical environmental issue. The study employs the Modified Atangana-Baleanu-Caputo (MABC) fractional derivative, which enhances the classical Atangana-Baleanu derivative by providing improved flexibility in modeling memory and nonlocal effects in pollutant transport. To solve the resulting fractional advection-dispersion equations (FADEs) numerically, the authors utilize physics-informed neural networks (PINNs), which integrate governing physical laws into a deep learning framework, yielding highly accurate and rapidly converging semi-analytical solutions.
The findings indicate that the fractional order parameter $\theta$ in the MABC derivative signifies the strength of memory in pollutant transport, with smaller values of $\theta$ correlating to stronger nonlocal effects and slower memory decay. The developed fractional model effectively captures the complexities of contaminant transport, and the PINN-based method transforms the governing differential equations into a system of algebraic equations, allowing for efficient solutions through standard optimization techniques. The results demonstrate the accuracy, robustness, and efficiency of this approach compared to existing numerical methods, suggesting its potential for future applications in environmental modeling.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the evolution and significance of fractional calculus (FC), which generalizes the concepts of derivatives and integrals to arbitrary orders. Historically, FC faced challenges in practical applications due to a lack of clear physical interpretations. However, its nonlocal properties, which incorporate memory effects, have made fractional differential equations more effective for modeling complex real-world phenomena across various fields, including medicine and engineering. The paper highlights the development of various fractional derivative definitions, particularly the Caputo fractional derivative and its modifications, such as the non-singular derivative proposed by Caputo and Fabrizio, and the more generalized Atangana-Blaenau derivative, culminating in the modified Atangana-Blaenau-Caputo (MABC) derivative.
The MABC derivative, which utilizes a Mittag-Leffler function as its kernel, addresses limitations of previous models by allowing for non-exponential decay, thus enhancing the modeling of anomalous diffusion processes. The paper emphasizes the relevance of fractional advection-dispersion equations (FADEs) in accurately representing contaminant transport in porous media, particularly under non-Fickian conditions. The authors propose a novel approach using Physics-Informed Neural Networks (PINNs) to solve the FADEs formulated with the MABC derivative, integrating physical laws into the neural network’s loss function to optimize the solution process. This framework aims to provide precise and efficient solutions for pollutant transport modeling, reflecting the growing importance of fractional calculus in contemporary scientific research.
Methods
In this section, the authors employ Physics Informed Neural Networks (PINNs) to approximate solutions for the fractional advection dispersion equation (FADE), utilizing a modified fractional derivative known as the MABC derivative. The methodology integrates the inherent properties of PINNs, which leverage both the governing equations and boundary conditions to inform the neural network training process. By incorporating related derivative functions, the approach aims to enhance the accuracy and efficiency of the solution process for FADE, addressing the complexities associated with fractional derivatives in modeling transport phenomena.
Discussion
In this section, the authors discuss the development and application of modified fractional operators, particularly the ABC and MABC derivatives, which enhance the modeling of nonlocal and memory-dependent behaviors in fractional differential equations (FDEs). The MABC derivative introduces a flexible kernel parameter, improving stability and physical interpretability, and is defined through a series of integral equations involving the Mittag-Leffler function. The authors also present a novel approach using Physics Informed Neural Networks (PINNs) to solve advection-dispersion problems, emphasizing the integration of governing equations into the loss function to ensure compliance with initial and boundary conditions.
The PINN architecture consists of two hidden layers with a specific number of neurons, utilizing the mean squared error as the loss function. The training process involves iterative updates of weights and biases through optimization algorithms, with a focus on generating collocation points for effective learning. The authors demonstrate the efficacy of their method through illustrative examples, comparing numerical results with analytical solutions and existing literature, which confirm the proposed approach’s accuracy and efficiency. The findings suggest that the MABC derivative framework, combined with PINNs, is a promising tool for addressing complex environmental modeling challenges, with potential future applications in coupled PDE-algebraic systems.