DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-04387-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40523892
تاريخ النشر: 2025-06-16
المؤلف: Faraj M. Omar وآخرون
الموضوع الرئيسي: الموجات غير الخطية والسوليتونات
نظرة عامة
في هذه الدراسة، يستخدم المؤلفون طريقة رسم مباشر جديدة لاشتقاق حلول السوليتون البصرية لمعادلة شرودنجر غير الخطية القابلة للتوافق، والتي تتضمن معاملات انتشار سرعة المجموعة وعبارات زمنية مكانية من الدرجة الثانية. تستفيد الأبحاث من نظريات التفرع والفوضى لتحليل النظام الديناميكي المستوي المرتبط، مما يوفر تمثيلات رسومية للحلول الفوضوية للنظام المضطرب. تم تقديم عائلة جديدة من حلول السوليتون، بما في ذلك السوليتونات على شكل جرس، المظلمة-المضيئة، والمختلطة المظلمة-المضيئة، والتي لم يتم توثيقها سابقًا. يتم استكشاف تأثير معامل المشتق القابل للتوافق والديناميات الزمنية على هذه الحلول بشكل منهجي، مما يبرز أهمية النموذج في التطبيقات العملية، لا سيما في تقنيات الاتصالات عبر الألياف الضوئية لنقل النبضات فائقة السرعة بكفاءة.
تسلط النتائج الضوء على موثوقية وكفاءة الطرق المستخدمة، مما يوضح قابليتها للتطبيق على مجموعة واسعة من الأنظمة غير الخطية ذات الهياكل المعقدة. يتم توضيح نتائج الدراسة من خلال تصورات ثلاثية الأبعاد ورسوم بيانية ثنائية الأبعاد، مما يعزز فهم ديناميات النظام. يستنتج المؤلفون أن نموذج شرودنجر المقدم يحمل وعدًا كبيرًا للتطبيقات المستقبلية في نقل النبضات فائقة السرعة ويقترحون أن المنهجية الحالية يمكن توسيعها للتحقيق في أنواع أخرى من معادلات شرودنجر غير الخطية ذات الأوامر الصحيحة والكسري.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون تحليلًا مفصلًا للحلول البصرية المشتقة من معادلة شرودنجر القابلة للتوافق، مع التركيز على تأثير المشتق من الدرجة القابلة للتوافق، الممثل بـ $\alpha$، والمتغير الزمني $t$. توضح تمثيلات رسومية متنوعة، بما في ذلك الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد، والكونتور، والرسوم البيانية ثلاثية الأبعاد، خصائص وأهمية هذه الحلول. بشكل ملحوظ، يتم تصوير الحل البصري على شكل جرس $|\rho_1(x, t)|^2$ في الأشكال 1(a) و1(b)، بينما تعرض الأشكال 2(a)، 2(b)، و5(a)، 5(b) حلول مختلطة مظلمة-مضيئة لـ $\text{Re}(\rho_1(x, t))$ و$\text{Im}(\rho_9(x, t))$، على التوالي، مما يبرز تأثيرات المعامل الزمني $t$.
تشير النتائج إلى أن حلول السوليتون البصرية تظهر استقرارًا على مسافات طويلة، مع تغير ميزاتها الطوبولوجية مع تغير المعامل الزمني. تظهر الحلول المختلطة المظلمة-المضيئة، المميزة بمناطق ذات كثافة منخفضة وعالية، تفاعلات معقدة بين المكونات المظلمة والمضيئة ضمن نفس دالة الموجة. علاوة على ذلك، تقارن الأشكال 4(a) و4(b) الحل $|\rho_9(x, t)|^2$ لقيمتين متميزتين من $\alpha$، مما يعزز قدرة النظام على دعم هياكل متماسكة متنوعة تحافظ على شكلها وسرعتها أثناء الانتشار. تشمل المعلمات المستخدمة في التحليل $\alpha = 1$، $w = -1$، $\eta_2 = 1$، $\eta_1 = 0.5$، $\kappa = 0.3$، و$u = -0.36$.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون اشتقاق حلول السوليتون البصرية المبتكرة لمعادلة شرودنجر غير الخطية المضطربة باستخدام طريقة رسم مباشر. يقدمون تمثيلًا سلسليًا للحل، $W(\sigma) = \sum_{j=0}^{N} d_j (\Lambda(\sigma))^j$، حيث أن $\Lambda(\sigma)$ تلبي معادلة تفاضلية محددة. يشتق المؤلفون عدة حلول مغلقة، بما في ذلك دوال القاطع الزائد والقاطع، والتي تعتبر مهمة لفهم ديناميات السوليتون في الألياف الضوئية. يؤكدون على جدّة هذه الحلول، التي لم يتم الإبلاغ عنها في الأدبيات الحالية، ويظهرون تأثيرات تغيير المعلمات على ملفات السوليتون.
علاوة على ذلك، يقوم المؤلفون بإجراء تحليل تفرع للنظام الديناميكي المشتق من معادلة شرودنجر غير الخطية، مع تحديد نقاط التوازن وخصائص استقرارها بناءً على محدد مصفوفة جاكوب. يستكشفون الديناميات الفوضوية من خلال إدخال اضطرابات على النظام، مما يظهر كيف تؤثر القوى الخارجية على سلوك النظام. يكشف تحليل الحساسية أن كل من الأنظمة الأصلية والمضطربة تظهر حساسية كبيرة تجاه الظروف الأولية، مما يؤدي إلى سلوك فوضوي. تؤكد النتائج موثوقية الطرق المستخدمة وإمكاناتها في الاتصالات عبر الألياف الضوئية، مما يمهد الطريق لدراسات مستقبلية حول معادلات شرودنجر غير الخطية ذات الأوامر المتغيرة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-04387-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40523892
Publication Date: 2025-06-16
Author(s): Faraj M. Omar et al.
Primary Topic: Nonlinear Waves and Solitons
Overview
In this study, the authors employ a novel direct mapping method to derive optical soliton solutions for the nonlinear conformable Schrödinger equation, which incorporates group velocity dispersion coefficients and second-order spatiotemporal terms. The research leverages bifurcation and chaos theories to analyze the associated planar dynamical system, providing graphical representations of chaotic solutions for the perturbed system. A new family of soliton solutions, including bell-shaped, dark-bright, and mixed dark-bright solitons, is introduced, which have not been previously documented. The influence of the conformable derivative parameter and temporal dynamics on these solutions is systematically explored, underscoring the model’s relevance in practical applications, particularly in optical fiber communication technologies for the efficient transmission of ultra-fast pulses.
The findings highlight the reliability and efficiency of the methods used, demonstrating their applicability to a broad range of nonlinear systems with complex structures. The study’s results are illustrated through three-dimensional visualizations and two-dimensional graphs, enhancing the understanding of the system’s dynamics. The authors conclude that the presented Schrödinger model holds significant promise for future applications in transmitting ultra-fast pulses and suggest that the current methodology could be extended to investigate other types of nonlinear Schrödinger equations with integer and fractional orders.
Results
In this section, the authors present a detailed analysis of the optical solutions derived from the conformable Schrödinger equation, focusing on the influence of the conformable order derivative, denoted as $\alpha$, and the time variable $t$. Various graphical representations, including two-dimensional, contour, and three-dimensional plots, illustrate the properties and physical significance of these solutions. Notably, the bell-shaped optical solution $|\rho_1(x, t)|^2$ is depicted in Figures 1(a) and 1(b), while Figures 2(a), 2(b), and 5(a), 5(b) showcase mixed dark-bright solutions of $\text{Re}(\rho_1(x, t))$ and $\text{Im}(\rho_9(x, t))$, respectively, highlighting the effects of the temporal parameter $t$.
The results indicate that the optical soliton solutions exhibit stability over long distances, with their topological features varying as the temporal parameter changes. The mixed dark-bright solutions, characterized by regions of both low and high intensity, demonstrate complex interactions between the dark and bright components within the same wave function. Furthermore, Figure 4(a) and 4(b) compare the solution $|\rho_9(x, t)|^2$ for two distinct values of $\alpha$, reinforcing the system’s capability to support diverse coherent structures that maintain their form and speed during propagation. The parameters used in the analysis include $\alpha = 1$, $w = -1$, $\eta_2 = 1$, $\eta_1 = 0.5$, $\kappa = 0.3$, and $u = -0.36$.
Discussion
In this section, the authors discuss the derivation of innovative optical soliton solutions for the perturbed time-fractional nonlinear Schrödinger equation using a direct mapping method. They present a series representation for the solution, $W(\sigma) = \sum_{j=0}^{N} d_j (\Lambda(\sigma))^j$, where $\Lambda(\sigma)$ satisfies a specific differential equation. The authors derive several closed-form solutions, including hyperbolic secant and cosecant functions, which are significant for understanding soliton dynamics in optical fibers. They emphasize the novelty of these solutions, which have not been reported in existing literature, and illustrate the effects of varying parameters on the soliton profiles.
Furthermore, the authors conduct a bifurcation analysis of the dynamical system derived from the nonlinear Schrödinger equation, identifying equilibrium points and their stability characteristics based on the determinant of the Jacobian matrix. They explore chaotic dynamics by introducing perturbations to the system, demonstrating how external forces influence the system’s behavior. The sensitivity analysis reveals that both the original and perturbed systems exhibit significant sensitivity to initial conditions, leading to chaotic behavior. The findings underscore the reliability of the methods used and their potential applications in optical fiber communications, paving the way for future studies on nonlinear Schrödinger equations with varying orders.