الوجود العالمي الجيد والتقريب العددي لنظام متصل من دارسي-التوصيل-الانتشار مع غير خطية أسية Global well-posedness and numerical approximation of a coupled Darcy-convection-diffusion system with exponential nonlinearity

المجلة: Nonlinear Analysis Real World Applications، المجلد: 93
DOI: https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2026.104674
تاريخ النشر: 2026-06-14
المؤلف: Sahil Kundu وآخرون
الموضوع الرئيسي: المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية

نظرة عامة

تتناول هذه الورقة البحثية تدفق driven density في الوسائط المسامية، مع التركيز على تأثيرات تباين اللزوجة، تباين الكثافة، والامتصاص الخطي. تدرس الدراسة سيناريو حيث يكون سائل أثقل وأكثر لزوجة فوق سائل أخف، مما يؤدي إلى عدم الاستقرار تحت قوى الجاذبية وتشكيل هياكل تشبه الأصابع. الإطار الرياضي يجمع بين قانون دارسي مع معادلة تفاعل الحمل والانتشار، حيث يتم إدخال عدم الخطية من خلال اللزوجة المعتمدة على التركيز وعبارة النقل الحمل. يظهر المؤلفون وجود زوج فريد من الحلول الضعيفة باستخدام تقنيات تقريب غاليركين والتقطيع، بينما يطبقون أيضًا مبدأ الحد الأقصى لإثبات عدم سلبية التركيز.

علاوة على ذلك، يتم تحليل سلوك الحل على المدى الطويل، مما يكشف أن التركيز يتقارب أسيًا إلى الصفر في معيار $L^p$ لجميع $1 \leq p \leq \infty$ مع اقتراب الوقت من اللانهاية. تكمل النتائج النظرية، حيث يتم إجراء محاكاة عددية تعتمد على صيغة الضغط للتحقيق في الطاقة الحركية الكلية وقياسات الخلط على مر الزمن. تشير النتائج إلى أنه بينما يعزز تباين الكثافة الطاقة الحركية الكلية، فإن التأثير يتناقص مع الزيادات الإضافية. بالإضافة إلى ذلك، على الرغم من أن الامتصاص يقلل من كفاءة الخلط، فإن هذا التثبيط يصل أيضًا إلى نقطة تشبع مع زيادة مستويات الامتصاص، مما يتماشى مع الملاحظات العددية.

مقدمة

تحدث عدم استقرار رايلي-تايلور عندما يزيح سائل أثقل سائلًا أخف في وسط مسامي، حيث يتأثر تطوره بشكل كبير بتباين الحركة بين السوائل، وخاصة لزوجتها. هذا عدم الاستقرار حاسم في تطبيقات متنوعة، بما في ذلك استعادة النفط المعزز، احتجاز ثاني أكسيد الكربون، ونقل الملوثات في المياه الجوفية. إن تفاعل المواد المذابة مع المصفوفة المسامية، بشكل أساسي من خلال الامتصاص، يعدل نقل المواد المذابة ويؤثر على ديناميات عدم الاستقرار والخلط. تتضمن المعادلات الحاكمة لهذه الظاهرة نظامًا مرتبطًا من تدفق السوائل ونقل المواد المذابة، يتميز بسرعة دارسي $u$، الضغط $p$، وتركيز المادة المذابة $c_m$. يأخذ النموذج في الاعتبار عمليات الحمل، الانتشار، والامتصاص-الإزالة، مما يؤدي إلى سلوكيات معقدة تتأثر بتباينات الكثافة واللزوجة.

على الرغم من العديد من الدراسات العددية التي تستكشف تأثيرات هذه التباينات على التدفقات الحملية، لا يزال هناك نقص في المناقشة الدقيقة بشأن حسن التحديد للنموذج الرياضي الأساسي. لقد أثبتت الأعمال السابقة بعض النتائج للتدفقات القابلة للامتزاج، ولكن هناك فجوات كبيرة، خاصة في الحالات التي تعتمد فيها اللزوجة بشكل أسي على تركيز المادة المذابة. تهدف هذه الورقة إلى معالجة هذه الفجوات من خلال إثبات حسن التحديد لنموذج لتدفق قابل للامتزاج driven density يتضمن الامتصاص الخطي واللزوجة المعتمدة على التركيز. يستخدم المؤلفون حجة التقطيع ومبدأ الحد الأقصى لتحديد الحدود اللازمة على التركيز، مما يضمن وجود، تفرد، واعتماد مستمر للحلول على البيانات الأولية. بالإضافة إلى ذلك، يستخرجون تقديرات للطاقة الحركية الكلية وكفاءة الخلط، التي تم التحقق منها من خلال المحاكاة العددية في COMSOL Multiphysics، والتي تتماشى بشكل وثيق مع التوقعات النظرية. تم هيكلة الورقة لتقديم المعادلات الحاكمة أولاً، تليها النتائج الأولية، إثباتات حسن التحديد، تحليل سلوك المدى الطويل، ومناقشة النهج العددي وآثاره.

النتائج

في هذا القسم، يثبت المؤلفون وجود وتفرد حل ضعيف للنظام المحدد بواسطة المعادلات (1a)-(1f). النتيجة الرئيسية، النظرية 4.1، تؤكد أنه لأي بيانات أولية $ c_0 \in L^2(\Omega) $، يوجد زوج من الحلول $ (c, u) $ الذي يلبي النظام. تتضمن الإثبات استراتيجية متعددة الخطوات: أولاً، يتم صياغة مشكلة تقريبية $ \ell $ باستخدام تقنية التقطيع؛ ثانياً، يتم تطبيق طريقة بوبنوف-غاليركين للحصول على تقريبيات ذات أبعاد محدودة؛ ثالثاً، يتم اشتقاق حدود موحدة للتقريبات، مما يؤدي إلى التقارب مع $ n \to \infty $؛ وأخيرًا، يتم أخذ الحد عندما $ \ell \to \infty $، مما يضمن عدم سلبية $ c_\ell $ من خلال مبدأ الحد الأقصى الضعيف.

تستكشف الدراسة العددية اللاحقة مشكلة القيمة الأولية-الحدودية (1) في جزئين. الجزء الأول، الذي يغطي الفقرات الفرعية 6.1 إلى 6.4، يركز على الحالة غير التفاعلية ($ \kappa = 0 $)، محللاً تأثيرات تباين اللزوجة $ R $، تباين الكثافة $ \alpha $، ومعامل الامتصاص $ k $ على عدم الاستقرار وسلوك الخلط. في الفقرة الفرعية 6.5، يتم إدخال مصطلحات التفاعل لفحص كيفية تأثير معامل التفاعل $ \kappa $ ومعامل الامتصاص $ k $ على معدل الانخفاض الأسي. يتم إعادة صياغة النظام لإزالة متغير السرعة، مما يسمح بحل مباشر للضغط والتركيز. يتم حل الصيغة الضعيفة باستخدام طريقة العناصر المحدودة في COMSOL Multiphysics، مع توفير مواصفات تنفيذ عددية مفصلة في ملحق. تهدف الدراسة إلى التحقق من النتائج النظرية وتوضيح السلوك النوعي للحلول في المجال المكاني والزماني المحدد.

مناقشة

في هذا القسم، يقدم المؤلفون نموذجًا رياضيًا لتدفق خليط من مادة مذابة ومذيب في وسط مسامي مشبع، يحكمه قانون دارسي ومعادلة الحمل-الانتشار-الامتصاص. يتضمن النموذج توازنًا محليًا بين الأطوار المتحركة والممتصة، مما يؤدي إلى نظام من المعادلات التي تصف ديناميات تركيز المادة المذابة وتدفق السوائل. يتم الإشارة إلى التركيز في الطور المتحرك بـ $ c $، بينما يرتبط التركيز الممتص $ c_s $ بـ $ c $ عبر إيزوثيرم خطي $ c_s = k c $. يخضع النظام لظروف حدودية بدون تدفق وقيود على التركيز الأولي، مما يضمن عدم السلبية والحدود للبيانات الأولية.

يقدم المؤلفون مفهوم الحلول الضعيفة للنظام، مع تحديد الشروط التي بموجبها يعتبر الزوج $ (c, u) $ حلًا ضعيفًا. يستخدمون طريقة تقريب بوبنوف-غاليركين لإثبات وجود حلول ضعيفة، مستفيدين من تقنيات التقطيع لمصطلح اللزوجة غير الخطية. يتم اشتقاق حدود أولوية لضمان عدم سلبية الحلول التقريبية في مساحات وظيفية متنوعة. يختتم القسم بمناقشة حول السلوك الأسيمبتيكي للتركيز مع تقدم الزمن، موضحًا الانخفاض الأسي في معيار $ L^\infty $ وإثبات تفرد الحلول الضعيفة للنظام. تبرز النتائج التفاعل بين ديناميات التركيز وتدفق السوائل في الوسائط المسامية، مما يوفر إطارًا لمزيد من التحليل والتطبيقات.

Journal: Nonlinear Analysis Real World Applications, Volume: 93
DOI: https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2026.104674
Publication Date: 2026-06-14
Author(s): Sahil Kundu et al.
Primary Topic: Nonlinear Partial Differential Equations

Overview

This research paper examines density-driven flow in porous media, emphasizing the influences of viscosity contrast, density contrast, and linear adsorption. The study considers a scenario where a heavier, more viscous fluid is situated above a lighter fluid, leading to instability under gravitational forces and the formation of finger-like structures. The mathematical framework combines Darcy’s law with a convection-diffusion reaction equation, where nonlinearity is introduced through the concentration-dependent viscosity and the convective transport term. The authors demonstrate the existence of a unique pair of weak solutions using the Galerkin approximation and truncation techniques, while also applying the maximum principle to establish the non-negativity of concentration.

Furthermore, the long-term behavior of the solution is analyzed, revealing that the concentration converges exponentially to zero in the $L^p$-norm for all $1 \leq p \leq \infty$ as time approaches infinity. Complementing the theoretical findings, numerical simulations based on a pressure formulation are conducted to investigate total kinetic energy and mixing measures over time. The results indicate that while increasing density contrast enhances total kinetic energy, the effect diminishes with further increments. Additionally, although adsorption reduces mixing efficiency, this suppression also reaches a saturation point with increased adsorption levels, aligning with the numerical observations.

Introduction

The Rayleigh-Taylor instability occurs when a heavier fluid displaces a lighter fluid in a porous medium, with its development significantly influenced by the mobility contrast between the fluids, particularly their viscosities. This instability is critical in various applications, including enhanced oil recovery, carbon dioxide sequestration, and contaminant transport in groundwater. The interaction of solutes with the porous matrix, primarily through adsorption, modifies solute transport and affects the dynamics of instability and mixing. The governing equations for this phenomenon involve a coupled system of fluid flow and solute transport, characterized by the Darcy velocity $u$, pressure $p$, and solute concentration $c_m$. The model accounts for advection, dispersion, and adsorption-desorption processes, leading to complex behaviors influenced by density and viscosity contrasts.

Despite numerous numerical studies exploring the effects of these contrasts on convective flows, there remains a lack of rigorous discussion regarding the well-posedness of the underlying mathematical model. Previous works have established some results for miscible flows, but significant gaps exist, particularly for cases where viscosity depends exponentially on solute concentration. This paper aims to address these gaps by proving the well-posedness of a model for density-driven miscible flow that incorporates linear adsorption and concentration-dependent viscosity. The authors employ a truncation argument and the maximum principle to establish necessary bounds on concentration, ensuring the existence, uniqueness, and continuous dependence of solutions on initial data. Additionally, they derive estimates for total kinetic energy and mixing efficiency, validated through numerical simulations in COMSOL Multiphysics, which align closely with theoretical predictions. The paper is structured to first present the governing equations, followed by preliminary results, proofs of well-posedness, long-time behavior analysis, and a discussion of the numerical approach and its implications.

Results

In this section, the authors establish the existence and uniqueness of a weak solution for the system defined by equations (1a)-(1f). The main result, Theorem 4.1, asserts that for any initial data $ c_0 \in L^2(\Omega) $, there exists a solution pair $ (c, u) $ that satisfies the system. The proof involves a multi-step strategy: first, an $ \ell $-approximate problem is formulated using a truncation technique; second, the Bubnov-Galerkin method is applied to obtain finite-dimensional approximations; third, uniform bounds for the approximations are derived, leading to convergence as $ n \to \infty $; and finally, the limit as $ \ell \to \infty $ is taken, ensuring nonnegativity of $ c_\ell $ through the weak maximum principle.

The subsequent numerical study investigates the initial-boundary value problem (1) in two parts. The first part, covering Subsections 6.1 to 6.4, focuses on the non-reactive case ($ \kappa = 0 $), analyzing the effects of viscosity contrast $ R $, density contrast $ \alpha $, and adsorption coefficient $ k $ on instability and mixing behavior. In Subsection 6.5, reaction terms are introduced to examine how the reaction coefficient $ \kappa $ and adsorption coefficient $ k $ influence the exponential decay rate. The system is reformulated to eliminate the velocity variable, allowing for the direct solution of pressure and concentration. The weak formulation is solved using the finite element method in COMSOL Multiphysics, with detailed numerical implementation specifications provided in an appendix. The study aims to validate theoretical findings and illustrate the qualitative behavior of the solutions in the defined spatial and temporal domain.

Discussion

In this section, the authors present a mathematical model for the flow of a miscible solute-solvent mixture in a saturated porous medium, governed by Darcy’s law and a convection-diffusion-adsorption equation. The model incorporates local equilibrium between mobile and adsorbed phases, leading to a system of equations that describe the dynamics of solute concentration and fluid flow. The concentration in the mobile phase is denoted by $ c $, while the adsorbed concentration $ c_s $ is related to $ c $ via a linear isotherm $ c_s = k c $. The system is subject to no-flux boundary conditions and initial concentration constraints, ensuring non-negativity and boundedness of the initial data.

The authors introduce the concept of weak solutions for the system, defining conditions under which a pair $ (c, u) $ qualifies as a weak solution. They employ a Bubnov-Galerkin approximation method to establish the existence of weak solutions, utilizing truncation techniques for the nonlinear viscosity term. A priori bounds are derived to ensure uniform boundedness of the approximate solutions in various functional spaces. The section concludes with a discussion on the asymptotic behavior of the concentration as time progresses, demonstrating exponential decay in the $ L^\infty $ norm and establishing uniqueness of weak solutions to the system. The results highlight the interplay between concentration dynamics and fluid flow in porous media, providing a framework for further analysis and applications.