DOI: https://doi.org/10.3389/fphy.2024.1374049
تاريخ النشر: 2024-03-20
المؤلف: Saima Noor وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه المقالة طريقتين فعالتين لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية وغير الخطية من الرتبة الكسرية بشكل تحليلي: طريقة سلسلة القوة المتبقية لأبود (ARPSM) وطريقة تكرار تحويل أبود (ATIM). باستخدام مشغل كابوتو لتعريف المشتقات الكسرية، يستنتج المؤلفون تقريبات تحليلية في شكل سلسلة، ويحسبون الحدود الأولية، ويقدرون الخطأ المطلق الناتج عن تقليم السلسلة. يتم توضيح الطرق عددياً مع قيم المعلمات ذات الصلة، مما يظهر تطبيقها العملي ويضمن تقارب النتائج الكسرية إلى حلول من الرتبة الصحيحة، وهو ما يعد مفيداً بشكل خاص للباحثين في نمذجة فيزياء البلازما.
في الختام، تسلط الورقة الضوء على فعالية ARPSM وATIM في معالجة المعادلات التفاضلية الكسرية المعقدة، مما يعزز فهم تطبيقات حساب التفاضل الكسرية في الفيزياء الرياضية. لقد حسّن إدراج مشغل كابوتو من دقة الطرق، التي تم التحقق منها من خلال التحليل العددي لمجموعة متنوعة من الأمثلة. تشير النتائج إلى دقة عالية واستقرار في التقريبات، خاصة عند مقارنتها بالحلول الصحيحة الدقيقة. بشكل عام، تسهم هذه الأبحاث بشكل كبير في المجال من خلال توفير تقنيات قوية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية، مما يسهل المزيد من الاستكشاف والتطبيق في مجالات علمية متنوعة.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية أهمية حساب التفاضل غير الصحيح، وخاصة حساب التفاضل الكسرية، الذي يستخدم مشغلات من الرتبة الكسرية لتعزيز فهم العمليات الفيزيائية. تقدم المشتقات الكسرية، التي تمتلك رتب غير صحيحة، مزايا مثل تأثير الذاكرة، مما يسمح للنماذج بدمج البيانات التاريخية لتحسين التنبؤات في مجالات متنوعة، بما في ذلك البيولوجيا والفيزياء والاقتصاد والهندسة. يبرز المؤلفون قيود المشتقات التقليدية لكابوتو وريمان بسبب نوىها المفردة، التي تمثل تأثيرات الذاكرة بشكل غير كاف. استجابةً لذلك، اقترح كابوتو وفابريزيو مشغل كسرية بنواة أسية غير مفردة، مما يؤدي إلى نتائج أكثر عقلانية.
تناقش الورقة أيضًا التحديات المرتبطة بحل المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الكسرية (PDEs) وتؤكد على أهمية تطوير كل من الحلول العددية والدقيقة في الرياضيات التطبيقية والفيزياء النظرية. تم استخدام تحويلات تكاملية متنوعة، مثل تحويل لابلاس، وتحويل سُمودو، وتحويل أبود، لمعالجة هذه المعادلات. تهدف الأبحاث إلى مقارنة فعالية طريقة سلسلة القوة المتبقية لأبود (ARPSM) وطريقة تكرار تحويل أبود (ATIM) في حل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية وغير الخطية، مع الإشارة إلى أن كلا الطريقتين قد عالجتا بنجاح العديد من المعادلات التفاضلية الكسرية.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية والنتائج المتعلقة بتحويل أبود (AT) وعكسه (AIT)، مع التركيز على تطبيقهما على الدوال المستمرة جزئيًا من الرتبة الأسية. يتم تعريف AT على أنه
\[
A[\phi(\alpha, \beta)] = \Psi(\alpha, \xi) = \int_0^\infty \phi(\alpha, \beta) e^{-\beta \xi} d\beta
\]
لـ \( \xi \) في الفترة \([r_1, r_2]\)، بينما يتم التعبير عن AIT على أنه
\[
A^{-1}[\Psi(\alpha, \xi)] = \frac{1}{2\pi i} \int_{u-i\infty}^{u+i\infty} \Psi(\alpha, \beta) e^{\beta \xi} d\beta.
\]
يؤسس المؤلفون عدة ليمات توضح خطية AT وAIT، بالإضافة إلى خصائص المشتقات الكسرية المعرفة عبر مشغل كابوتو. ومن الجدير بالذكر أنهم يقدمون تمثيلًا جديدًا لسلسلة القوة الكسرية المتعددة (MFPS)، والتي ثبت أنها مفيدة في استنتاج الحلول للمعادلات التفاضلية الكسرية.
يختتم القسم بتقديم طريقة سلسلة القوة المتبقية لأبود (ARPSM) وطريقة تكرار تحويل أبود (ATIM) كطرق فعالة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) ذات الرتبة الكسرية الزمنية. يوضح المؤلفون تطبيق هذه الطرق على مشاكل محددة، مثل معادلات برجر ذات الرتبة الكسرية الزمنية ومعادلات KdV، مع تسليط الضوء على دقتها واستقرارها من خلال مقارنات عددية مع الحلول الدقيقة. تشير النتائج إلى أن المعامل الكسرية يؤثر بشكل كبير على سلوك الحلول، مما يعزز أهمية هذه الطرق في نمذجة الظواهر المعقدة في الفيزياء الرياضية.
DOI: https://doi.org/10.3389/fphy.2024.1374049
Publication Date: 2024-03-20
Author(s): Saima Noor et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This article presents two effective methods for analytically solving fractional-order linear and nonlinear partial differential equations: the Aboodh Residual Power Series Method (ARPSM) and the Aboodh Transform Iteration Method (ATIM). Utilizing the Caputo operator to define fractional derivatives, the authors derive analytical approximations in series form, calculate the initial terms, and estimate the absolute error from truncating the series. The methods are numerically illustrated with relevant parameter values, demonstrating their practical application and ensuring convergence of fractional results to integer-order solutions, which is particularly beneficial for researchers in plasma physics modeling.
In conclusion, the paper highlights the effectiveness of ARPSM and ATIM in addressing complex fractional differential equations, enhancing the understanding of fractional calculus applications in mathematical physics. The inclusion of the Caputo operator has improved the accuracy of the methods, which were validated through numerical analysis of various examples. The results indicate high accuracy and stability of the approximations, particularly when comparing them to exact integer solutions. Overall, this research contributes significantly to the field by providing robust techniques for solving fractional partial differential equations, thereby facilitating further exploration and application in various scientific domains.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the significance of noninteger calculus, particularly fractional calculus, which utilizes fractional order operators to enhance the understanding of physical processes. Fractional derivatives, which possess noninteger orders, offer advantages such as the memory effect, allowing models to incorporate historical data for improved predictions in various fields, including biology, physics, economics, and engineering. The authors highlight the limitations of traditional Caputo and Riemann derivatives due to their singular kernels, which inadequately represent memory effects. In response, Caputo and Fabrizio proposed a fractional operator with a nonsingular exponential kernel, yielding more rational results.
The paper also addresses the challenges associated with solving fractional-order partial differential equations (PDEs) and emphasizes the importance of developing both numerical and exact solutions in applied mathematics and theoretical physics. Various integral transforms, such as the Laplace, Sumudu, and Aboodh transforms, have been employed to tackle these equations. The research aims to compare the efficacy of the Aboodh residual power series method (ARPSM) and the Aboodh transform iteration method (ATIM) in solving linear and nonlinear PDEs, noting that both methods have successfully addressed numerous fractional differential equations.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts and results related to the Aboodh Transform (AT) and its inverse (AIT), focusing on their application to piecewise continuous functions of exponential order. The AT is defined as
\[
A[\phi(\alpha, \beta)] = \Psi(\alpha, \xi) = \int_0^\infty \phi(\alpha, \beta) e^{-\beta \xi} d\beta
\]
for \( \xi \) in the interval \([r_1, r_2]\), while the AIT is expressed as
\[
A^{-1}[\Psi(\alpha, \xi)] = \frac{1}{2\pi i} \int_{u-i\infty}^{u+i\infty} \Psi(\alpha, \beta) e^{\beta \xi} d\beta.
\]
The authors establish several lemmas that illustrate the linearity of the AT and AIT, as well as the properties of fractional derivatives defined via the Caputo operator. Notably, they introduce a novel multiple fractional power series (MFPS) representation, which is shown to be useful in deriving solutions for fractional differential equations.
The section culminates in the presentation of the Aboodh Residual Power Series Method (ARPSM) and the Aboodh Transform Iteration Method (ATIM) as effective techniques for solving time-fractional partial differential equations (PDEs). The authors demonstrate the application of these methods to specific problems, such as the time-fractional Burger’s and KdV equations, highlighting their accuracy and stability through numerical comparisons with exact solutions. The findings suggest that the fractional parameter significantly influences the behavior of the solutions, reinforcing the relevance of these methods in modeling complex phenomena in mathematical physics.