DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-41584-2
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41748876
تاريخ النشر: 2026-02-26
المؤلف: Mokhtar Boumaaza وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل المعادلات التفاضلية غير الخطية
نظرة عامة
تستكشف هذه الورقة البحثية مشاكل القيمة الأولية المميزة بمعادلات تفاضلية كسرية غير خطية مع تأخير محدود، باستخدام المشتق الكسرية العام من نوع كابوتو-كاتوغامبولا. إن تضمين المعامل $\rho > 0$ في هذا المشغل يعزز نمذجة تأثيرات الذاكرة ويسمح بالتداخل بين سلوكيات كسرية مختلفة. من خلال تطبيق تقنيات تحويل لابلاس $\rho$، يستنتج المؤلفون صيغة تكاملية مكافئة للمشكلة ويؤسسون وجود وخصوصية الحلول من خلال مبدأ انكماش باناش ونظرية النقطة الثابتة لشودير. يوسع هذا النهج المزدوج نطاق غير الخطيات المقبولة ويضمن قوة الحلول، التي تظهر استقرار أولام-هاير، مما يشير إلى أن التغييرات الصغيرة في الظروف الأولية تؤدي إلى انحرافات صغيرة بشكل متناسب في الحلول.
تؤكد النتائج على اتساق الإطار التحليلي وقابليته العملية، مدعومة بمحاكاة عددية أجريت باستخدام مخطط L1، الذي يقترب بفعالية من المشتقات الكسرية من نوع كابوتو. تسلط النتائج الضوء على تأثيرات أوامر كسرية مختلفة على سلوك الحلول وتحقق تقديرات الاستقرار. تشير الدراسة إلى اتجاهات البحث المستقبلية، بما في ذلك استكشاف مشاكل القيمة الحدية، والأنظمة ذات التأخيرات الزمنية، وتطوير طرق عددية متقدمة للنماذج الكسرية العامة. تمتد تداعيات هذا العمل إلى مجالات متنوعة مثل اللزوجة المرنة، وأنظمة التحكم، وديناميات السكان، والنمذجة الطبية الحيوية، حيث تعتبر تأثيرات الذاكرة والتأخيرات عوامل حاسمة.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة البحثية أهمية المشتقات من رتبة كسرية (FODs) في نمذجة الأنظمة التي تظهر تأثيرات الذاكرة والوراثة، والتي لا يتم التقاطها بشكل كافٍ بواسطة المشتقات من رتبة صحيحة تقليدية (IODs). تعتبر FODs مفيدة بشكل خاص في مجالات متنوعة، بما في ذلك الفيزياء والهندسة وعلم الأحياء وأنظمة التحكم، حيث يتأثر الوضع الحالي للنظام بسلوكه التاريخي. وضعت الأعمال الأساسية لكابوتو الأساس لفهم هذه التأثيرات الذاكرية، وقد أظهرت الدراسات اللاحقة أن النماذج الكسرية توفر تمثيلاً أكثر دقة للظواهر مثل اللزوجة المرنة والانتشار الشاذ.
تسلط الورقة الضوء على التقدم في حساب التفاضل الكسرية، بما في ذلك استكشاف تعريفات مختلفة للمشتقات الكسرية، مثل مشتقات ريمان-ليوفيلي ومشتقات كابوتو، وتقديم مشتق كابوتو-كاتوغامبولا الكسرية، الذي يتضمن معاملًا إضافيًا $\rho > 0$ لتعزيز مرونة النمذجة. يهدف المؤلفون إلى التحقيق في وجود وخصوصية واستقرار الحلول لفئة معينة من المعادلات التفاضلية الكسرية مع تأخير محدود، باستخدام مشتق كابوتو-كاتوغامبولا. تستخدم الدراسة تقنيات النقطة الثابتة، وخاصة مبدأ انكماش باناش ونظرية النقطة الثابتة لشودير، لتأسيس الإطار النظري للتحليل، مما يضمن أن الحلول تظهر قوة ضد الاضطرابات.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون مثالًا عدديًا للتحقق من النتائج النظرية المتعلقة بوجود وخصوصية واستقرار أولام-هاير العام للحلول لمعادلة تفاضلية كسرية تتميز بأمرين كسرين متميزين. المعادلة المحددة قيد النظر هي:
\[
D_{1/2,1} \varphi(\sigma) – D_{1/3,1} \varphi(\sigma) = \frac{\sqrt{3} |u_\sigma| \cos(2\pi \sigma)}{3(27 – e^\sigma)}, \quad \sigma \in J = [0, 1],
\]
مع تعريف الدالة كـ \(\varphi(\sigma) = e^{\sigma + 1}\) لـ \(\sigma \in [-1, 0]\). تشمل المعاملات المستخدمة في المحاكاة \(T = 1\)، \(\lambda = 1\)، \(\rho = 1\)، \(\alpha_1 = \frac{1}{2}\)، و \(\alpha_2 = \frac{1}{3}\).
تستخدم التقريب العددي مخطط L1 الكلاسيكي للمشتق الكسرية كابوتو على شبكة موحدة بحجم خطوة \(\Delta \sigma = 10^{-3}\). تم اختيار هذه الطريقة لسهولتها وكفاءتها الحاسوبية ودقتها وثباتها المعروفة من الدرجة الأولى لمشتقات كابوتو. يتم حساب المشتقات الكسرية من الرتبتين \(1/2\) و \(1/3\) في كل خطوة زمنية، بينما يتم تقريب الحد غير الخطي \(|u_\sigma|\) باستخدام قيمته المتأخرة \(|\varphi(\sigma – \Delta \sigma)|\) لتسهيل صيغة تحديث صريحة. يتم تعيين الحالة الأولية على الفترة \([-1, 0]\) كـ \(\varphi(\sigma) = e^{\sigma + 1}\).
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الجوانب الأساسية لبحثهم حول المعادلات التفاضلية الكسرية ذات التأخير (FDEs) التي تحكمها المشتق الكسرية العامة من نوع كابوتو-كاتوغامبولا. يقدمون مساحات وظيفية متنوعة، مثل \( C \)، \( C^r \)، و \( C^b \)، والتي تعتبر حاسمة لتحليل انتظام وحدود الحلول على فترات محددة. يتم الاستفادة من اكتمال هذه المساحات في تطبيق نظريات النقطة الثابتة، وخاصة مبدأ انكماش باناش ونظرية شودير، لتأسيس وجود وخصوصية الحلول. كما يعرف المؤلفون مساحات ليبغ غير المحلية لاستيعاب النوى غير المحلية في الصيغ التكاملية، والتي تعتبر ضرورية للتعامل مع تأثيرات الذاكرة المتأصلة في الأنظمة الكسرية.
تتوسع المناقشة لتفصيل التعريفات الرئيسية والخصائص من حساب التفاضل الكسرية، بما في ذلك التكامل الكسرية من نوع ريمان-ليوفيلي والمشتق الكسرية من نوع كابوتو-كاتوغامبولا. هذه التعريفات حيوية لاستنتاج نتائج الاستقرار، وخاصة استقرار أولام-هاير، الذي يضمن أن الاضطرابات الصغيرة في الظروف الأولية تؤدي إلى انحرافات صغيرة بشكل متناسب في الحل. يقدم المؤلفون محاكاة عددية تحقق من نتائجهم النظرية، مما يظهر قوة واستقرار الحلول تحت ظروف متنوعة. تؤكد النتائج على فعالية الإطار التحليلي المقترح وتقترح مسارات للبحث المستقبلي، بما في ذلك استكشاف مشاكل القيمة الحدية والمخططات العددية التكيفية في السياقات التي تكون فيها تأثيرات الذاكرة مهمة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-026-41584-2
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/41748876
Publication Date: 2026-02-26
Author(s): Mokhtar Boumaaza et al.
Primary Topic: Nonlinear Differential Equations Analysis
Overview
This research paper explores initial value problems characterized by nonlinear fractional differential equations with finite delay, utilizing the generalized Caputo-Katugampola fractional derivative. The inclusion of the parameter $\rho > 0$ in this operator enhances the modeling of memory effects and allows for interpolation between various fractional behaviors. By applying $\rho$-Laplace transform techniques, the authors derive an equivalent integral formulation of the problem and establish the existence and uniqueness of solutions through the Banach contraction principle and Schauder’s fixed point theorem. This dual approach broadens the range of admissible nonlinearities and ensures the robustness of the solutions, which exhibit Ulam-Hyers stability, indicating that small changes in initial conditions lead to proportionally small deviations in the solutions.
The findings confirm the analytical framework’s consistency and practical applicability, supported by numerical simulations conducted using the L1 scheme, which effectively approximates Caputo-type fractional derivatives. The results highlight the influence of different fractional orders on solution behavior and validate stability estimates. The study suggests future research directions, including the exploration of boundary value problems, systems with time-dependent delays, and the development of advanced numerical methods for generalized fractional models. The implications of this work extend to various fields such as viscoelasticity, control systems, population dynamics, and biomedical modeling, where memory effects and delays are critical factors.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the significance of fractional-order derivatives (FODs) in modeling systems that exhibit memory and hereditary effects, which are inadequately captured by classical integer-order derivatives (IODs). FODs are particularly beneficial in various fields, including physics, engineering, biology, and control systems, where the current state of a system is influenced by its historical behavior. The foundational work by Caputo laid the groundwork for understanding these memory effects, and subsequent studies have shown that fractional models provide a more accurate representation of phenomena such as viscoelasticity and anomalous diffusion.
The paper highlights the advancements in fractional calculus, including the exploration of different definitions of fractional derivatives, such as the Riemann-Liouville and Caputo derivatives, and the introduction of the Caputo-Katugampola fractional derivative, which incorporates an additional parameter $\rho > 0$ to enhance modeling flexibility. The authors aim to investigate the existence, uniqueness, and stability of solutions for a specific class of fractional differential equations with finite delay, utilizing the Caputo-Katugampola derivative. The study employs fixed point techniques, particularly the Banach contraction principle and Schauder’s fixed point theorem, to establish the theoretical framework for the analysis, ensuring that the solutions exhibit robustness against perturbations.
Results
In this section, the authors present a numerical example to validate the theoretical findings regarding the existence, uniqueness, and generalized Ulam-Hyers stability of solutions to a fractional differential equation characterized by two distinct fractional orders. The specific equation under consideration is given by:
\[
D_{1/2,1} \varphi(\sigma) – D_{1/3,1} \varphi(\sigma) = \frac{\sqrt{3} |u_\sigma| \cos(2\pi \sigma)}{3(27 – e^\sigma)}, \quad \sigma \in J = [0, 1],
\]
with the function defined as \(\varphi(\sigma) = e^{\sigma + 1}\) for \(\sigma \in [-1, 0]\). The parameters utilized in the simulation include \(T = 1\), \(\lambda = 1\), \(\rho = 1\), \(\alpha_1 = \frac{1}{2}\), and \(\alpha_2 = \frac{1}{3}\).
The numerical approximation employs the classical L1 scheme for the Caputo fractional derivative on a uniform grid with a step size of \(\Delta \sigma = 10^{-3}\). This method is selected for its simplicity, computational efficiency, and established first-order accuracy and stability for Caputo-type derivatives. The fractional derivatives of orders \(1/2\) and \(1/3\) are computed at each time step, while the nonlinear term \(|u_\sigma|\) is approximated using its lagged value \(|\varphi(\sigma – \Delta \sigma)|\) to facilitate an explicit update formula. The initial condition is set on the interval \([-1, 0]\) as \(\varphi(\sigma) = e^{\sigma + 1}\).
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational aspects of their research on fractional delay differential equations (FDEs) governed by the generalized Caputo-Katugampola fractional derivative. They introduce various functional spaces, such as \( C \), \( C^r \), and \( C^b \), which are crucial for analyzing the regularity and boundedness of solutions over specified intervals. The completeness of these spaces is leveraged in applying fixed point theorems, specifically the Banach contraction principle and Schauder’s theorem, to establish the existence and uniqueness of solutions. The authors also define weighted Lebesgue spaces to accommodate nonlocal kernels in the integral formulations, which are essential for handling the memory effects inherent in fractional systems.
The discussion further elaborates on key definitions and properties from fractional calculus, including the generalized Riemann-Liouville fractional integral and the Caputo-Katugampola fractional derivative. These definitions are pivotal for deriving stability results, particularly Ulam-Hyers stability, which ensures that small perturbations in initial conditions lead to proportionally small deviations in the solution. The authors present numerical simulations that validate their theoretical findings, demonstrating the robustness and stability of the solutions under various conditions. The results underscore the effectiveness of the proposed analytical framework and suggest avenues for future research, including the exploration of boundary value problems and adaptive numerical schemes in contexts where memory effects are significant.