DOI: https://doi.org/10.22436/jnsa.018.01.05
تاريخ النشر: 2025-01-10
المؤلف: N. I. Mahmudov وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذا البحث، يقدم المؤلفون حلاً صريحًا لمعادلة الفرق التأرجحية الكسرية المتجانسة المميزة من الدرجة $2\delta$ ضمن النطاق من 1 إلى 2. يتم اشتقاق الحل باستخدام دوال المصفوفات المؤجلة من نوع جيب التمام وجيب التمام، وتستخدم تقنية تحويل لابلاس المنفصل لمعالجة المعادلة غير المتجانسة المقابلة. تستكشف الدراسة أيضًا استقرارية نوع أولام-هاير للمعادلة المتجانسة، مدعومة بمثال عددي للتحقق من نظرية الاستقرار. بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم حل دقيق لمعادلة الفرق الكسرية غير المتجانسة مع $1 < 2\delta < 2$، باستخدام دوال جيب التمام وجيب التمام المؤجلة ذات المعاملين المنفصلين. تؤكد الخاتمة على أهمية دالة ميتاج-ليفلر في حساب التفاضل الكسرية وتطبيقاتها المنفصلة، مشددة على تقديم أشكال جديدة من دوال المصفوفات الكسرية من نوع جيب التمام وجيب التمام المؤجلة. يركز البحث على نظام الفرق الكسرية المؤجلة من نوع كابوتو مع معاملات غير تبادلية $\Delta_1$ و $\Delta_2$، مستخدمًا دوال المصفوفات المنفصلة المؤجلة وتحويل لابلاس النابلا لتحقيق تمثيل واضح للحل. يتم إثبات استقرار نظام الفرق الكسرية المؤجلة وفقًا لمعايير أولام-هاير وأولام-هاير-راسياس، مما يمهد الطريق لتطوير مشغلين كسرين منفصلين مختلفين، بما في ذلك أنواع أتانغانا-بالينو وكابوتو-فابريزيو، بالإضافة إلى التمديدات للأنظمة متعددة التأخير والمعاملات المتغيرة. يدعو المؤلفون إلى مزيد من التحقيق في هذه الأنظمة الجديدة المطورة لتحليل خصائصها بشكل شامل.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على الأهمية المتزايدة لحساب التفاضل الكسرية، لا سيما في نمذجة الظواهر المعقدة في العالم الحقيقي عبر مجالات مختلفة مثل الفيزياء الرياضية، والفيزياء الحيوية، والهندسة. يؤكد المؤلفون أن أنظمة التفاضل الكسرية، لا سيما تلك المعبر عنها من خلال دوال ميتاج-ليفلر، توفر تمثيلًا أكثر دقة للأنظمة ذات الذاكرة، وهو أمر حاسم للتطبيقات مثل التحكم التلقائي والتثبيت. على الرغم من التقدم في أنظمة التفاضل المؤجلة الكسرية المستمرة الزمن، لا يزال هناك فجوة ملحوظة في الأدبيات المتعلقة بأنظمة الفرق الكسرية المؤجلة، لا سيما للأوامر \(1 < \alpha \leq 2\). لمعالجة هذه الفجوة، تقدم الورقة نظام فرق كابوتو الكسرية المؤجلة المميز بمصفوفات معاملات غير تبادلية. يقدم المؤلفون عدة مساهمات رئيسية، بما في ذلك تطوير دالة مصفوفة ميتاج-ليفلر المؤجلة المنفصلة الجديدة، التي تعمم دالة المصفوفة الأسية المؤجلة المنفصلة التقليدية. تسهل هذه الدالة الجديدة اشتقاق حلول تحليلية لأنظمة الفرق الكسرية المؤجلة الخطية وشبه الخطية وتحدد معايير لتقييم استقرار هذه الأنظمة. علاوة على ذلك، تستكشف الدراسة وجود وتفرد الحلول لمعادلات الفرق الكسرية المؤجلة غير الخطية، مما يعزز الفهم لهذه المنطقة غير المستكشفة في أنظمة الزمن المنفصل.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نظرة شاملة على الأدوات والنتائج المتعلقة بحساب النابلا، مع التركيز بشكل خاص على معادلات الفرق الكسرية المنفصلة وتطبيقاتها. يقدمون تعريفات ونظريات متنوعة، بما في ذلك المعادلات التكرارية لتحديد الدوال، وصيغ ثنائية عامة، وتحويل لابلاس بالمعنى المنفصل. من الجدير بالذكر أنهم يعرفون دوال المصفوفات المؤجلة من نوع جيب التمام وجيب التمام الكسرية المنفصلة، والتي تعتبر حاسمة لحل أنظمة الفرق الكسرية المؤجلة من نوع كابوتو. يتم اشتقاق الحلول الصريحة لهذه الأنظمة، مما يظهر العلاقة بين الدوال الكسرية وعمليات المصفوفات الأساسية.
يستكشف المؤلفون أيضًا استقرار أولام-هاير للأنظمة الخطية، ويحددون الشروط التي تظل فيها حلول معادلات الفرق الكسرية مستقرة في وجود الاضطرابات. يعرفون استقرار أولام-هاير وأولام-هاير-راسياس، ويقدمون نظريات تضمن وجود حلول تظل قريبة من دالة معينة تحت شروط محددة. يختتم القسم بتحليل أنظمة الفرق الكسرية شبه الخطية، مما يوضح وجود وتفرد الحلول تحت شروط ليبشيتز، وبالتالي توسيع قابلية تطبيق نتائجهم على سيناريوهات غير خطية أكثر تعقيدًا. بشكل عام، يؤكد هذا النقاش على أهمية حساب التفاضل الكسرية في نمذجة الأنظمة الديناميكية وقوة الحلول في مواجهة عدم اليقين.
DOI: https://doi.org/10.22436/jnsa.018.01.05
Publication Date: 2025-01-10
Author(s): N. I. Mahmudov et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this research, the authors present an explicit solution for the homogeneous fractional delay oscillation difference equation characterized by an order $2\delta$ within the range of 1 to 2. The solution is derived using discrete sine and cosine-type delayed matrix functions, and the discrete Laplace transform technique is employed to address the corresponding nonhomogeneous equation. The study further explores the Ulam-Hyer type stabilities of the homogeneous equation, supported by a numerical example to validate the stability theory. Additionally, an exact solution for the nonhomogeneous fractional difference equation with $1 < 2\delta < 2$ is provided, utilizing the discrete two-parameter delayed sine and cosine-type functions. The conclusion emphasizes the importance of the Mittag-Leffler function in fractional calculus and its discrete applications, highlighting the introduction of new forms of delayed nabla fractional cosine-type and sine-type matrix functions. The research focuses on the delayed Caputo fractional difference system with noncommutative coefficients $\Delta_1$ and $\Delta_2$, employing the delayed discrete matrix functions and the nabla Laplace transform to achieve a clear representation of the solution. The stability of the fractional delayed difference system is established under Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias criteria, paving the way for the development of various discrete fractional operators, including Atangana-Baleanu and Caputo-Fabrizio types, as well as extensions to multi-retarded and variable coefficient systems. The authors advocate for further investigation into these newly developed systems to analyze their properties comprehensively.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the growing significance of fractional calculus, particularly in modeling complex real-world phenomena across various disciplines such as mathematical physics, biophysics, and engineering. The authors emphasize that fractional differential systems, particularly those expressed through Mittag-Leffler functions, provide a more accurate representation of systems with memory, which is crucial for applications like automatic control and stabilization. Despite the advancements in continuous-time fractional retarded differential systems, there remains a notable gap in the literature regarding fractional delayed difference systems, particularly for orders \(1 < \alpha \leq 2\). To address this gap, the paper introduces a Caputo fractional delayed difference system characterized by noncommutative coefficient matrices. The authors present several key contributions, including the development of a novel discrete delayed Mittag-Leffler matrix function, which generalizes the traditional discrete delayed exponential matrix function. This new function facilitates the derivation of analytical solutions for linear and semilinear fractional delayed difference systems and establishes criteria for assessing the stability of these systems. Furthermore, the research explores the existence and uniqueness of solutions for nonlinear fractional delayed difference equations, thereby advancing the understanding of this underexplored area in discrete-time systems.
Discussion
In this section, the authors present a comprehensive overview of tools and findings related to nabla calculus, particularly focusing on discrete fractional difference equations and their applications. They introduce various definitions and theorems, including recursive equations for determining functions, generalized binomial formulas, and the Laplace transform in the discrete sense. Notably, they define discrete fractional cosine-type and sine-type delayed matrix functions, which are crucial for solving Caputo fractional delayed difference systems. The explicit solutions to these systems are derived, showcasing the relationship between the fractional functions and the underlying matrix operations.
The authors also explore Ulam-Hyers stability for linear systems, establishing conditions under which solutions to the fractional difference equations remain stable in the presence of perturbations. They define Ulam-Hyers and Ulam-Hyers-Rassias stability, providing theorems that guarantee the existence of solutions that remain close to a given function under specified conditions. The section culminates in the analysis of semilinear fractional difference systems, demonstrating the existence and uniqueness of solutions under Lipschitz conditions, thus extending the applicability of their findings to more complex nonlinear scenarios. Overall, this discussion emphasizes the significance of fractional calculus in modeling dynamic systems and the robustness of solutions in the face of uncertainties.