DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-024-03127-z
تاريخ النشر: 2024-04-08
المؤلف: M. B. Almatrafi وآخرون
الموضوع الرئيسي: عدم المساواة الرياضية والتطبيقات
نظرة عامة
في هذا البحث، يقدم المؤلفون هوية جديدة للعدد الكسري المضاعف متعدد المعلمات، والتي تشكل أساسًا لاشتقاق مختلف المتباينات المتعلقة بالخرائط المضاعفة s-convex. هذه المتباينات مرتبطة بقواعد التكامل المختلفة التي تستخدم نقطة واحدة، نقطتين، وثلاث نقاط، مما يوفر إطارًا شاملاً يدمج بين النتائج الجديدة والنتائج المعروفة. يقوم المؤلفون بالتحقق من نتائجهم من خلال أمثلة توضيحية، مما يعزز الفهم باستخدام وسائل بصرية، ويؤكدون على الآثار العملية لعملهم من خلال تطبيق النتائج على وسائل خاصة من الأعداد الحقيقية في سياق حساب التفاضل والتكامل المضاعف.
تهدف الدراسة إلى تعزيز الفهم للمتباينات التكاملية المضاعفة الكسرية. من خلال تقديم هوية معلمة رائدة، يكشف المؤلفون عن طيف من المتباينات المصممة خصيصًا للخرائط المضاعفة s-convex ويظهرون صلتها بقواعد التكامل المختلفة. لا تبرز النتائج الاكتشافات الجديدة فحسب، بل تعزز أيضًا النتائج التي تم تأسيسها سابقًا، مما يظهر تنوع وفعالية الهوية التكاملية المقترحة. بشكل عام، يمثل هذا البحث مساهمة كبيرة في هذا المجال، حيث يقدم رؤى وتعميمات قيمة من المتوقع أن تحفز المزيد من الاستكشاف في هذا المجال.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث تطور وأهمية حساب التفاضل والتكامل المضاعف، الذي اقترحه غروس مان وكاتز في عام 1967 كوسيلة لمعالجة التحديات المرتبطة بمعدلات التغيير في السياقات المضاعفة. هذا الحساب، الذي ينطبق فقط على الدوال الإيجابية، تم تطويره رسميًا بواسطة باشيروف وآخرين في عام 2008 ومنذ ذلك الحين وجد تطبيقات في مجالات متنوعة مثل المالية، البيولوجيا، والفيزياء، حيث قد يكون حساب التفاضل والتكامل التقليدي غير كافٍ. تسلط هذه الفقرة الضوء أيضًا على مفهوم التقعر، الذي يعد أمرًا حيويًا في النمذجة الرياضية والتحسين، خاصة من خلال خصائص الدوال المقعرة وعدم تساوي هيرميت-هادامارد.
تحدد الورقة أيضًا مفهوم التقعر المضاعف، وهو نوع من التقعر ذو صلة بحساب التفاضل والتكامل المضاعف، معرفًا للدوال الإيجابية. تشمل التطورات الأخيرة في هذا المجال إنشاء متباينات مرتبطة بالتكاملات المضاعفة وتقديم التكاملات الكسرية المضاعفة ريمان-ليوفيلي بواسطة عبد الجواد وغروس مان في عام 2016. تساهم هذه التطورات في فهم أعمق للمتباينات في حساب التفاضل والتكامل المضاعف، مما يمهد الطريق للنتائج الرئيسية المقدمة في الورقة.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون تقدمًا كبيرًا في مجال الدوال المضاعفة المقعرة، مع التركيز بشكل خاص على إنشاء متباينات مختلفة مرتبطة بالتكاملات والمشتقات المضاعفة. تؤكد النظرية 1.4 أنه بالنسبة لدالة مضاعفة مقعرة إيجابية \( R \) معرفة على الفترة \([a, b]\)، فإن متباينات معينة صحيحة، وهي أساسية للتطورات اللاحقة. يبني المؤلفون على الأعمال السابقة التي قام بها فو وآخرون، بولاير وآخرون، الذين استكشفوا التكاملات الكسرية المضاعفة المعتدلة والمتباينات، مما أدى إلى تقديم هوية تكاملية مضاعفة ثنائية المعلمة مصممة للدوال القابلة للاشتقاق المضاعف.
يمتد النقاش إلى اشتقاق متباينات من نوع نيوتن-كوتس ذات الثلاث نقاط للدوال المضاعفة \( s \)-convex، مما يؤدي إلى سلسلة من النتائج الفرعية التي تقدم متباينات مصقولة، بما في ذلك متباينات سيمبسون المصححة ومتباينات النقطة الوسطى. تدعم هذه النتائج أمثلة عملية وتمثيلات رسومية، مما يظهر قابلية تطبيق النتائج وملاءمتها. يؤكد المؤلفون على فائدة نتائجهم المستخلصة في سياقات رياضية أوسع، مما يعزز أهمية التقعر المضاعف في التحليل والتكامل.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-024-03127-z
Publication Date: 2024-04-08
Author(s): M. B. Almatrafi et al.
Primary Topic: Mathematical Inequalities and Applications
Overview
In this research, the authors present a novel multiparameterized fractional multiplicative integral identity, which serves as a foundation for deriving various inequalities related to multiplicatively s-convex mappings. These inequalities are connected to different quadrature rules that utilize one, two, and three points, thereby providing a comprehensive framework that integrates both new and established findings. The authors validate their results through illustrative examples, enhancing understanding with visual aids, and emphasize the practical implications of their work by applying the findings to special means of real numbers within the context of multiplicative calculus.
The study aims to advance the understanding of fractional multiplicative integral inequalities. By introducing a pioneering parameterized identity, the authors reveal a spectrum of inequalities specifically designed for multiplicatively s-convex mappings and demonstrate their relevance to various quadrature rules. The results not only highlight innovative discoveries but also reinforce previously established results, showcasing the versatility and effectiveness of the proposed integral identity. Overall, this research represents a significant contribution to the field, offering valuable insights and generalizations that are expected to stimulate further exploration in this area.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the evolution and significance of multiplicative calculus, first proposed by Grosman and Katz in 1967 as a means to address challenges associated with rates of change in multiplicative contexts. This calculus, which is applicable only to positive functions, was formally developed by Bashirov et al. in 2008 and has since found applications in various fields such as finance, biology, and physics, where traditional calculus may be inadequate. The section also highlights the concept of convexity, which is crucial in mathematical modeling and optimization, particularly through the properties of convex functions and the Hermite-Hadamard inequality.
The paper further delineates the notion of multiplicative convexity, a variant of convexity pertinent to multiplicative calculus, defined for positive functions. Recent advancements in this area include the establishment of inequalities related to multiplicative integrals and the introduction of multiplicative Riemann-Liouville fractional integrals by Abdeljawad and Grossman in 2016. These developments contribute to a deeper understanding of inequalities in multiplicative calculus, setting the stage for the main results presented in the paper.
Discussion
In this section, the authors present significant advancements in the field of multiplicatively convex functions, particularly focusing on the establishment of various inequalities related to multiplicative integrals and derivatives. Theorem 1.4 asserts that for a positive multiplicatively convex function \( R \) defined on the interval \([a, b]\), specific inequalities hold, which are foundational for further developments. The authors build upon previous works by Fu et al., Boulares et al., and others, who explored multiplicative tempered fractional integrals and inequalities, leading to the introduction of a biparameterized multiplicative integral identity tailored for multiplicatively differentiable functions.
The discussion extends to the derivation of three-point Newton-Cotes-type inequalities for multiplicatively \( s \)-convex functions, culminating in a series of corollaries that provide refined inequalities, including corrected Simpson and midpoint inequalities. These results are supported by practical examples and graphical representations, demonstrating the applicability and relevance of the findings. The authors emphasize the utility of their derived outcomes in broader mathematical contexts, reinforcing the importance of multiplicative convexity in analysis and integration.