DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-58073-z
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38555293
تاريخ النشر: 2024-03-30
المؤلف: Abdul Ghafoor وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة استراتيجية عددية تستخدم صيغ الفروق المنتهية لمعالجة نماذج التفاعل والانتشار ذات الكسر الزمني (RDCMs)، والتي تتواجد بشكل شائع في السياقات الكيميائية والبيولوجية. يستخدم المؤلفون مفهوم كابوتو للمشتقات ذات الكسر الزمني، مستبدلين هذه المشتقات بصيغة تكاملية وتطبيق طريقة ضمنية للحسابات المتبقية. في السيناريوهات الخطية، تبسط هذه الطريقة النماذج الكسرية إلى معادلات خطية متزامنة، بينما في الحالات غير الخطية، يتم استخدام التخطية الكاذبة لإدارة المكونات غير الخطية. أنظمة الجبر الخطية الناتجة سهلة الحل، وتؤكد طريقة فون نيومان الاستقرار غير المشروط للنظام.
تتحقق فعالية الطريقة المقترحة من خلال نماذج خطية وغير خطية متنوعة، بما في ذلك نماذج شناكينبرغ وغراي-سكوت أحادية البعد، بالإضافة إلى نماذج بروسلاتور أحادية وثنائية البعد. يتم تقييم دقة التقنية باستخدام معايير $L^\infty$ و $L^2$، جنبًا إلى جنب مع تحليل الخطأ النسبي. تُعرض النتائج في تنسيقات جدولية ورسمية، مما يُظهر أن النظام قوي لحل RDCMs ذات الكسر الزمني. تهدف الأعمال المستقبلية إلى توسيع هذه المنهجية لتشمل مشاكل ثلاثية الأبعاد واستكشاف المشتقات ذات الكسر المتغير، مثل مشتقات كابوتو فابريزيو ومشتقات أتانغانا-بالينو-كابوتو، بالإضافة إلى مشاكل المشتقات الكسرية المحلية.
مقدمة
في مقدمة ورقة البحث، يحدد المؤلفون نهجًا منهجيًا لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) من خلال الطرق العددية. تتضمن الخطوة الأولى إنشاء شبكة حسابية تقوم بتفكيك الأبعاد المكانية إلى مجموعة محدودة من النقاط، مما يؤسس الإطار لتحليل عددي. في الخطوة التالية، يستخدم المؤلفون صيغة الفروق المركزية لتفكيك المشتقات المكانية الموجودة في PDEs، بينما يستخدمون صيغة تكاملية لمعالجة المشتقة الزمنية. هذا الإطار المنهجي ضروري لتقريب الحلول بدقة للمعادلات التفاضلية الجزئية المعنية.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم والأساليب الأساسية المتعلقة بحساب التفاضل الكسري (FC)، مع التركيز بشكل خاص على المشتقة الكسرية لكابوتو وتطبيقاتها في حل نماذج التفاعل والانتشار ذات الكسر الزمني (TFRDMs). يتم تعريف المشتقة الكسرية لكابوتو وتقريبها باستخدام قاعدة تكاملية، مما يسهل التحليل العددي للمشتقات الكسرية. يقدم المؤلفون أيضًا دالة ميتاج-ليفيلر، التي تعتبر أداة حاسمة للتعبير عن مشتقات كابوتو للدوال الأسية والدوال المثلثية، وبالتالي ربط هذه الدوال بحساب التفاضل الكسري.
تتناول المخطوطة الطريقة العددية المستخدمة لنماذج TFRDMs أحادية البعد، موضحة المعادلات الحاكمة، والشروط الأولية (ICs)، وشروط الحدود (BCs). يقدم المؤلفون نهجًا منهجيًا لتخطية الحدود غير الخطية من خلال التخطية الكاذبة، مما يؤدي إلى نظام خطي من المعادلات يمكن حله بكفاءة. يتم إجراء تحليل الاستقرار لضمان قوة النظام العددي، مؤكدين أن الطريقة الضمنية مستقرة بشكل غير مشروط للنماذج المعنية. يختتم القسم بمناقشة التجارب العددية التي تتحقق من الطريقة المقترحة مقابل نماذج خطية وغير خطية متنوعة، مما يُظهر فعاليتها في تقريب الحلول بدقة ويبرز إمكانياتها للتطبيقات المستقبلية في مشاكل المشتقات الكسرية الأكثر تعقيدًا.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-58073-z
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/38555293
Publication Date: 2024-03-30
Author(s): Abdul Ghafoor et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This paper presents a numerical strategy utilizing finite difference formulations to address time fractional reaction-diffusion models (RDCMs), which are prevalent in chemical and biological contexts. The authors employ the Caputo sense for time-fractional derivatives, replacing these derivatives with a quadrature formula and applying an implicit method for the remaining calculations. In linear scenarios, this approach simplifies the fractional models into linear simultaneous equations, while in nonlinear cases, Quasilinearization is employed to manage the nonlinear components. The resulting linear algebraic systems are straightforward to solve, and the Von Neumann method confirms the unconditional stability of the scheme.
The effectiveness of the proposed method is validated through various linear and nonlinear models, including the one-dimensional Schnakenberg and Gray-Scott models, as well as one- and two-dimensional Brusselator models. The accuracy of the technique is assessed using the $L^\infty$ and $L^2$ norms, alongside relative error analysis. Results are presented both in tabular and graphical formats, demonstrating that the scheme is robust for solving time fractional RDCMs. Future work aims to extend this methodology to three-dimensional problems and explore variable order fractional derivatives, such as Caputo Fabrizio and Atangana-Baleanu-Caputo derivatives, as well as local fractional derivative problems.
Introduction
In the introduction of the research paper, the authors outline a systematic approach for solving partial differential equations (PDEs) through numerical methods. The first step involves generating a computational grid that discretizes the spatial dimensions into a finite set of points, establishing the framework for numerical analysis. In the subsequent step, the authors employ the central differences formula to discretize the spatial derivatives present in the PDEs, while utilizing a quadrature formula to address the time derivative. This methodological framework is crucial for accurately approximating solutions to the PDEs under consideration.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts and methodologies related to fractional calculus (FC), particularly focusing on the Caputo fractional derivative and its applications in solving time-fractional reaction-diffusion models (TFRDMs). The Caputo fractional derivative is defined and approximated using a quadrature rule, which facilitates the numerical analysis of fractional derivatives. The authors also introduce the Mittag-Leffler function, which serves as a crucial tool for expressing the Caputo derivatives of exponential and trigonometric functions, thereby linking these functions to fractional calculus.
The manuscript elaborates on the numerical method employed for one-dimensional TFRDMs, detailing the governing equations, initial conditions (ICs), and boundary conditions (BCs). The authors present a systematic approach to linearizing nonlinear terms through quasilinearization, leading to a linear system of equations that can be solved efficiently. Stability analysis is conducted to ensure the robustness of the numerical scheme, confirming that the implicit method is unconditionally stable for the considered models. The section concludes with a discussion of numerical experiments that validate the proposed method against various linear and nonlinear models, demonstrating its effectiveness in accurately approximating solutions and highlighting its potential for future applications in more complex fractional derivative problems.