DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-024-03806-7
تاريخ النشر: 2024-04-30
المؤلف: Assia Frioui وآخرون
الموضوع الرئيسي: عدم المساواة الرياضية والتطبيقات
نظرة عامة
في هذه الورقة، يقدم المؤلفون هوية تكامل مضاعف ثنائي المعلمات، والتي تُستخدم لاشتقاق سلسلة من المتباينات للخرائط المقعرة مضاعفياً. هذه المتباينات لا تقدم فقط نتائج جديدة ولكنها أيضاً تُحسن النتائج الموجودة في هذا المجال. لتسهيل الفهم، يقدم المؤلفون أمثلة توضيحية تُظهر اختيارات مناسبة من الخرائط المقعرة مضاعفياً، مكملة بتمثيلات رسومية تُظهر سلوك هذه المتباينات بصرياً.
تتوج الأبحاث في إنشاء متباينات من نوع نيوتن-كوتس ذات نقطة واحدة، نقطتين، وثلاث نقاط قابلة للتطبيق على الخرائط المقعرة مضاعفياً القابلة للاشتقاق. تسهم النتائج بشكل كبير في المعرفة الحالية، مما يعزز الفهم للمتباينات المتعلقة بالتكاملات المضاعفة. يؤكد المؤلفون على الآثار الواسعة لنتائجهم عبر مختلف التخصصات الرياضية والعلمية، بهدف إلهام المزيد من الأبحاث والتطبيقات العملية في هذا المجال.
مقدمة
في مقدمة هذه الورقة البحثية، يناقش المؤلفون التطور التاريخي لحساب التفاضل والتكامل، مع تسليط الضوء على مساهمات إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم لايبنيز في تأسيس حساب التفاضل والتكامل، المعروف عادةً بحساب نيوتن. يركز هذا الإطار بشكل أساسي على التكامل والتفاضل، اللذان يتشابهان مع الجمع والطرح، على التوالي. في المقابل، قدم غروس مان وكاتز حساب التفاضل والتكامل المضاعف في عام 1967، حيث تحل الضرب والقسمة محل الجمع والطرح. هذه المقاربة غير النيوتونية فعالة بشكل خاص لنمذجة الظواهر التي تتميز بالنمو الأسي، مثل ديناميات السكان والتطبيقات المالية.
تستكشف الورقة أيضاً مفهوم المقعرية، الذي يلعب دوراً حاسماً في مجالات رياضية متنوعة، لا سيما في دراسة المتباينات. يعرف المؤلفون الدوال المقعرة ويقدمون المقعرية اللوغاريتمية، التي تتماشى مع حساب التفاضل والتكامل المضاعف. تشمل التطورات الحديثة في هذا المجال إنشاء متباينات قابلة للتطبيق على الخرائط المقعرة مضاعفياً، مثل تلك التي اقترحها علي وآخرون وخان وآخرون. تهدف الدراسة الحالية إلى تقديم هوية تكامل مضاعف ثنائي المعلمات، والتي ستعمل كأساس لاشتقاق متباينات جديدة تتعلق بالخرائط المقعرة القابلة للاشتقاق مضاعفياً. يتم توضيح هيكل الورقة، مما يشير إلى أن الأقسام التالية ستتعمق في خلفية حساب التفاضل والتكامل المضاعف، وتقدم الهوية الجديدة، وتوضح تطبيقاتها من خلال أمثلة وتمثيلات رسومية.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية للاشتقاق والتكامل المضاعف، كما قدمها باشيروف وآخرون. يعرفون المشتق المضاعف لدالة إيجابية $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ على أنه
\[
\phi^*(u) = \lim_{h \to 0} \frac{\phi(u + h)}{\phi(u)} \frac{1}{h},
\]
ويؤسسون علاقته بالمشتق العادي. يقدم المؤلفون عدة مقترحات توضح خصائص المشتقات المضاعفة، بما في ذلك كيفية تصرفها تحت عمليات مختلفة مثل الجمع، الضرب، والضرب العددي. علاوة على ذلك، يقدمون مشغل التكامل المضاعف ويظهرون خصائصه، بما في ذلك الشروط اللازمة للتكامل المضاعف وصياغة نظرية التكامل المضاعف بالتجزئة.
يختتم القسم بنظريات تقدم متباينات للدوال القابلة للاشتقاق مضاعفياً المتزايدة، مع التركيز بشكل خاص على آثار المقعرية المضاعفة. يستخلص المؤلفون متباينات ونتائج خاصة تُحسن النتائج الموجودة في الأدبيات، مع عرض نتائجهم من خلال أمثلة عددية وتمثيلات رسومية. لا تعزز هذه الأعمال الإطار النظري المحيط بحساب التفاضل والتكامل المضاعف فحسب، بل تقترح أيضاً تطبيقات محتملة في التحليل الرياضي والمجالات ذات الصلة.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-024-03806-7
Publication Date: 2024-04-30
Author(s): Assia Frioui et al.
Primary Topic: Mathematical Inequalities and Applications
Overview
In this paper, the authors present a biparametrized multiplicative integral identity, which is utilized to derive a series of inequalities for multiplicatively convex mappings. These inequalities not only introduce novel findings but also refine existing results in the field. To facilitate understanding, the authors provide illustrative examples that demonstrate suitable choices of multiplicatively convex mappings, complemented by graphical representations that visually depict the behavior of these inequalities.
The research culminates in the establishment of one-, two-, and three-point Newton-Cotes-type inequalities applicable to increasing multiplicatively differentiable convex mappings. The findings contribute significantly to the existing body of knowledge, enhancing the understanding of inequalities related to multiplicative integrals. The authors emphasize the broad implications of their results across various mathematical and scientific disciplines, aiming to inspire further research and practical applications in this area.
Introduction
In the introduction of this research paper, the authors discuss the historical development of calculus, highlighting the contributions of Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz in establishing differential and integral calculus, commonly referred to as Newtonian calculus. This framework primarily focuses on integration and differentiation, which are analogous to addition and subtraction, respectively. In contrast, Grossman and Katz introduced multiplicative calculus in 1967, where multiplication and division replace addition and subtraction. This non-Newtonian approach is particularly effective for modeling phenomena characterized by exponential growth, such as population dynamics and financial applications.
The paper further explores the concept of convexity, which plays a crucial role in various mathematical domains, particularly in the study of inequalities. The authors define convex functions and introduce logarithmic convexity, which aligns with multiplicative calculus. Recent advancements in this area include the establishment of inequalities applicable to multiplicatively convex mappings, such as those proposed by Ali et al. and Khan et al. The current study aims to introduce a biparametrized multiplicative integral identity, which will serve as a foundation for deriving new inequalities related to multiplicatively differentiable convex mappings. The structure of the paper is outlined, indicating that subsequent sections will delve into the background of multiplicative calculus, present the new identity, and illustrate its applications through examples and graphical representations.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts of multiplicative differentiation and integration, as introduced by Bashirov et al. They define the multiplicative derivative of a positive function $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ as
\[
\phi^*(u) = \lim_{h \to 0} \frac{\phi(u + h)}{\phi(u)} \frac{1}{h},
\]
and establish its relationship with the ordinary derivative. The authors present several propositions that illustrate the properties of multiplicative derivatives, including how they behave under various operations such as addition, multiplication, and scalar multiplication. Furthermore, they introduce the multiplicative integral operator and demonstrate its properties, including conditions for multiplicative integrability and the formulation of a multiplicative integration by parts theorem.
The section culminates in theorems that provide inequalities for increasing multiplicatively differentiable functions, particularly focusing on the implications of multiplicative convexity. The authors derive specific inequalities and corollaries that refine existing results in the literature, showcasing their findings through numerical examples and graphical representations. This work not only enhances the theoretical framework surrounding multiplicative calculus but also suggests potential applications in mathematical analysis and related fields.