DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026348
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Abdelghani Lakhdari وآخرون
الموضوع الرئيسي: عدم المساواة الرياضية والتطبيقات
نظرة عامة
في هذا البحث، يستقصي المؤلفون تطبيق التكاملات الكسرية المصفاة لتطوير عدم المساواة الجديدة للدوال القابلة للاشتقاق التي تلبي شرط الس-تقعر. من خلال الاستفادة من التقدم في حساب التفاضل والتكامل الكسرية، يمددون النتائج الكلاسيكية، وخاصة اشتقاق نسخة جديدة من عدم المساواة هيرميت-هادامارد خصيصًا للتكاملات الكسرية المصفاة. بالإضافة إلى ذلك، يقدمون هوية تكاملية جديدة تعمل كأداة أساسية لتأسيس عدم المساواة من نوع أوستروفسكي ضمن هذا الإطار العام. هذه المساهمات لا تعزز فقط المشهد النظري لحساب التفاضل والتكامل الكسرية ولكن أيضًا تبرز أهميته في التحليل الرياضي المعاصر.
تشير النتائج إلى أن تطبيق التكاملات الكسرية المصفاة يوفر طريقة قوية لتحليل الدوال الس-تقعر، كاشفة عن خصائص قد تكون مفيدة في سياقات رياضية متنوعة. كما يقدم المؤلفون أمثلة توضيحية ونتائج ثانوية لإظهار الآثار العملية لنتائجهم. يقترحون أن البحث المستقبلي يمكن أن يستكشف توسيع هذه عدم المساواة إلى فئات تقعر عامة أخرى، مثل (η، h)-تقعر أو تقعر هارموني الس، بالإضافة إلى تطبيقها في حساب التفاضل والتكامل الكسرية المتعددة المتغيرات والعمليات العشوائية، مما قد يؤدي إلى تقدم في تحسين الأداء وتحليل الأخطاء.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة أهمية التقعر في اشتقاق حدود الخطأ لصيغ التكامل، والتي تعتبر أساسية لتعزيز دقة التكامل العددي. تظهر الدوال التقعر سلوكًا يمكن التنبؤ به تحت الاستيفاء، مما يسمح بتقديرات خطأ أكثر حدة تكون حاسمة في تقليل أخطاء التقريب. تبرز الورقة عدم المساواة هيرميت-هادامارد كنتيجة أساسية في التحليل التقعري، موفرة إطارًا لتوصيف الدوال التقعر وتكاملاتها. بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم مفهوم الس-تقعر كعمومية للتقعر، موسعًا فئة الدوال التي تحتفظ بخصائص مماثلة.
تتوسع هذه القسم في عدم المساواة أوستروفسكي، وهي نتيجة محورية في التحليل الرياضي التي تحدد حدود الانحراف لدالة عن متوسطها التكامل. لقد تم تعميم هذه عدم المساواة بشكل واسع، مما أدى إلى تطبيقات في مجالات متنوعة، بما في ذلك تحسين الأداء والعمليات العشوائية. يهدف المؤلفون إلى توسيع عدم المساواة أوستروفسكي ضمن سياق التكاملات الكسرية المصفاة، مدفوعين بالدراسات السابقة التي استكشفت عدم المساواة المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل الكسرية. تحدد الورقة هيكلها، مشيرة إلى أن الأقسام التالية ستتناول التعريفات الأساسية، وعدم المساواة هيرميت-هادامارد الموسعة للدوال الس-تقعر، وأشكال جديدة من عدم المساواة من نوع أوستروفسكي، مما يساهم في الإطار النظري لحساب التفاضل والتكامل الكسرية وتطبيقاته.
النتائج
في هذا القسم، يمدد المؤلفون النتائج من القسم 4 من خلال تقديم تفسيرات إضافية ونتائج ثانوية مستمدة من النظرية 5.1. تشمل النتائج الرئيسية عدم المساواة المتعلقة بالدوال $V(c)$ ومشتقاتها، مع التركيز بشكل خاص على العلاقات بين المعلمات $\alpha$، $\delta$، و$s$. تظهر عدم المساواة أنه تحت ظروف معينة، مثل تعيين $\delta = 0$ أو $\alpha = 1$، يمكن تبسيط النتائج للحصول على حدود مهمة على سلوك الدوال المعنية.
تقدم النتائج الثانوية 5.1 إلى 5.9 حالات محددة من النظرية 5.1، موضحة كيف يؤثر تغيير المعلمات على عدم المساواة المستمدة. على سبيل المثال، تظهر النتيجة الثانوية 5.1 أنه عندما $\delta = 0$، تبسط عدم المساواة إلى شكل يتعلق بقيم الدالة عند $c_1$ و$c_2$ إلى تكامل $V(l)$ على الفترة. بالمثل، تستكشف نتائج ثانوية أخرى آثار تعيين $s = 1$ أو $\alpha = 1$، مما يؤدي إلى مزيد من التبسيطات والرؤى حول سلوك الدوال. بشكل عام، تساهم هذه النتائج في فهم أعمق للعلاقات الرياضية ضمن سياق الدراسة.
المناقشة
في هذا القسم، يتعمق المؤلفون في المفاهيم الأساسية من حساب التفاضل والتكامل الكسرية، مع التركيز بشكل خاص على التعريفات وخصائص التكاملات الكسرية ريمان-ليوفيلي و الدوال ذات الصلة. يقدمون عدم المساواة هيرميت-هادامارد الكسرية المصفاة، التي تم تأسيسها للدوال الس-تقعر باستخدام التكاملات الكسرية المصفاة. تظهر عدم المساواة أنه لدالة \( V \) التي هي س-تقعر، فإن العلاقة \( 2^{s-1} \gamma_{\delta}(c_2 – c_1; \alpha, 1) V\left(\frac{c_1 + c_2}{2}\right) \leq \Gamma(\alpha) \frac{(c_2 – c_1)^\alpha}{2} T_{\alpha, \delta}^{-}[V](c_1) + T_{\alpha, \delta}^{+}[V](c_2) \) صحيحة، مما يمدد النتائج الكلاسيكية ويوفر إطارًا جديدًا للتحليل.
كما يقدم المؤلفون نسخة جديدة من عدم المساواة من نوع أوستروفسكي تتعلق بالتكاملات الكسرية المصفاة للدوال الس-تقعر القابلة للاشتقاق. يستخرجون هويات رئيسية تسهل تأسيس هذه عدم المساواة، مما يبرز مرونتها وعموميتها. يتم التحقق من النتائج من خلال المحاكاة العددية، التي تؤكد صحة عدم المساواة عبر مجالات المعلمات المختلفة. يختتم القسم بالتأكيد على آثار هذه النتائج على التطور النظري لحساب التفاضل والتكامل الكسرية وإمكانياتها في تحسين الأداء وتحليل الأخطاء، مقترحًا طرقًا للبحث المستقبلي في التقعر العام وحساب التفاضل والتكامل المتعددة المتغيرات.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026348
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Abdelghani Lakhdari et al.
Primary Topic: Mathematical Inequalities and Applications
Overview
In this research, the authors investigate the application of tempered fractional integrals to develop new inequalities for differentiable functions that meet the s-convexity condition. By leveraging advancements in fractional calculus, they extend classical results, notably deriving a novel version of the Hermite-Hadamard inequality specifically for tempered fractional integrals. Additionally, they introduce a new integral identity that serves as a foundational tool for establishing Ostrowski-type inequalities within this generalized framework. These contributions not only enhance the theoretical landscape of fractional calculus but also underscore its significance in contemporary mathematical analysis.
The findings indicate that the application of tempered fractional integrals provides a robust method for analyzing s-convex functions, revealing properties that could be beneficial in various mathematical contexts. The authors also present illustrative examples and corollaries to demonstrate the practical implications of their results. They suggest that future research could explore the extension of these inequalities to other generalized convexity classes, such as (η, h)-convexity or harmonic s-convexity, as well as their application in multivariate tempered fractional calculus and stochastic processes, potentially leading to advancements in optimization and error analysis.
Introduction
The introduction of the paper discusses the significance of convexity in deriving error bounds for quadrature formulas, which are essential for enhancing numerical integration accuracy. Convex functions exhibit predictable behavior under interpolation, allowing for sharper error estimates that are crucial in minimizing approximation errors. The paper highlights the Hermite-Hadamard inequality as a fundamental result in convex analysis, providing a framework for characterizing convex functions and their integrals. Additionally, the concept of s-convexity is introduced as a generalization of convexity, expanding the class of functions that retain similar properties.
The section further elaborates on the Ostrowski inequality, a pivotal result in mathematical analysis that establishes bounds on the deviation of a function from its integral mean. This inequality has been extensively generalized, leading to applications in various fields, including optimization and stochastic processes. The authors aim to extend Ostrowski’s inequality within the context of tempered fractional integrals, motivated by previous studies that have explored inequalities involving fractional calculus. The paper outlines its structure, indicating that subsequent sections will cover essential definitions, an extended Hermite-Hadamard inequality for s-convex functions, and novel forms of Ostrowski-type inequalities, ultimately contributing to the theoretical framework of fractional calculus and its applications.
Results
In this section, the authors extend the results from Section 4 by providing additional interpretations and corollaries derived from Theorem 5.1. The main findings include inequalities involving the functions $V(c)$ and their derivatives, specifically focusing on the relationships between parameters $\alpha$, $\delta$, and $s$. The inequalities demonstrate that under certain conditions, such as setting $\delta = 0$ or $\alpha = 1$, the results can be simplified to yield significant bounds on the behavior of the functions involved.
Corollaries 5.1 to 5.9 present specific cases of Theorem 5.1, illustrating how varying the parameters impacts the derived inequalities. For instance, Corollary 5.1 shows that when $\delta = 0$, the inequality simplifies to a form that relates the function values at $c_1$ and $c_2$ to the integral of $V(l)$ over the interval. Similarly, other corollaries explore the implications of setting $s = 1$ or $\alpha = 1$, leading to further simplifications and insights into the behavior of the functions. Overall, these results contribute to a deeper understanding of the mathematical relationships within the context of the study.
Discussion
In this section, the authors delve into fundamental concepts from fractional calculus, particularly focusing on the definitions and properties of fractional Riemann-Liouville integrals and related functions. They introduce the tempered fractional Hermite-Hadamard inequality, which is established for s-convex functions using tempered fractional integrals. The inequality demonstrates that for a function \( V \) that is s-convex, the relationship \( 2^{s-1} \gamma_{\delta}(c_2 – c_1; \alpha, 1) V\left(\frac{c_1 + c_2}{2}\right) \leq \Gamma(\alpha) \frac{(c_2 – c_1)^\alpha}{2} T_{\alpha, \delta}^{-}[V](c_1) + T_{\alpha, \delta}^{+}[V](c_2) \) holds, thereby extending classical results and providing a new framework for analysis.
The authors also present a new version of Ostrowski-type inequalities involving tempered fractional integrals for differentiable s-convex functions. They derive key identities that facilitate the establishment of these inequalities, highlighting their versatility and generality. The results are validated through numerical simulations, which confirm the correctness of the inequalities across various parameter domains. The section concludes by emphasizing the implications of these findings for the theoretical development of fractional calculus and their potential applications in optimization and error analysis, suggesting avenues for future research in generalized convexity and multivariate calculus.