DOI: https://doi.org/10.36753/mathenot.1891384
تاريخ النشر: 2026-04-11
المؤلف: Hüseyin Budak وآخرون
الموضوع الرئيسي: عدم المساواة الرياضية والتطبيقات
نظرة عامة
في هذه الدراسة، يستنتج المؤلفون عدم المساواة من نوع هيرميت-هادامارد للوظائف المحدبة المنسقة من خلال استخدام التكاملات الكسرية العامة، والتي تشمل مشغلين كسريين بارزين مثل تكاملات ريمان-ليوفيلي، هادامارد، وكاتوجامبولا. لا تقتصر النتائج على توسيع وتعميم عدم المساواة الموجودة في الأدبيات، بل تقدم أيضًا عدم مساواة جديدة. من خلال اختيار قيم معينة للمعلمات، يمكن تبسيط عدم المساواة التي تم تأسيسها إلى نتائج معروفة، مما يظهر مرونتها وقابليتها للتطبيق.
لنتائج آثار كبيرة عبر مجالات مختلفة، بما في ذلك الفيزياء الرياضية، نظرية التحسين، والتحليل العددي. يبرز المؤلفون أن نتائجهم تعود إلى عدم المساواة الكلاسيكية عندما يتم تعيين المعلمات إلى $\alpha = \beta = 1$. يتم اقتراح اتجاهات بحث مستقبلية، تركز على استكشاف هذه عدم المساواة ضمن أطر تكامل كسري مختلفة وفحص فئات محدبة متنوعة، مما قد يعزز الفهم والتنقيح للنتائج المقدمة.
مقدمة
تناقش مقدمة ورقة البحث عدم المساواة هيرميت-هادامارد، وهي نتيجة محورية في التحليل المحدب التي توفر حدودًا للمتوسط التكامل للوظائف المحدبة. تؤكد هذه عدم المساواة أنه بالنسبة لوظيفة محدبة \( f: I \to \mathbb{R} \) معرفة على فترة \( I \)، إذا كانت \( \kappa, \sigma \in I \) مع \( \kappa < \sigma \)، فإن ما يلي ينطبق: \[ f\left(\frac{\kappa + \sigma}{2}\right) \leq \frac{1}{\sigma - \kappa} \int_{\kappa}^{\sigma} f(x) \, dx \leq \frac{f(\kappa) + f(\sigma)}{2}. \] تسلط هذه القسم الضوء على مختلف التوسعات والتنقيحات لهذه عدم المساواة، بما في ذلك عدم المساواة من نوع نقطة المنتصف وعدم المساواة من نوع شبه المنحرف، والتي تعزز دقة التقريبات التكاملية. وقد وسعت الدراسات الحديثة عدم المساواة هيرميت-هادامارد لتشمل أشكالًا عامة للوظائف المعرفة في أبعاد أعلى وتلك التي تتضمن حساب التفاضل والتكامل الكسري، مثل تكاملات ريمان-ليوفيلي وهادامارد. الهدف الرئيسي من الورقة هو إنشاء عدم مساواة جديدة من نوع هيرميت-هادامارد للوظائف المحدبة المنسقة باستخدام التكاملات الكسرية العامة. يهدف هذا العمل إلى توسيع النتائج السابقة وتقديم رؤى جديدة حول تطبيق هذه عدم المساواة في التحليل الرياضي والرياضيات التطبيقية، لا سيما في تقنيات التحسين والتقريب العددي. تمهد المقدمة الطريق للأقسام التالية، التي ستفصل الإطار الرياضي وتقدم النتائج الرئيسية المدعومة بأمثلة توضيحية.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون عدة نتائج مستمدة من نظرية 2.2، مع التركيز على عدم المساواة المتعلقة بتكاملات ريمان-ليوفيلي الكسرية، تكاملات هادامارد الكسرية، وتكاملات كاتوجامبولا الكسرية. تؤسس النتيجة 2.4 سلسلة من عدم المساواة التي تتضمن الوظائف \( g(t) = t \) و \( w(s) = s \)، مما يوضح أن تركيبات معينة من هذه التكاملات تنتج حدودًا توسع النتائج الكلاسيكية. بشكل ملحوظ، يقدم المؤلفون حسابات صريحة لمختلف الحدود في عدم المساواة، موضحين تطبيقها من خلال المثال 2.2، الذي يؤكد عدم المساواة المستمدة بالقيم العددية.
تستكشف النتائج الإضافية (2.5 و 2.6) آثار اختيار وظائف مختلفة لـ \( g(t) \) و \( w(s) \)، مما يؤدي إلى عدم المساواة لتكاملات هادامارد وكاتوجامبولا الكسرية، على التوالي. لا تعمم هذه النتائج عدم المساواة الموجودة فحسب، بل تبرز أيضًا الإمكانية للتطبيق في مجالات مثل الفيزياء الرياضية ونظرية التحسين. يختتم المؤلفون بالتأكيد على أهمية نتائجهم في توسيع عدم المساواة التكاملية الكلاسيكية ويقترحون طرقًا للبحث المستقبلي، بما في ذلك استكشاف المشغلين الكسرين العامين وتأثير فئات المحدبية المختلفة على النتائج التي تم تأسيسها.
DOI: https://doi.org/10.36753/mathenot.1891384
Publication Date: 2026-04-11
Author(s): Hüseyin Budak et al.
Primary Topic: Mathematical Inequalities and Applications
Overview
In this study, the authors derive Hermite-Hadamard-type inequalities for coordinated convex functions through the use of generalized fractional integrals, which encompass notable fractional operators such as the Riemann-Liouville, Hadamard, and Katugampola integrals. The results not only extend and generalize existing inequalities found in the literature but also introduce new inequalities. By selecting specific parameter values, the established inequalities can be simplified to known results, thereby demonstrating their versatility and applicability.
The findings have significant implications across various fields, including mathematical physics, optimization theory, and numerical analysis. The authors highlight that their results revert to classical inequalities when parameters are set to $\alpha = \beta = 1$. Future research directions are suggested, focusing on the exploration of these inequalities within different fractional integral frameworks and the examination of various convexity classes, which may further enhance the understanding and refinement of the results presented.
Introduction
The introduction of the research paper discusses the Hermite-Hadamard inequality, a pivotal result in convex analysis that provides bounds for the integral mean of convex functions. This inequality asserts that for a convex function \( f: I \to \mathbb{R} \) defined on an interval \( I \), if \( \kappa, \sigma \in I \) with \( \kappa < \sigma \), then the following holds: \[ f\left(\frac{\kappa + \sigma}{2}\right) \leq \frac{1}{\sigma - \kappa} \int_{\kappa}^{\sigma} f(x) \, dx \leq \frac{f(\kappa) + f(\sigma)}{2}. \] The section highlights various extensions and refinements of this inequality, including midpoint-type and trapezoid-type inequalities, which enhance the accuracy of integral approximations. Recent studies have expanded the Hermite-Hadamard inequality to include generalized forms for functions defined on higher dimensions and those involving fractional calculus, such as Riemann-Liouville and Hadamard fractional integrals. The primary objective of the paper is to establish new Hermite-Hadamard-type inequalities for co-ordinated convex functions using generalized fractional integrals. This work aims to extend previous results and provide new insights into the application of these inequalities in mathematical analysis and applied mathematics, particularly in optimization and numerical approximation techniques. The introduction sets the stage for the subsequent sections, which will detail the mathematical framework and present the main findings supported by illustrative examples.
Discussion
In this section, the authors present several corollaries derived from Theorem 2.2, focusing on inequalities related to Riemann-Liouville fractional integrals, Hadamard fractional integrals, and Katugampola fractional integrals. Corollary 2.4 establishes a series of inequalities involving the functions \( g(t) = t \) and \( w(s) = s \), demonstrating that specific combinations of these integrals yield bounds that extend classical results. Notably, the authors provide explicit calculations for various terms in the inequalities, illustrating their application through Example 2.2, which confirms the derived inequalities with numerical values.
Further corollaries (2.5 and 2.6) explore the implications of selecting different functions for \( g(t) \) and \( w(s) \), leading to inequalities for Hadamard and Katugampola fractional integrals, respectively. These results not only generalize existing inequalities but also highlight the potential for application in fields such as mathematical physics and optimization theory. The authors conclude by emphasizing the significance of their findings in extending classical integral inequalities and suggest avenues for future research, including the exploration of generalized fractional operators and the influence of various convexity classes on the established results.