DOI: https://doi.org/10.47836/mjms.19.2.03
تاريخ النشر: 2025-06-17
المؤلف: Nur Idayu Alimon وآخرون
الموضوع الرئيسي: نظرية الرسوم البيانية وتطبيقاتها
نظرة عامة
تم تقديم مؤشر سومبور كمقياس هندسي للرسوم البيانية، يُعرف بأنه جذر مجموع درجات القمم المجاورة المربعة. يتم اشتقاق كثير الحدود المرتبط بسومبور من درجات هذه القمم، ويتم تقييم مشتقها من الدرجة الأولى عند \( x = 1 \) مما ينتج عنه مؤشر سومبور. تركز هذه الدراسة على مؤشر سومبور وكثير الحدود الخاص بسومبور للرسوم البيانية للقوى المشتقة من مجموعات غير أبيلية محدودة معينة، مع فحص مجموعات ثنائية الأوجه، ومجموعات كواتيرنيون العامة، ومجموعات شبه ثنائية الأوجه. تشمل الأبحاث أيضًا تعميماً للرسم البياني للقوى لمجموعات شبه ثنائية الأوجه.
في الختام، يضع البحث صيغة عامة لمؤشر سومبور وكثير الحدود للرسوم البيانية للقوى المتعلقة بالمجموعات غير الأبيليّة المحدودة، معبراً عنها من حيث المعامل \( \alpha \)، الذي يعتمد على ترتيب المجموعة. هذه النتائج لها آثار على تحليل الخصائص الجزيئية في الكيمياء وعلم الأحياء من خلال ربط الرسوم البيانية الجزيئية بالتشابهات بين المجموعات المحدودة. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية استكشاف مؤشرات طوبولوجية إضافية لأنواع مختلفة من الرسوم البيانية وإمكانية تطوير مؤشرات طوبولوجية جديدة.
مقدمة
تناقش المقدمة أهمية المؤشرات الطوبولوجية في فهم الاتصال والخصائص الهيكلية للشبكات الجزيئية، والتي تلعب دورًا حاسمًا في مجالات مختلفة مثل تصميم الأدوية، وتوقع الخصائص الكيميائية، ودراسات العلاقة الكمية بين الهيكل والنشاط/الخاصية. من بين المؤشرات الطوبولوجية البارزة، يتم تسليط الضوء على مؤشر وينر لقدراته على تلخيص المسافات بين الذرات، مما يعكس تفرع الجزيئات وترابطها. تلتقط مؤشرات أخرى، بما في ذلك مؤشر راندك، ومؤشرات زغرب، ومؤشر بالابان، ومؤشر الاتصال الغريب، جوانب هيكلية مختلفة من الرسوم البيانية الجزيئية، مما يساعد في توقع الخصائص الفيزيائية والكيميائية والأنشطة البيولوجية.
يؤكد البحث على الاهتمام المتزايد بالمؤشرات الطوبولوجية في كل من الكيمياء والرياضيات، مشيرًا إلى التطورات الأخيرة في هذا المجال التي تمتد إلى ما هو أبعد من التطبيقات الجزيئية التقليدية لتشمل نظرية الرسوم البيانية العامة. يركز هذا البحث على مؤشر سومبور، الذي يُطبق على الرسوم البيانية للقوى المرتبطة بمجموعات غير أبيلية محدودة معينة، مثل المجموعات ثنائية الأوجه، ومجموعات كواتيرنيون العامة، ومجموعات شبه ثنائية الأوجه. بالإضافة إلى ذلك، تهدف الدراسة إلى اشتقاق كثير الحدود الخاص بسومبور لهذه الرسوم البيانية للقوى واستكشاف خصائصها وتعميماتها، مما يساهم في فهم الخصائص الجبرية والتناظرية ذات الصلة بالرسوم البيانية الجزيئية.
نقاش
في قسم النقاش من هذه الورقة البحثية، يستكشف المؤلفون التفاعل بين المؤشرات الطوبولوجية، وبشكل خاص مؤشر سومبور، ومجالات رياضية مختلفة بما في ذلك نظرية الرسوم البيانية ونظرية المجموعات. يُعرف مؤشر سومبور لرسم بياني بسيط متصل $\Gamma$ بأنه $SO(\Gamma) = \sum_{(r,s) \in \epsilon(\Gamma)} (\sigma(r)^2 + \sigma(s)^2)$، حيث $\sigma(r)$ و $\sigma(s)$ هما درجات القمم $r$ و $s$، على التوالي، ويعمل كنقطة محورية لتحليل خصائص الرسوم البيانية للقوى المرتبطة بالمجموعات غير الأبيليّة المحدودة. يلخص المؤلفون النتائج المهمة من الأدبيات السابقة التي تثبت أهمية مؤشر سومبور في وصف الهياكل الجزيئية وخصائصها، مع تسليط الضوء على ارتباطه بالكتل الجزيئية في سلاسل كيميائية مختلفة.
تقدم الورقة أيضًا مؤشر سومبور وكثير الحدود للرسوم البيانية للقوى لمجموعات معينة، بما في ذلك المجموعات ثنائية الأوجه ومجموعات شبه ثنائية الأوجه، كاشفة أن مؤشر سومبور يزداد مع ترتيب المجموعة. تشير النتائج إلى أن تعقيد الرسم البياني للقوى، كما تقيسه درجات القمم، يختلف بين المجموعات المختلفة، حيث تظهر المجموعة شبه ثنائية الأوجه مؤشر سومبور أعلى من المجموعة ثنائية الأوجه لنفس الترتيب. يختتم المؤلفون بالتأكيد على التطبيقات المحتملة لنتائجهم في تحليل الخصائص الجزيئية ويقترحون طرقًا للبحث المستقبلي، بما في ذلك استكشاف مؤشرات طوبولوجية إضافية وتطوير مؤشرات جديدة مصممة لأنواع مختلفة من الرسوم البيانية.
DOI: https://doi.org/10.47836/mjms.19.2.03
Publication Date: 2025-06-17
Author(s): Nur Idayu Alimon et al.
Primary Topic: Graph theory and applications
Overview
The Sombor index is introduced as a geometric graph invariant, defined as the radical of the sum of the squared degrees of adjacent vertices. The associated Sombor polynomial, which is derived from the degrees of these vertices, has its first-order derivative evaluated at \( x = 1 \) yielding the Sombor index. This study focuses on the Sombor index and Sombor polynomial of power graphs derived from certain finite non-abelian groups, specifically examining dihedral, generalized quaternion, and quasi-dihedral groups. The research also includes a generalization of the power graph for quasi-dihedral groups.
In conclusion, the paper establishes a general formula for the Sombor index and polynomial of power graphs related to finite non-abelian groups, expressed in terms of the parameter \( \alpha \), which is contingent on the group’s order. These findings have implications for analyzing molecular properties in chemistry and biology by linking molecular graphs to finite group isomorphisms. Future research directions include exploring additional topological indices for various graph types and the potential development of new topological indices.
Introduction
The introduction discusses the significance of topological indices in understanding the connectivity and structural properties of molecular networks, which play a crucial role in various fields such as drug design, chemical property prediction, and quantitative structure-activity/property relationship studies. Among the notable topological indices, the Wiener index is highlighted for its ability to summarize pairwise distances between atoms, reflecting molecular branching and connectivity. Other indices, including the Randić index, Zagreb indices, Balaban index, and eccentric connectivity index, capture different structural aspects of molecular graphs, aiding in the prediction of physicochemical properties and biological activities.
The paper emphasizes the growing interest in topological indices within both chemistry and mathematics, noting recent developments in the field that extend beyond traditional molecular applications to include general graph theory. The focus of this research is on the Sombor index, which is applied to power graphs associated with specific finite non-abelian groups, such as dihedral, generalized quaternion, and quasi-dihedral groups. Additionally, the study aims to derive the Sombor polynomials for these power graphs and explore their properties and generalizations, thereby contributing to the understanding of algebraic and symmetrical properties relevant to molecular graphs.
Discussion
In the discussion section of this research paper, the authors explore the interplay between topological indices, specifically the Sombor index, and various mathematical fields including graph theory and group theory. The Sombor index, defined for a simple connected graph $\Gamma$ as $SO(\Gamma) = \sum_{(r,s) \in \epsilon(\Gamma)} (\sigma(r)^2 + \sigma(s)^2)$, where $\sigma(r)$ and $\sigma(s)$ are the degrees of vertices $r$ and $s$, respectively, serves as a focal point for analyzing the properties of power graphs associated with finite non-abelian groups. The authors summarize significant findings from prior literature that establish the relevance of the Sombor index in characterizing molecular structures and their properties, highlighting its correlation with molecular masses in various chemical series.
The paper further presents the Sombor index and polynomial for power graphs of specific groups, including dihedral and quasi-dihedral groups, revealing that the Sombor index increases with the order of the group. The results indicate that the complexity of the power graph, as measured by vertex degrees, varies between different groups, with the quasi-dihedral group exhibiting a higher Sombor index than the dihedral group for the same order. The authors conclude by emphasizing the potential applications of their findings in analyzing molecular properties and suggest avenues for future research, including the exploration of additional topological indices and the development of new indices tailored to various graph types.