DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.042.01.05
تاريخ النشر: 2026-01-06
المؤلف: Mohammed Al-Refai وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم البحث مشغلات مشتقة كسرية من الرتبة العليا الممتدة التي تستخدم نواة جيب الزاوية الكاردينالية العامة، موسعةً على المشغلات الكلاسيكية من الرتبة العليا ضمن فضاءات دالة أوسع ودمج النوى الفردية. يتم تعريف هذه المشغلات من خلال التكامل بالتجزئة، ويتم اشتقاق مشغلاتها التكاملية المقابلة من خلال حل المعادلات التفاضلية الكسرية عبر تحويل لابلاس. من الجدير بالذكر أن الدراسة تؤكد أن مشغل التكامل الممتد يعمل كعكس للمشتق الممتد، مما يبرز العديد من الخصائص الرئيسية لهذه المشغلات الجديدة.
تظهر النتائج أن المشتق من نوع كابوتو الممتد قابل للتطبيق على بعض الدوال حيث تكون المشتقات التقليدية غير كافية، مما يمكّن من حل المعادلات التفاضلية الكسرية التي تظل غير قابلة للحل بالطرق التقليدية. تستكشف الورقة أيضًا نموذج دوفينغ كسرية باستخدام المشتق الممتد، مدعومًا بمحاكاة عددية تؤكد فعالية المشغلات المقترحة. بشكل عام، يتناول البحث قيودًا كبيرة في تهيئة المعادلات التفاضلية الكسرية، مما يعرض التطبيق العملي وكفاءة النهج الجديد من خلال أمثلة ونتائج عددية متنوعة.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية التقدمات في حساب التفاضل الكسرية، مع التركيز على فائدته في نمذجة الظواهر التي تتميز بالذاكرة طويلة الأمد وتأثيرات وراثية عبر مجالات علمية وهندسية متنوعة. توضح تطور مشغلات المشتقات الكسرية، بدءًا من المشغلات التقليدية غير المحلية ذات النوى الفردية، مثل مشتقات ريمان-ليوفيلي وكابوتو، إلى مشغلات النوى غير الفردية الأكثر حداثة مثل مشتقات أتانغانا-بالينو وكابوتو-فابريزيو. تسلط الورقة الضوء على ضرورة وجود نماذج جديدة للمشتقات الكسرية مصممة للأنظمة المعقدة، التي غالبًا ما تتطلب نوى محددة لتمثيل البيانات الحقيقية بدقة.
يقترح المؤلفون نموذج مشتق كسرية من الرتبة العليا الممتد باستخدام نواة جيب الزاوية الكاردينالية العامة (GCS)، معالجين القيود المرتبطة بالمشتقات الكسرية غير الفردية الموجودة، لا سيما فيما يتعلق بقيود التهيئة في المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs). من خلال الاستفادة من التكامل بالتجزئة وتحويل لابلاس، يهدف الإطار المقترح إلى تعزيز قابلية تطبيق حساب التفاضل الكسرية على فئة أوسع من الدوال والمشكلات المعقدة، بما في ذلك تلك التي لا تستطيع التعريفات التقليدية حلها. تشمل ابتكارات الورقة تقديم مشتقات كابوتو الممتدة المحددة جيدًا للدوال التي تفشل فيها المشتقات الكلاسيكية، بالإضافة إلى محاكاة عددية توضح الاستقرار المحسن وكفاءة المشغلات الجديدة في نمذجة الأنظمة غير الخطية من الرتبة الكسرية. ستفصل الأقسام اللاحقة التعريفات والخصائص والتطبيقات لهذه المشغلات الممتدة.
نقاش
في هذا القسم، يناقش البحث مشتق كسرية نواة جيب الزاوية الكاردينالية العامة (GCS)، مع التركيز على مزاياها التحليلية في توسيع مشغلات المشتقات الكسرية، لا سيما في الحالات التي تتضمن تفردات. تسهل نواة GCS، التي تتميز بسلوكها المتناقص والمذبذب، تنظيم التفردات، مما يسمح بوجود مشغلات محددة جيدًا حتى للدوال ذات السلاسة المحدودة. هذه تحسين كبير مقارنة بالتعريفات التقليدية مثل مشتق كابوتو، الذي قد لا يكون قابلًا للتطبيق في مثل هذه السياقات. كما تمكن نواة GCS من العكس التحليلي لمشغل المشتق من خلال تحويل لابلاس، مما يعزز الاستقرار العددي ويجعله مناسبًا للحسابات العملية.
يتناول القسم أيضًا التعريفات والخصائص لمشغلات المشتقات والتكامل الكسرية الجديدة المستندة إلى نواة GCS. يقدم مشغل مشتق كسرية من نوع كابوتو المحدد جيدًا، $C_0 D^\alpha_g$، وإصدار ممتد، $EC_0 D^\alpha_g$، الذي يعالج قضايا التهيئة في المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs). يتم إظهار أن المشغلات الممتدة قابلة للتطبيق في فضاءات دالة أوسع، مما يتجاوز القيود التي تواجهها المشغلات التقليدية. تختتم الدراسة بإظهار فعالية هذه المشغلات الممتدة من خلال أمثلة توضيحية، بما في ذلك حلول لمعادلة دوفينغ الكسرية، مما يبرز إمكانياتها في نمذجة الأنظمة الديناميكية.
DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.042.01.05
Publication Date: 2026-01-06
Author(s): Mohammed Al-Refai et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
The research introduces extended higher-order fractional derivative operators that utilize a generalized cardinal sine kernel, expanding upon classical higher-order operators within broader function spaces and incorporating singular kernels. These operators are defined through integration by parts, and their corresponding integral operators are derived by solving fractional differential equations via the Laplace transform. Notably, the study establishes that the extended integral operator acts as the inverse of the extended derivative, highlighting several key properties of these new operators.
The findings demonstrate that the extended Caputo-type derivative is applicable to certain functions where traditional derivatives are inadequate, enabling the resolution of fractional differential equations that remain unsolvable with conventional methods. The paper also explores a fractional Duffing model utilizing the extended derivative, supported by numerical simulations that validate the effectiveness of the proposed operators. Overall, the research addresses significant limitations in the initialization of fractional differential equations, showcasing the practical applicability and efficiency of the new approach through various examples and numerical results.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the advancements in fractional calculus, emphasizing its utility in modeling phenomena characterized by long-term memory and hereditary effects across various scientific and engineering domains. It outlines the evolution of fractional derivative operators, starting from traditional non-local operators with singular kernels, such as the Riemann-Liouville and Caputo derivatives, to more recent non-singular kernel operators like the Atangana-Baleanu and Caputo-Fabrizio derivatives. The paper highlights the necessity for new fractional derivative models tailored to complex systems, which often require specific kernels to accurately represent real data.
The authors propose an extended higher-order fractional derivative model utilizing a generalized cardinal sine (GCS) kernel, addressing limitations associated with existing non-singular fractional derivatives, particularly regarding initialization constraints in fractional differential equations (FDEs). By leveraging integration by parts and the Laplace transform, the proposed framework aims to enhance the applicability of fractional calculus to a broader class of functions and complex problems, including those that traditional definitions cannot solve. The paper’s innovations include the introduction of well-defined extended Caputo-type derivatives for functions where classical derivatives fail, as well as numerical simulations demonstrating the improved stability and efficiency of the new operators in modeling nonlinear fractional order systems. Subsequent sections will detail the definitions, properties, and applications of these extended operators.
Discussion
In this section, the research discusses the generalized cardinal sine (GCS) kernel fractional derivative, emphasizing its analytical advantages for extending fractional derivative operators, particularly in cases involving singularities. The GCS kernel, characterized by its decay and oscillatory behavior, facilitates the regularization of singularities, allowing for well-defined operators even for functions with limited smoothness. This is a significant improvement over traditional definitions like the Caputo derivative, which may not be applicable in such contexts. The GCS kernel also enables analytical inversion of the derivative operator through the Laplace transform, enhancing numerical stability and making it suitable for practical computations.
The section further elaborates on the definitions and properties of the newly introduced fractional derivative and integral operators based on the GCS kernel. It presents a well-defined Caputo-type fractional derivative operator, $C_0 D^\alpha_g$, and an extended version, $EC_0 D^\alpha_g$, which addresses initialization issues in fractional differential equations (FDEs). The extended operators are shown to be applicable in broader function spaces, thus overcoming limitations faced by traditional operators. The study concludes by demonstrating the effectiveness of these extended operators through illustrative examples, including solutions to the fractional Duffing equation, highlighting their potential in modeling dynamic systems.