DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026247
تاريخ النشر: 2026-01-01
المؤلف: Ibraheem M. Alsulami وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل المعادلات التفاضلية غير الخطية
نظرة عامة
في هذه الدراسة، استكشفنا فئة من المعادلات التفاضلية الكسرية ذات التأخير المحدود، والتي تتميز بترتيب تفاضلي يعتمد على الزمن ويتأثر بالتطور السابق للحالة. يدمج النموذج ترتيبًا كسريًا يعتمد على التاريخ مع حد غير خطي يتضمن دالة ذاكرة تكاملية، مما يميزه عن النماذج التقليدية ذات الترتيب الثابت أو المتغير حسب النقطة. هذه البنية المبتكرة تلتقط بفعالية آثار الذاكرة التكيفية والسلوك غير المحلي التراكمي. من خلال إعادة صياغة المشكلة في معادلة تكاملية مكافئة، أنشأنا نتائج وجود فريدة صارمة في فضاء باناش $L^1(\Delta)$، باستخدام مبدأ انكماش باناش ونظرية النقطة الثابتة لشودر تحت افتراضات معتدلة. بالإضافة إلى ذلك، أظهرنا استقرار أولام-هايرز، مما يضمن متانة الحلول ضد الاضطرابات.
تساهم النتائج بشكل كبير في الفهم الرياضي للأنظمة الكسرية ذات الترتيب المتغير المتأخر، مما يضع أساسًا للبحث المستقبلي في مجالات متنوعة مثل الهندسة والاقتصاد ونمذجة العلوم الطبية الحيوية. تم تقديم مثال توضيحي والتحقق من الاستقرار العددي لدعم النتائج النظرية، مما يؤكد سلوك الاستقرار الخطي المتوقع. تشمل مجالات البحث المستقبلية التحقيق في السلوك التماثلي وجاذبية الحلول، بالإضافة إلى توسيع النموذج ليشمل مشاكل التأخير اللانهائي، والأنظمة الاندفاعية، والآثار العشوائية. تظل تطوير طرق عددية فعالة وتطبيقها على السيناريوهات الواقعية مجالات حاسمة لمزيد من الاستكشاف.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية أهمية النماذج الرياضية التي تتضمن مشغلين غير محليين، وخاصة المعادلات التفاضلية الكسرية، في التقاط الظواهر المدفوعة بالذاكرة والوراثية في الأنظمة المعقدة. تمتد هذه النماذج إلى الأطر التقليدية ذات الترتيب الصحيح من خلال دمج التفاعلات الزمنية بعيدة المدى والديناميات غير المحلية، مما يؤدي إلى تطبيقات عبر مجالات متنوعة مثل اللدونة المرنة، الانتشار الشاذ، والهندسة الحيوية. تسلط الورقة الضوء على ظهور مشغلين كسريين ذوي ترتيب متغير، مما يسمح لترتيب التفاضل بالتطور بناءً على الزمن أو المكان أو حالة النظام، مما يمكّن من تمثيل ديناميكي لشدة الذاكرة.
يؤكد المؤلفون على ضرورة دمج كل من التأخيرات الزمنية والديناميات الكسرية في نمذجة الأنظمة الواقعية، حيث غالبًا ما تعالج الأساليب التقليدية هذه الجوانب بشكل منفصل. يقترحون إطارًا جديدًا يجمع بين الديناميات ذات الترتيب المتغير المعتمدة على التاريخ وآثار الذاكرة التكاملية، مما يعالج الطبيعة التراكمية للذاكرة في السيناريوهات العملية. الهدف الرئيسي من الدراسة هو إنشاء نتائج وجود فريدة واستقرار صارمة لمعادلة تفاضلية كسرية محدودة معينة، والتي تتضمن ترتيبًا كسريًا متغيرًا يعتمد على المسار التاريخي للحل. لا تعزز هذه الطريقة فقط مرونة النمذجة، بل توفر أيضًا أساسًا تحليليًا قويًا للأنظمة التي تتميز بآليات ذاكرة تكيفية. توضح الورقة مساهماتها، بما في ذلك تقديم إطار موحد، واستخدام فضاء باناش للتحليل، وإقامة نتائج الاستقرار، مما يمهد الطريق لمزيد من استكشاف هذه الأنظمة المعقدة.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون عدة ليمات مساعدة تعتبر أساسية لتحليل مشكلة الكسرية ذات الترتيب المتغير المتأخر المحدود. تضع الليمات 2.1 أنه بالنسبة لدالة مستمرة $\Phi : \Delta_1 \times \mathbb{R} \to (0, 1)$ وأي دالة $\phi \in L^1(\Delta)$، فإن التكامل الكسرى ذو الترتيب المتغير $I_\Phi(t, \phi(t))_0^+ \phi$ ينتمي إلى $L^1(\Delta)$ ويحقق عدم المساواة $\|I_\Phi(t, \phi(t))_0^+ \phi\|_{L^1(\Delta)} \leq C_1 \|\phi\|_{L^1(\Delta)}$، حيث $C_1$ هو ثابت مستقل عن $\phi$. علاوة على ذلك، يظهر أن الفرق بين تكاملين من هذا القبيل للدوال $\phi$ و$\psi$ محدود بواسطة ثابت $C_2$ مضروبًا في معيار $L^1$ لفرقهم.
يؤسس القسم أيضًا وجود وحيدة الحلول للمشكلة المقترحة باستخدام تقنيات النقطة الثابتة في فضاء باناش $L^1(\Delta)$. تُعرف الدالة $u \in L^1(\Delta)$ كحل إذا كانت تحقق المعادلة $D^\alpha(t, u_t)_0^+ u(t) = F(t, u(t), 0 – r u(t + s)) ds$ تقريبًا لكل $t \in \Delta_1$، جنبًا إلى جنب مع الشرط الابتدائي $u(t) = \phi(t)$ لـ $t \in \Delta_2$. يتم اشتقاق صياغة تكاملية مكافئة للمشكلة، مما يظهر أن $u$ تحقق المشكلة إذا وفقط إذا كان $I^{1-\alpha}(t, u_t)_0^+ u(t) = \int_0^t F(s, u(s), 0 – r u(s + \theta)) d\theta ds$، وهو أمر حاسم لإثبات النتائج الرئيسية.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية والافتراضات اللازمة لتحليل المعادلات التفاضلية الكسرية ذات الترتيب المتغير. يقدمون التكامل الكسرى والمشتق من الجانب الأيسر لريمان-ليوفيلي ذو الترتيب المتغير، مؤكدين أن هذه المشغلين لا تحقق عمومًا خاصية المجموعة شبه. يحدد المؤلفون الافتراضات الرئيسية (A1)-(A3) التي تعتبر حاسمة لإقامة نتائج الوجود والفريدة للحلول للمشكلة المقترحة (1.1). تضمن هذه الافتراضات أن يبقى الترتيب المتغير ضمن نطاق معقول جسديًا وأن الحد غير الخطي يحقق شروط ليبشيتز، وهي شائعة في تطبيقات متنوعة مثل ديناميات السكان وأنظمة التحكم.
توفر النظريات 3.4 و3.5 شروطًا تحتها يوجد حل فريد في الفضاء \( L^1(\Delta) \)، حيث تعتمد النظرية 3.4 على مبدأ انكماش الخرائط وتستخدم النظرية 3.5 نظرية النقطة الثابتة لشودر. يناقش المؤلفون أيضًا آثار تخفيف بعض الشروط، مثل السماح باستمرارية ليبشيتز المحلية، مما يوسع من قابلية تطبيق نتائجهم. علاوة على ذلك، يقدمون مفهوم استقرار أولام-هايرز، موضحين أنه تحت ظروف معينة، يمكن أن تكون الحلول التقريبية محصورة بشكل وثيق بواسطة الحلول الدقيقة، مما يعزز متانة الإطار المقترح. يختتم القسم بمثال توضيحي يتحقق من الافتراضات ويظهر وجود حل فريد لمشكلة كسرية ذات ترتيب متغير معينة.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2026247
Publication Date: 2026-01-01
Author(s): Ibraheem M. Alsulami et al.
Primary Topic: Nonlinear Differential Equations Analysis
Overview
In this study, we explored a class of finite-delay fractional differential equations characterized by a differentiation order that is both time-dependent and influenced by the past evolution of the state. The model integrates a history-dependent fractional order with a nonlinear source term that incorporates an integral memory functional, distinguishing it from traditional constant-order or pointwise variable-order models. This innovative structure effectively captures adaptive memory effects and cumulative nonlocal behavior. By reformulating the problem into an equivalent integral equation, we established rigorous existence and uniqueness results in the Banach space $L^1(\Delta)$, utilizing the Banach contraction principle and the Schauder fixed-point theorem under mild assumptions. Additionally, we demonstrated Ulam-Hyers stability, ensuring the robustness of solutions against perturbations.
The findings contribute significantly to the mathematical understanding of delayed variable-order fractional systems, laying a foundation for future research in various fields such as engineering, economics, and biomedical modeling. An illustrative example and numerical stability verification were provided to support the theoretical results, confirming the predicted linear stability behavior. Future research avenues include investigating the asymptotic behavior and attractivity of solutions, as well as extending the model to encompass infinite-delay problems, impulsive systems, and stochastic effects. The development of efficient numerical methods and their application to real-world scenarios remain critical areas for further exploration.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the significance of mathematical models involving nonlocal operators, particularly fractional differential equations, in capturing memory-driven and hereditary phenomena in complex systems. These models extend classical integer-order frameworks by incorporating long-range temporal interactions and nonlocal dynamics, leading to applications across various fields such as viscoelasticity, anomalous diffusion, and bioengineering. The paper highlights the emergence of variable-order fractional operators, which allow the differentiation order to evolve based on time, space, or system state, thereby enabling a dynamic representation of memory intensity.
The authors emphasize the necessity of integrating both time delays and fractional dynamics in modeling real-world systems, as traditional approaches often treat these aspects separately. They propose a novel framework that combines history-dependent variable-order dynamics with integral memory effects, addressing the cumulative nature of memory in practical scenarios. The main objective of the study is to establish rigorous existence, uniqueness, and stability results for a specific finite delayed fractional differential equation, which incorporates a variable fractional order dependent on the historical trajectory of the solution. This approach not only enhances modeling flexibility but also provides a robust analytical foundation for systems characterized by adaptive memory mechanisms. The paper outlines its contributions, including the introduction of a unified framework, the use of a Banach space for analysis, and the establishment of stability results, setting the stage for further exploration of these complex systems.
Results
In this section, the authors present several auxiliary lemmas that are foundational for analyzing the finite delayed variable-order fractional problem. Lemma 2.1 establishes that for a continuous function $\Phi : \Delta_1 \times \mathbb{R} \to (0, 1)$ and any function $\phi \in L^1(\Delta)$, the variable-order fractional integral $I_\Phi(t, \phi(t))_0^+ \phi$ belongs to $L^1(\Delta)$ and satisfies the inequality $\|I_\Phi(t, \phi(t))_0^+ \phi\|_{L^1(\Delta)} \leq C_1 \|\phi\|_{L^1(\Delta)}$, where $C_1$ is a constant independent of $\phi$. Furthermore, it shows that the difference between two such integrals for functions $\phi$ and $\psi$ is bounded by a constant $C_2$ times the $L^1$ norm of their difference.
The section also establishes the existence and uniqueness of solutions to the proposed problem using fixed-point techniques in the Banach space $L^1(\Delta)$. A function $u \in L^1(\Delta)$ is defined as a solution if it satisfies the equation $D^\alpha(t, u_t)_0^+ u(t) = F(t, u(t), 0 – r u(t + s)) ds$ for almost every $t \in \Delta_1$, along with the initial condition $u(t) = \phi(t)$ for $t \in \Delta_2$. An equivalent integral formulation of the problem is derived, showing that $u$ satisfies the problem if and only if $I^{1-\alpha}(t, u_t)_0^+ u(t) = \int_0^t F(s, u(s), 0 – r u(s + \theta)) d\theta ds$, which is crucial for proving the main results.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts and assumptions necessary for analyzing variable-order fractional differential equations. They introduce the left-sided Riemann-Liouville fractional integral and derivative of variable order, emphasizing that these operators do not generally satisfy the semigroup property. The authors outline key assumptions (A1)-(A3) that are crucial for establishing existence and uniqueness results for solutions to the proposed problem (1.1). These assumptions ensure that the variable order remains within a physically reasonable range and that the nonlinear term satisfies Lipschitz conditions, which are common in various applications such as population dynamics and control systems.
Theorems 3.4 and 3.5 provide conditions under which a unique solution exists in the space \( L^1(\Delta) \), with Theorem 3.4 relying on a contraction mapping principle and Theorem 3.5 utilizing Schauder’s fixed-point theorem. The authors also discuss the implications of relaxing certain conditions, such as allowing local Lipschitz continuity, which broadens the applicability of their results. Furthermore, they introduce the concept of Ulam-Hyers stability, demonstrating that under specific conditions, approximate solutions can be closely bounded by exact solutions, thereby reinforcing the robustness of the proposed framework. The section concludes with an illustrative example that verifies the assumptions and demonstrates the existence of a unique solution for a specific variable-order fractional problem.