DOI: https://doi.org/10.1017/psy.2024.10
تاريخ النشر: 2025-01-03
المؤلف: Daniel McNeish وآخرون
الموضوع الرئيسي: طرق إحصائية واستدلال
نظرة عامة
المتوسط الجذري المعياري للبقايا (SRMR) هو مقياس مستخدم على نطاق واسع لتقييم ملاءمة نماذج المتغيرات الكامنة من خلال قياس الفجوة بين عناصر التباين الملاحظة والمفترضة. ومع ذلك، فإن التعريفات التقليدية لـ SRMR لا تعالج بشكل كافٍ التعقيدات التي تطرحها المتغيرات المساعدة والهياكل المتوسطة المفرطة التعريف في نمذجة المتغيرات الكامنة المعاصرة. تهدف هذه الورقة إلى صياغة تعريفات SRMR بشكل خاص للنماذج التي تتضمن المتغيرات المساعدة، مما يبرز الحاجة إلى الوضوح في تطبيقها.
يقترح المؤلفون تعريفات SRMR متنوعة مصممة لتناسب مواصفات نماذج مختلفة تتضمن المتغيرات المساعدة، مع دراسة نقاط القوة والضعف في كل نهج. ومن النتائج المهمة أن بعض تعريفات SRMR قد تتأثر بعوامل مشوشة مثل حجم النموذج، مما يؤدي إلى قيم SRMR أقل بشكل منهجي تشير بشكل خاطئ إلى تحسين ملاءمة النموذج عند تضمين المتغيرات المساعدة، حتى عندما لا تؤثر تلك المتغيرات بشكل كبير. وبالتالي، تستنتج الورقة أنه لا يوجد تعريف واحد، قابل للتطبيق عالمياً، لـ SRMR للنماذج التي تحتوي على متغيرات مساعدة. لذلك، يُنصح الباحثون بأن يكونوا على دراية بالتعريف المحدد لـ SRMR المستخدم والآثار المترتبة على المعلومات التي يتضمنها عند الإبلاغ عن النتائج.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة المتوسط الجذري المعياري للبقايا (SRMR) كمقياس حاسم لتقييم ملاءمة نماذج المعادلات الهيكلية (SEMs). يُفضل SRMR على مؤشرات الملاءمة الأخرى مثل RMSEA وCFI بسبب تفسيره المتسق، وموثوقيته في أحجام العينات الصغيرة، وقدرته على حساب تباين العينة. ومع ذلك، يبرز المؤلفون قيدًا كبيرًا: التعريف التقليدي لـ SRMR ينطبق بشكل أساسي على تحليلات العوامل بدون متغيرات مساعدة ولا يعالج بشكل كافٍ النماذج التي تتضمن هياكل متوسطة أو متغيرات مساعدة. هذه السقطة حرجة، حيث أن العديد من تطبيقات SEM المعاصرة تتضمن هياكل متوسطة ومتغيرات مساعدة، والتي يمكن أن تؤثر على حساب SRMR وتفسيره.
تهدف الورقة إلى توضيح التعقيدات المحيطة بتعريفات SRMR عند تضمين المتغيرات المساعدة في النماذج. ستستكشف تعريفات SRMR المختلفة، وآثار مواصفات المتغيرات المساعدة، وكيف تؤثر هذه العوامل على تقييم ملاءمة النموذج. يؤكد المؤلفون على أهمية فهم هذه الفروق الدقيقة، خاصةً مع توفر أدوات البرمجيات مثل Mplus وlavaan التي تقدم مخرجات SRMR قد لا تتماشى مع توقعات المستخدمين أو الأسس النظرية. تم تحديد هيكل الورقة، مما يشير إلى فحص شامل لـ SRMR في سياق هياكل التباين، والهياكل المتوسطة، والنماذج التي تحتوي على متغيرات مساعدة، مما يؤدي إلى تطبيق تجريبي لتوضيح المفاهيم التي تم مناقشتها.
طرق
في هذا القسم، يناقش المؤلفون طرق التوحيد البديلة للحظات المفترضة للنموذج في التحليل الإحصائي. يقارنون بين توحيد بنتلر، الذي يستخدم الانحرافات المعيارية للعينة، مع توحيد بولن، الذي يستخدم الانحرافات المعيارية المفترضة للنموذج. يعد النهج الأخير تعديلًا لمقام معادلة التوحيد ليأخذ في الاعتبار الارتباطات بدلاً من التباينات، مما يحول فعليًا كل من مصفوفات التباين الملاحظة والمفترضة إلى مصفوفات ارتباط. تلغي هذه التحويلة تأثير العناصر القطرية، مما يؤدي إلى اشتقاق مؤشر متميز يعرف باسم المتوسط الجذري للارتباط للبقايا (CRMR)، كما اقترح بولن (1989).
بالإضافة إلى ذلك، يذكر المؤلفون تعريفًا هجينًا يجمع بين توحيد بولن لعناصر التباين والمتوسط مع توحيد بنتلر لعناصر التباين، وهو الافتراضي في برنامج Mplus. يتم تقديم صيغة المتوسط الجذري المعياري للبقايا (SRMR*)، مع تسليط الضوء على مكوناته، التي تشمل مصطلحات للاختلافات بين عناصر التباين والمتوسط المعياري. من الجدير بالذكر أن المصطلحين الأول والثالث من المعادلة مقسومان على عناصر مصفوفة التباين المفترضة للنموذج، بينما يستمر المصطلح الأوسط في استخدام مصفوفة التباين للعينة، مما يوضح نهجًا دقيقًا للتوحيد في النمذجة الإحصائية.
نتائج
في قسم النتائج، تفحص الدراسة ملاءمة ثلاثة نماذج باستخدام مؤشرات المتوسط الجذري المعياري للبقايا (SRMR) المختلفة. تظهر جميع النماذج إحصائيات كاي تربيع ($\chi^2$) متطابقة، والتي تتجاوز القيم الحرجة لمستويات الدلالة التقليدية، مما يشير إلى ملاءمة ضعيفة للحظات العينة. تظهر مؤشرات SRMR، بما في ذلك توحيد بنتلر ($SRMR_V$, $SRMR_{VC}$) وتوحيد بولن-بنتلر الهجين ($SRMR^*_V$, $SRMR^*_{VC}$)، انخفاضات منهجية مع إضافة المتغيرات المساعدة، على الرغم من أن المتغيرات المساعدة لم تؤثر بشكل كبير على الحالة الأولية أو التغيير الخطي. يشير هذا إلى أن تضمين المتغيرات المساعدة يحسن ملاءمة النموذج من حيث SRMR، على الرغم من أن الأسباب الكامنة وراء هذه التغييرات تختلف.
تسلط التحليل الضوء أيضًا على التمييز بين تعريفات SRMR التي تأخذ في الاعتبار تأثيرات المتغيرات المساعدة وتلك التي لا تأخذها. بينما تبقى $SRMR_M$ و$SRMR^*_M$ مستقرة عبر النماذج بسبب تهميشها على المتغيرات المساعدة، يمكن أن تتباين $SRMR_R$ و$SRMR^*_R$ بناءً على مركزية المتغيرات المساعدة. تؤكد النتائج على أهمية تفسير مؤشرات SRMR بعناية، خاصة عند تقييم ملاءمة النموذج ودور المتغيرات المساعدة، حيث أن الانخفاض في قيم SRMR قد لا يشير بالضرورة إلى تحسينات جوهرية في أداء النموذج. هذا الفهم الدقيق ضروري للباحثين الذين يستخدمون SRMR لمقارنات النماذج أو تقييم مؤشرات الملاءمة.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون آثار استخدام المتوسط الجذري المعياري للبقايا (SRMR) في نمذجة المعادلات الهيكلية (SEM)، خاصة في سياق النماذج التي تحتوي على متغيرات مساعدة. يبدأون بتحديد دراسة محاكاة باستخدام Mplus الإصدار 8.10، والتي أنشأت بيانات من نموذج نمو خطي غير مشروط. كشفت الدراسة أن إضافة المتغيرات المساعدة غير المتغيرة زمنياً، التي theoretically ليس لها تأثير على النتيجة، أدت إلى تحسين غير بديهي في قيم SRMR، مما يشير إلى ملاءمة أفضل للنموذج على الرغم من كون المتغيرات المساعدة متنبئات فارغة. تثير هذه الفجوة مخاوف بشأن تفسير SRMR كمؤشر ملاءمة، خاصة عند تضمين المتغيرات المساعدة.
يستفيض المؤلفون في توضيح الأسس الرياضية لـ SRMR، مشيرين إلى أنه مشتق من البقايا لمصفوفة التباين المفترضة للنموذج مقارنة بمصفوفة التباين الملاحظة. يبرزون الحاجة إلى تعريف واضح لعدد المعلمات \( P \) عند وجود المتغيرات المساعدة، حيث يؤثر ذلك على حساب SRMR. تؤدي مواصفات مختلفة للنماذج التي تحتوي على متغيرات مساعدة – مشتركة مقابل شرطية، وثابتة مقابل عشوائية – إلى تباينات في كيفية حساب SRMR وتفسيره. يختتم القسم بالتأكيد على أهمية فهم هذه المواصفات لتقييم ملاءمة النموذج بدقة وإمكانية حدوث سوء تفسير عند استخدام SRMR في النماذج المعقدة.
DOI: https://doi.org/10.1017/psy.2024.10
Publication Date: 2025-01-03
Author(s): Daniel McNeish et al.
Primary Topic: Statistical Methods and Inference
Overview
The standardized root mean squared residual (SRMR) is a widely used metric for assessing the fit of latent variable models by quantifying the discrepancy between observed and implied covariance elements. However, traditional SRMR definitions do not adequately address the complexities introduced by covariates and overidentified mean structures in contemporary latent variable modeling. This paper aims to formalize SRMR definitions specifically for models that incorporate covariates, highlighting the need for clarity in their application.
The authors propose various SRMR definitions tailored to different model specifications that include covariates, examining the strengths and weaknesses of each approach. A critical finding is that certain SRMR definitions may be influenced by confounding factors such as model size, leading to systematically lower SRMR values that falsely indicate improved model fit when covariates are included, even when those covariates exert no significant effects. Consequently, the paper concludes that there is no singular, universally applicable SRMR definition for models with covariates. Researchers are therefore advised to be cognizant of the specific SRMR definition employed and the implications of the information it encompasses when reporting results.
Introduction
The introduction of the paper discusses the standardized root mean squared residual (SRMR) as a crucial metric for assessing the fit of structural equation models (SEMs). SRMR is favored over other fit indices like RMSEA and CFI due to its consistent interpretation, robustness in small sample sizes, and ability to account for sampling variability. However, the authors highlight a significant limitation: the traditional definition of SRMR is primarily applicable to factor analyses without covariates and does not adequately address models that incorporate mean structures or covariates. This oversight is critical, as many contemporary SEM applications involve mean structures and covariates, which can influence the SRMR calculation and its interpretation.
The paper aims to clarify the complexities surrounding SRMR definitions when covariates are included in models. It will explore various SRMR definitions, the implications of covariate specifications, and how these factors affect the evaluation of model fit. The authors emphasize the importance of understanding these nuances, especially as software tools like Mplus and lavaan provide SRMR outputs that may not align with user expectations or theoretical foundations. The structure of the paper is outlined, indicating a comprehensive examination of SRMR in the context of covariance structures, mean structures, and models with covariates, culminating in an empirical application to illustrate the discussed concepts.
Methods
In this section, the authors discuss alternative standardization methods for model-implied moments in statistical analysis. They contrast Bentler standardization, which utilizes sample standard deviations, with Bollen standardization, which employs model-implied standard deviations. The latter approach modifies the numerator of the standardization equation to account for correlations rather than covariances, effectively transforming both observed and implied covariance matrices into correlation matrices. This transformation eliminates the influence of diagonal terms, leading to the derivation of a distinct index known as the correlation root mean square residual (CRMR), as proposed by Bollen (1989).
Additionally, the authors mention a hybrid definition that combines Bollen standardization for covariance and mean elements with Bentler standardization for variance elements, which is the default in Mplus software. The formula for the standardized root mean square residual (SRMR*) is presented, highlighting its components, which include terms for the differences between standardized covariance and mean elements. Notably, the first and third terms of the equation are divided by elements of the model-implied covariance matrix, while the middle term continues to use the sample covariance matrix, illustrating a nuanced approach to standardization in statistical modeling.
Results
In the results section, the study examines the fit of three models using various standardized root mean square residual (SRMR) indices. All models exhibit identical chi-squared ($\chi^2$) statistics, which exceed critical values for conventional significance levels, indicating a poor fit to the sample moments. The SRMR indices, including Bentler-standardized ($SRMR_V$, $SRMR_{VC}$) and hybrid Bollen-Bentler standardized ($SRMR^*_V$, $SRMR^*_{VC}$), show systematic decreases as covariates are added, despite the covariates not significantly affecting initial status or linear change. This suggests that the inclusion of covariates improves the model fit in terms of SRMR, although the underlying reasons for these changes vary.
The analysis further highlights the distinction between the SRMR definitions that account for covariate effects and those that do not. While $SRMR_M$ and $SRMR^*_M$ remain stable across models due to their marginalization over covariates, $SRMR_R$ and $SRMR^*_R$ can diverge based on covariate centering. The findings emphasize the importance of interpreting SRMR indices carefully, particularly when assessing model fit and the role of covariates, as the decrease in SRMR values may not necessarily indicate substantive improvements in model performance. This nuanced understanding is crucial for researchers utilizing SRMR for model comparisons or evaluations of fit indices.
Discussion
In this section, the authors discuss the implications of using the Standardized Root Mean Square Residual (SRMR) in structural equation modeling (SEM), particularly in the context of models with covariates. They begin by outlining a simulation study using Mplus Version 8.10, which generated data from an unconditional linear growth model. The study revealed that adding time-invariant covariates, which theoretically have no effect on the outcome, led to a counterintuitive improvement in SRMR values, suggesting a better model fit despite the covariates being null predictors. This discrepancy raises concerns about the interpretation of SRMR as a fit index, especially when covariates are included.
The authors further elaborate on the mathematical foundations of SRMR, noting that it is derived from the residuals of the model-implied covariance matrix compared to the observed covariance matrix. They highlight the need for a clear definition of the parameter count \( P \) when covariates are present, as this affects the calculation of SRMR. Different specifications for models with covariates—joint versus conditional, and fixed versus stochastic—lead to variations in how SRMR is computed and interpreted. The section concludes by emphasizing the importance of understanding these specifications to accurately assess model fit and the potential for misinterpretation when using SRMR in complex models.