DOI: https://doi.org/10.1002/mma.70696
تاريخ النشر: 2026-03-27
المؤلف: Esra Güldoğan Lekesız
الموضوع الرئيسي: الدوال الرياضية والمتعددات الحدود
نظرة عامة
في هذه الدراسة، يستنتج المؤلفون زوجًا من الحدود الثنائية المحدودة المستوحاة من الحدود المتعامدة الأحادية المحدودة التي يشار إليها بـ \( M_{n}^{(p,q)}(x) \). يثبتون العلاقة الثنائية المتعامدة المقابلة ويقدمون العديد من الخصائص المفيدة، بما في ذلك معادلة تفاضلية ختامية ودالة مولدة لهذه الحدود.
بالإضافة إلى ذلك، يقدم البحث عائلة جديدة من الدوال الثنائية المحدودة، والتي يتم الحصول عليها من خلال تطبيق تحويل فورييه وهوية بارسيفال. كما يحسب المؤلفون تحويل لابلاس ويستكشفون مشغلات حساب التفاضل الكسري للحدود \( M_{n}^{(p, q, \nu; x)} \)، مما يوسع الإطار النظري المحيط بهذه البنى الرياضية.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة التطور التاريخي وأهمية الحدود الثنائية المتعامدة، متتبعة أصولها إلى الأعمال المبكرة لديدون وديرويتس. لقد وجدت هذه الحدود تطبيقات عبر مجالات مختلفة، بما في ذلك الرياضيات والفيزياء، وخاصة في ميكانيكا الكم والإلكتروستاتيكا. يبرز المؤلفون تطور نظرية الحدود الثنائية المتعامدة، مشيرين إلى أنها تشمل الحدود المتعامدة الكلاسيكية كحالة خاصة. تشمل الأمثلة الرئيسية حدود كونهاوزر، التي تتعلق بحدود لاجيري، وارتباطها بحدود جاكوب.
كما يحدد القسم التعريفات الأساسية والنظريات المتعلقة بالحدود الثنائية المتعامدة، مع التأكيد على خصائصها وعلاقاتها مع دوال الوزن. ومن الجدير بالذكر أنه يقدم حدود ثنائية جديدة محدودة، يشار إليها بـ \( M_n(p, q, \nu; x) \)، مستوحاة من الحدود المتعامدة المحدودة الموجودة. يؤكد المؤلفون أن هذا العمل يوسع مفهوم النهاية إلى الحدود الثنائية المتعامدة للمرة الأولى، مما يثبت الروابط مع حدود جاكوب ويقدم العديد من الخصائص، بما في ذلك علاقات التكرار والدوال المولدة. بالإضافة إلى ذلك، تستكشف الورقة تحويل فورييه لهذه الحدود، مما يؤدي إلى اشتقاق عائلة جديدة من الدوال الثنائية المحدودة.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون زوجًا جديدًا من الحدود الثنائية المحدودة، يشار إليه بـ \( M_n(p, q, \nu; x) \) و \( M_n(p, q, \nu; x) \)، المستمدة من الحدود المتعامدة الأحادية المحدودة \( M(p,q)_n(x) \). تلبي هذه الحدود شروطًا معينة من الثنائية المتعامدة بالنسبة لدالة الوزن \( x^q (1 + x)^{-(p+q)} \)، مما يثبت خصائصها المتعامدة لـ \( p > (\nu + 1) N + 1 \) و \( q > -1 \). كما يبرز المؤلفون أنه بالنسبة لـ \( \nu = 1 \)، فإن هذه الحدود تتقلص إلى الحدود المتعامدة الأحادية المحدودة الكلاسيكية.
تستكشف الورقة أيضًا العلاقات بين هذه الحدود الثنائية المتعامدة والحدود المتعامدة الكلاسيكية، مثل حدود جاكوب وحدود لاجيري، من خلال تمثيلات تكاملية وتشغيلية متنوعة. ومن الجدير بالذكر أن المؤلفين يستنتجون دوال مولدة، وعلاقات تكرار، ومعادلات تفاضلية التي تلبيها الحدود، مما يوضح أهميتها الرياضية. تختتم الدراسة بالتأكيد على الإمكانية للبحث المستقبلي في خصائص وتطبيقات هذه الحدود الثنائية المحدودة، بما في ذلك التمديدات إلى q-analog والأشكال متعددة المتغيرات.
DOI: https://doi.org/10.1002/mma.70696
Publication Date: 2026-03-27
Author(s): Esra Güldoğan Lekesız
Primary Topic: Mathematical functions and polynomials
Overview
In this study, the authors derive a pair of finite univariate biorthogonal polynomials inspired by the finite univariate orthogonal polynomials denoted as \( M_{n}^{(p,q)}(x) \). They establish the corresponding biorthogonality relation and present several useful properties, including a concluding differential equation and a generating function for these polynomials.
Additionally, the research introduces a new family of finite biorthogonal functions, which is obtained through the application of Fourier transform and Parseval’s identity. The authors also compute the Laplace transform and explore fractional calculus operators for the polynomials \( M_{n}^{(p, q, \nu; x)} \), thereby expanding the theoretical framework surrounding these mathematical constructs.
Introduction
The introduction of the paper discusses the historical development and significance of biorthogonal polynomials, tracing their origins to early works by Didon and Deruyts. These polynomials have found applications across various fields, including mathematics and physics, particularly in quantum mechanics and electrostatics. The authors highlight the evolution of biorthogonal polynomial theory, noting that it encompasses classical orthogonal polynomials as a special case. Key examples include the Konhauser polynomials, which relate to Laguerre polynomials, and their connection to Jacobi polynomials.
The section also outlines foundational definitions and theorems related to biorthogonal polynomials, emphasizing their properties and relationships with weight functions. Notably, it introduces new finite biorthogonal polynomials, denoted as \( M_n(p, q, \nu; x) \), inspired by existing finite orthogonal polynomials. The authors assert that this work extends the concept of finitude to biorthogonal polynomials for the first time, establishing connections to Jacobi polynomials and introducing several properties, including recurrence relations and generating functions. Additionally, the paper explores the Fourier transform of these polynomials, leading to the derivation of a new family of finite biorthogonal functions.
Discussion
In this section, the authors introduce a new pair of finite biorthogonal polynomials, denoted as \( M_n(p, q, \nu; x) \) and \( M_n(p, q, \nu; x) \), derived from finite univariate orthogonal polynomials \( M(p,q)_n(x) \). These polynomials satisfy specific biorthogonality conditions with respect to the weight function \( x^q (1 + x)^{-(p+q)} \), establishing their orthogonal properties for \( p > (\nu + 1) N + 1 \) and \( q > -1 \). The authors also highlight that for \( \nu = 1 \), these polynomials reduce to the classical finite univariate orthogonal polynomials.
The paper further explores the relationships between these biorthogonal polynomials and classical orthogonal polynomials, such as Jacobi and Laguerre polynomials, through various integral and operational representations. Notably, the authors derive generating functions, recurrence relations, and differential equations that the polynomials satisfy, demonstrating their mathematical significance. The study concludes by emphasizing the potential for future research into the properties and applications of these finite biorthogonal polynomials, including extensions to q-analogs and multivariate forms.