DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-97502-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40221511
تاريخ النشر: 2025-04-12
المؤلف: Sanjay Bhatter وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة نموذجًا وبائيًا لمرض السل (TB) في الصين، باستخدام مشتق كابوتو من الرتبة الكسرية لأخذ تأثيرات الذاكرة في ديناميات انتقال المرض في الاعتبار. يتم التحقق من صحة النموذج بدقة، مما يضمن خصائص مثل عدم السلبية، والحدود، والوجود، والتفرد للحلول. يكشف تقدير المعلمات عن رتبة كسرية مثالية تبلغ حوالي $\phi = 0.93$، مما يشير إلى أن النماذج ذات الرتبة الكسرية يمكن أن تمثل ديناميات السل بدقة أكبر مقارنة بالنماذج التقليدية ذات الرتبة الصحيحة. يبرز تحليل الحساسية لعدد التكاثر الأساسي ($R_0 = 1.291$) التأثير الكبير للمعلمات مثل معدل العدوى بين كبار السن ($\gamma_3$)، ومعدل الشفاء ($r$)، ومعدل الوفيات بين كبار السن ($m_3$) على انتقال المرض.
تظهر المحاكاة العددية التي أجريت باستخدام طريقة آدامز-باشفورث-مولتون أن النموذج ذو الرتبة الكسرية يحقق خطأ متوسط الجذر التربيعي (RMSE) قدره $5.89 \times 10^5$، مما يعكس تحسينًا بنسبة 28.6% في الدقة مقارنة بالنموذج ذو الرتبة الصحيحة ($RMSE = 8.24 \times 10^5$). تؤكد هذه النتائج فعالية النماذج ذات الرتبة الكسرية في التحليل الوبائي، مما يوفر نهجًا مصقولًا لنمذجة الأمراض المعدية وإبلاغ استراتيجيات الصحة العامة. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية استكشاف مشغلين كسرين متقدمين واستخدام مجموعات بيانات متنوعة لتعزيز قابلية تطبيق النموذج ودقته.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون صياغة وتحليل نموذج السل (TB) ذو الرتبة الكسرية الذي يوسع النماذج التقليدية ذات الرتبة الصحيحة من خلال دمج المشتق الكسرى لكابوتو. يصنف النموذج السكان المضيفين إلى أربع مجموعات وبائية: المعرضون (S)، والمكشوفون (A)، والمصابون (I)، والمتعافون (R)، مع تقسيم المجموعة المعرضة إلى ثلاث فئات عمرية. يدمج النموذج استراتيجيتين للتحكم في السل في الصين: برنامج العلاج المراقب مباشرة، قصير المدى (DOTS) وبرنامج التطعيم ضد بكتيريا كالميت-غيرين (BCG). يتم تحويل النظام الناتج من المعادلات التفاضلية العادية (ODEs) إلى نظام ذو رتبة كسرية، مما يسمح بالتقاط تأثيرات الذاكرة والسلوكيات غير المحلية التي تعتبر مهمة في ديناميات السل.
يؤكد المؤلفون عدم سلبية ووجود حدود لحلول النموذج، مثبتين أن جميع الحلول تبقى إيجابية مع مرور الوقت. يطبقون نظرية انكماش باناش لإثبات وجود وتفرد الحلول تحت ظروف ابتدائية غير سلبية. يتم اشتقاق عدد التكاثر الأساسي، \( R_0 \)، لتقييم الإمكانية لانتقال المرض، مما يشير إلى أن \( R_0 < 1 \) يؤدي إلى انقراض المرض، بينما \( R_0 > 1 \) يشير إلى استمرار الانتقال. يتم إجراء تقدير المعلمات باستخدام طريقة المربعات الصغرى، مما يكشف أن النموذج ذو الرتبة الكسرية (مع رتبة مثالية تبلغ \( \phi = 0.93 \)) يوفر ملاءمة أفضل للبيانات المرصودة عن السل مقارنة بالنماذج التقليدية ذات الرتبة الصحيحة، كما يتضح من انخفاض خطأ متوسط الجذر التربيعي (RMSE). تؤكد النتائج مزايا النمذجة ذات الرتبة الكسرية في التقاط ديناميات انتقال السل والتحكم فيها بدقة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-97502-5
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40221511
Publication Date: 2025-04-12
Author(s): Sanjay Bhatter et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This study presents an epidemiological model for tuberculosis (TB) in China, utilizing the Caputo fractional-order derivative to account for memory effects in disease transmission dynamics. The model is rigorously validated, ensuring properties such as non-negativity, boundedness, existence, and uniqueness of solutions. Parameter estimation reveals an optimal fractional order of approximately $\phi = 0.93$, indicating that fractional-order models can more accurately represent TB dynamics compared to traditional integer-order models. Sensitivity analysis of the basic reproduction number ($R_0 = 1.291$) highlights the significant influence of parameters like the senior infection rate ($\gamma_3$), recovery rate ($r$), and senior mortality rate ($m_3$) on disease transmission.
Numerical simulations conducted using the Adams-Bashforth-Moulton method demonstrate that the fractional-order model achieves a root mean square error (RMSE) of $5.89 \times 10^5$, reflecting a 28.6% improvement in accuracy over the integer-order model ($RMSE = 8.24 \times 10^5$). These findings underscore the efficacy of fractional-order models in epidemiological analysis, offering a refined approach for modeling infectious diseases and informing public health strategies. Future research directions include exploring advanced fractional operators and employing diverse datasets to enhance model applicability and accuracy.
Discussion
In this section, the authors discuss the formulation and analysis of a fractional-order tuberculosis (TB) model that extends traditional integer-order models by incorporating the Caputo fractional derivative. The model categorizes the host population into four epidemiological groups: susceptible (S), exposed (A), infected (I), and recovered (R), with the susceptible group further divided into three age categories. The model integrates two control strategies for TB management in China: the Directly Observed Treatment, Short-Course (DOTS) program and the Bacillus Calmette-Guérin (BCG) vaccination program. The resulting system of ordinary differential equations (ODEs) is transformed into a fractional-order system, allowing for the capture of memory effects and non-local behaviors that are significant in TB dynamics.
The authors establish the non-negativity and boundedness of the model’s solutions, proving that all solutions remain positive over time. They apply the Banach contraction theorem to demonstrate the existence and uniqueness of solutions under non-negative initial conditions. The basic reproduction number, \( R_0 \), is derived to assess the potential for disease transmission, indicating that \( R_0 < 1 \) leads to disease extinction, while \( R_0 > 1 \) suggests ongoing transmission. Parameter estimation is performed using the least squares method, revealing that the fractional-order model (with an optimal order of \( \phi = 0.93 \)) provides a better fit to observed TB data compared to classical integer-order models, as evidenced by a lower root mean square error (RMSE). The findings underscore the advantages of fractional-order modeling in accurately capturing the dynamics of TB transmission and control.