DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-025-03259-w
تاريخ النشر: 2025-02-03
المؤلف: Muhammad Imran وآخرون
الموضوع الرئيسي: عدم المساواة الرياضية والتطبيقات
نظرة عامة
تستكشف هذه المقالة عدم المساواة التكاملية هيرميت-هادامارد الكسرية من خلال استخدام مشتقات كابوتو الكسرية والدوال المحدبة الممتدة. يقترح المؤلفون تعديلات على نسختين كلاسيكيتين معروفتين من عدم المساواة هيرميت-هادامارد الكسرية الممتدة، مع التركيز على تمديد الدوال المحدبة. بالإضافة إلى ذلك، يستخلصون تحسينات لعدة عدم مساواة، بما في ذلك أنواع فيجير-هادامارد، والشكل شبه المنحرف، ونقطة المنتصف، من خلال تطبيق هويات تتعلق بمشتقات كابوتو الكسرية.
تساهم النتائج في المجال من خلال تقديم كل من التعميمات والتحسينات على عدم المساواة المعروفة سابقًا، مما يوضح فعالية استخدام الدوال المحدبة الممتدة في تحسين هذه عدم المساواة التكاملية. تؤكد الأبحاث على إمكانيات حساب التفاضل والتكامل الكسرية في تعزيز عدم المساواة الرياضية وتطبيقاتها.
مقدمة
تؤكد مقدمة الورقة على الدور الأساسي للدوال ذات القيم الحقيقية في دراسة الدوال المحدبة وتطوير عدم المساواة في التحليل الحقيقي. تبرز الاهتمام الكبير في عدم المساواة العامة وتطبيقاتها عبر مجالات رياضية متنوعة، مشيرة إلى أن نظرية عدم المساواة أصبحت أداة حاسمة للبحث. يجادل المؤلفون بأن فهم الدوال المحدبة يمكن أن يتم من منظور هندسي، ومع ذلك، يهدفون إلى تقديم المادة بطريقة تكون متاحة للقراء الأكثر دراية بالتحليل من الهندسة.
تناقش هذه القسم أيضًا المساهمات التاريخية للرياضيين مثل جنسن، هيرميت، هولدر، وستولز في مجال الدوال المحدبة وعدم المساواة. تذكر أهمية عدم المساواة من نوع هيرميت-هادامارد في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية، لا سيما فيما يتعلق بحساب التفاضل والتكامل الكسرية. يحدد المؤلفون التقدمات الأخيرة في المشتقات والتكاملات الكسرية، والتي أثارت منهجيات جديدة لمعالجة المشكلات المعقدة في مجالات متنوعة. تمهد المقدمة الطريق للنتائج الرئيسية المقدمة في الورقة، والتي تركز على التحسينات في عدم المساواة التكاملية الكسرية التي تتضمن مشتقات كابوتو الكسرية والدوال المحدبة الممتدة.
نقاش
في قسم النقاش من الورقة، يتم تقديم عدة تعريفات رئيسية تتعلق بالدوال المحدبة، والتي تشكل المصطلحات الأساسية للتحليلات اللاحقة. يتم تعريف دالة محدبة كلاسيكية $\zeta : I \to \mathbb{R}$ من خلال عدم المساواة $\zeta(\sigma a_1 + \eta b_1) \leq \sigma \zeta(a_1) + \eta \zeta(b_1)$ لـ $a_1, b_1 \in I \subseteq \mathbb{R}$ و $\sigma, \eta \in [0, 1]$ مع $\sigma + \eta = 1$. يقدم القسم أيضًا مفهوم الدوال المحدبة المثلثية الأسية والدوال اللوغاريتمية المحدبة، كل منها يتميز بعدم مساواة محددة تتعلق بالتحولات المثلثية واللوغاريتمية، على التوالي.
علاوة على ذلك، تمتد التعريفات إلى حساب التفاضل والتكامل الكسرية، موضحة التكاملات الكسرية ريمان-ليوفيلي ومشتقات كابوتو، والتي تعتبر أساسية لتحليل الورقة. يستنتج المؤلفون أنه من خلال استخدام نوعين من الدوال المحدبة الممتدة، تمكنوا بنجاح من تحسين عدة عدم مساواة تكاملية كسرية، بما في ذلك تلك الخاصة بهيرميت-هادامارد، والشكل شبه المنحرف، ونقطة المنتصف، وأنواع فيجير، باستخدام مشتقات كابوتو الكسرية. يبرز هذا التقدم التفاعل بين تحليل الدوال المحدبة وحساب التفاضل والتكامل الكسرية، مما يقدم رؤى جديدة حول خصائص هذه البنى الرياضية.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-025-03259-w
Publication Date: 2025-02-03
Author(s): Muhammad Imran et al.
Primary Topic: Mathematical Inequalities and Applications
Overview
This article investigates fractional Hermite-Hadamard integral inequalities by employing fractional Caputo derivatives and extended convex functions. The authors propose modifications to two established classical fractional extended versions of the Hermite-Hadamard inequalities, focusing on the extensions of convex functions. Additionally, they derive refinements of several inequalities, including the Fejér-Hadamard, trapezoidal, and midpoint types, through the application of identities related to Caputo fractional derivatives.
The findings contribute to the field by providing both generalizations and enhancements of previously known inequalities, demonstrating the effectiveness of utilizing extended convex functions in refining these integral inequalities. The research underscores the potential of fractional calculus in advancing mathematical inequalities and their applications.
Introduction
The introduction of the paper emphasizes the foundational role of real-valued functions in the study of convex functions and the development of inequalities in real analysis. It highlights the significant interest in generalized inequalities and their applications across various mathematical fields, noting that the theory of inequalities has become a crucial tool for research. The authors argue that understanding convex functions can be approached geometrically, yet they aim to present the material in a way that is accessible to readers more familiar with analysis than geometry.
The section also discusses the historical contributions of mathematicians such as Jensen, Hermite, Hölder, and Stolz to the field of convex functions and inequalities. It mentions the relevance of Hermite-Hadamard type inequalities in both pure and applied mathematics, particularly in relation to fractional calculus. The authors outline recent advancements in fractional derivatives and integrals, which have spurred new methodologies for addressing complex problems in various domains. The introduction sets the stage for the main results presented in the paper, which focus on improvements in fractional integral inequalities involving Caputo fractional derivatives and extended convex functions.
Discussion
In the discussion section of the paper, several key definitions related to convex functions are presented, which form the foundational terminology for the subsequent analyses. A classical convex function $\zeta : I \to \mathbb{R}$ is defined by the inequality $\zeta(\sigma a_1 + \eta b_1) \leq \sigma \zeta(a_1) + \eta \zeta(b_1)$ for $a_1, b_1 \in I \subseteq \mathbb{R}$ and $\sigma, \eta \in [0, 1]$ with $\sigma + \eta = 1$. The section also introduces the concept of exponential trigonometric convex functions and log-convex functions, each characterized by specific inequalities involving trigonometric and logarithmic transformations, respectively.
Furthermore, the definitions extend to fractional calculus, detailing the Riemann-Liouville fractional integrals and Caputo derivatives, which are essential for the paper’s analysis. The authors conclude that by employing two types of extended convex functions, they successfully refined various fractional integral inequalities, including those of Hermite-Hadamard, trapezoidal, midpoint, and Fejér types, utilizing Caputo fractional derivatives. This advancement highlights the interplay between convex analysis and fractional calculus, offering new insights into the properties of these mathematical constructs.