DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025837
تاريخ النشر: 2025-01-01
المؤلف: Hassan Eid Elghaly وآخرون
الموضوع الرئيسي: تقدير التوزيع الإحصائي وتطبيقاته
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة توزيع ويبول المعمم للقوة الموحدة (UPGWD)، وهو امتداد مبتكر لتوزيع ويبول الموحد، تم تحقيقه من خلال تحويل أسي عكسي لتوزيع ويبول المعمم للقوة. يظهر UPGWD مرونة كبيرة، حيث يمكن أن تعرض دالة كثافة الاحتمال الخاصة به أشكالًا متنوعة، مثل الأشكال الثابتة، وشكل حوض الاستحمام، وشكل أحادي القمة، والأشكال على شكل حرف J. يمكن أن تأخذ دالة المخاطر الخاصة بـ UPGWD أيضًا أشكالًا متزايدة على شكل حرف J وأشكال حوض الاستحمام. تقدم الدراسة خصائص إحصائية وموثوقية أساسية لـ UPGWD وتستخدم تقدير الاحتمالية القصوى (MLE) لتحديد معاييره، والتي تم التحقق منها من خلال محاكاة مونت كارلو.
توضح التطبيقات التجريبية لـ UPGWD باستخدام أربعة مجموعات بيانات حقيقية تتعلق بـ COVID-19، والموثوقية، والهندسة، والإشعاع. تشير النتائج إلى أن UPGWD يتفوق على توزيعات ويبول الموحدة الحالية، بما في ذلك ويبول الموحد وبدائل أخرى، في ملاءمة هذه المجموعات من البيانات. تؤكد النتائج على إمكانية UPGWD كنموذج قوي ثلاثي المعلمات مناسب للبيانات المتنوعة والمائلة، لا سيما في السياقات الوبائية حيث تكون بيانات العدوى الأولية حاسمة للتنبؤ. تسهم هذه الأبحاث في الأدبيات المتعلقة بتوزيعات الاحتمالات من خلال تقديم توزيع موحد جديد قد يعمل كبديل للنماذج المعروفة، مع خطط للدراسات المستقبلية لاستكشاف طرق تقدير إضافية وتطبيقات عبر مجالات مختلفة.
مقدمة
في مقدمة هذه الورقة البحثية، يسلط المؤلفون الضوء على التحدي الشامل عبر مختلف علوم الحياة والمجالات التطبيقية – تحديد توزيعات الاحتمالات المناسبة لنمذجة الظواهر المعقدة في العالم الحقيقي. غالبًا ما تفشل التوزيعات التقليدية في تمثيل البيانات بشكل كافٍ، لا سيما تلك المقيدة ضمن الفترة (0، 1)، مثل معدلات الوفيات والنسب. لقد دفعت هذه القصور الإحصائيين إلى تطوير توزيعات احتمالية جديدة تعزز من قدرات الملاءمة لهذه البيانات المحدودة، كما يتضح من تقديم نماذج مثل توزيعات توب-ليون وكوماراسوامي، التي تقدم دوال توزيع تراكمي (CDF) أكثر قابلية للإدارة مقارنة بتوزيع بيتا الكلاسيكي.
على الرغم من التقدم في التوزيعات الموحدة، لا يزال العديد منها يظهر قيودًا، مثل سلوك الذيل المقيد وعدم القدرة على التعبير عن دوال كثافة الاحتمال (PDFs) ودوال الكمية (QFs) في أشكال مغلقة. لمعالجة هذه القضايا، يقترح المؤلفون امتدادًا مرنًا لتوزيع ويبول الموحد (UW)، والذي تم تصميمه لالتقاط مجموعة أوسع من أنماط البيانات من خلال دالة PDF وخصائص دالة المخاطر المتنوعة. يتم التحقق من صحة النموذج المقترح من خلال تقدير الاحتمالية القصوى (MLE) وتحليلات المحاكاة، مما يوضح فعاليته في نمذجة مجموعات البيانات في العالم الحقيقي. يحدد الورقة هيكلها، موضحة الأقسام اللاحقة التي ستتناول صياغة النموذج، ومقاييس الموثوقية، والميزات الإحصائية، والتطبيقات العملية، مما يسهم بشكل كبير في الأدبيات الإحصائية ويقدم أداة قوية لتحليل البيانات.
مناقشة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون توزيع ويبول المعمم للقوة الموحدة (UPGWD)، وهو امتداد جديد لتوزيع ويبول المعمم للقوة (PGWD) الذي اقترحه ديميتراكوبولوس وآخرون. يتميز UPGWD بدالة التوزيع التراكمي (CDF) المعطاة بواسطة
\[
F(v; \theta) = e^{1 – (1 + \lambda (-\ln v)^\alpha)^\beta}, \quad v \in (0, 1), \quad \alpha, \beta, \lambda > 0.
\]
يظهر المؤلفون أن هذه CDF تزداد بشكل صارم لـ \(v \in (0, 1)\)، مما يضمن أنها تلبي خصائص CDF المستمرة. يتم أيضًا اشتقاق دالة كثافة الاحتمال (PDF)، مما يعرض مرونة UPGWD في نمذجة توزيعات البيانات المختلفة، بما في ذلك الأشكال الثابتة، وشكل حوض الاستحمام، والشكل أحادي القمة، والأشكال على شكل حرف J. تعزز قدرة UPGWD على التقلص إلى خمسة توزيعات معروفة من خلال ضبط معاييره من قابليتها للتطبيق في مجالات مثل البحث الطبي وهندسة الموثوقية.
يناقش القسم أيضًا العديد من مقاييس الموثوقية المرتبطة بـ UPGWD، بما في ذلك دالة البقاء، ودالة معدل المخاطر، ودالة الاحتمالات، والتي تعتبر حاسمة لتحليل البقاء وتقييمات الموثوقية. من الجدير بالذكر أن دالة معدل المخاطر تظهر خصائص على شكل حرف J وحوض الاستحمام، وهي مهمة لنمذجة عمر المكونات أو الأنظمة. يؤكد المؤلفون على التعبيرات المغلقة لـ UPGWD لدالة PDF وCDF، مما يسهل اشتقاق الخصائص الإحصائية ويعزز من فائدتها في المحاكاة وتطبيقات الهيدرولوجيا. تشير التحقق التجريبي من UPGWD مقابل التوزيعات الموجودة إلى أدائها المتفوق في نمذجة مجموعات البيانات في العالم الحقيقي، مما يبرز إمكانياتها كأداة قوية في التحليل الإحصائي.
DOI: https://doi.org/10.3934/math.2025837
Publication Date: 2025-01-01
Author(s): Hassan Eid Elghaly et al.
Primary Topic: Statistical Distribution Estimation and Applications
Overview
This study presents the unit power generalized Weibull distribution (UPGWD), an innovative extension of the unit Weibull distribution, achieved through an inverse exponential transformation of the power generalized Weibull distribution. The UPGWD demonstrates considerable flexibility, with its probability density function capable of exhibiting various shapes, such as constant, bathtub, unimodal, and J-shaped configurations. The hazard function of the UPGWD can also take on increasing J-shaped and bathtub forms. The study introduces essential statistical and reliability properties of the UPGWD and employs maximum likelihood estimation (MLE) to determine its parameters, validated through a Monte Carlo simulation.
The empirical applications of the UPGWD are illustrated using four real-world datasets related to COVID-19, reliability, engineering, and radiation. The results indicate that the UPGWD outperforms existing unit Weibull distributions, including the unit Weibull and other variants, in fitting these datasets. The findings underscore the UPGWD’s potential as a robust three-parameter model suitable for diverse, skewed data, particularly in epidemiological contexts where initial contagion data are critical for forecasting. This research contributes to the literature on probability distributions by introducing a novel unit distribution that may serve as an alternative to established models, with plans for future studies to explore additional estimation methods and applications across various fields.
Introduction
In the introduction of this research paper, the authors highlight the pervasive challenge across various life sciences and applied fields—identifying appropriate probability distributions to model complex real-world phenomena. Traditional distributions often fail to adequately represent data, particularly those constrained within the (0, 1) interval, such as mortality rates and proportions. This inadequacy has prompted statisticians to develop novel probability distributions that enhance the fitting capabilities for such bounded data, exemplified by the introduction of models like the Topp-Leone and Kumaraswamy distributions, which offer more manageable cumulative distribution functions (CDFs) compared to the classical beta distribution.
Despite the advancements in unit distributions, many still exhibit limitations, such as restricted tail behavior and the inability to express probability density functions (PDFs) and quantile functions (QFs) in closed forms. To address these issues, the authors propose a flexible extension of the unit Weibull distribution (UW), which is designed to capture a wider range of data patterns through its versatile PDF and hazard function configurations. The proposed model is validated through maximum likelihood estimation (MLE) and simulation analyses, demonstrating its effectiveness in modeling real-world datasets. The paper outlines its structure, detailing subsequent sections that will cover model formulation, reliability metrics, statistical features, and practical applications, thereby contributing significantly to the statistical literature and offering a robust tool for data analysis.
Discussion
In this section, the authors introduce the unit power generalized Weibull distribution (UPGWD), a novel extension of the power generalized Weibull distribution (PGWD) proposed by Dimitrakopoulou et al. The UPGWD is characterized by its cumulative distribution function (CDF) given by
\[
F(v; \theta) = e^{1 – (1 + \lambda (-\ln v)^\alpha)^\beta}, \quad v \in (0, 1), \quad \alpha, \beta, \lambda > 0.
\]
The authors demonstrate that this CDF is strictly increasing for \(v \in (0, 1)\), ensuring it meets the properties of a continuous CDF. The probability density function (PDF) is also derived, showcasing the flexibility of the UPGWD in modeling various data distributions, including constant, bathtub, unimodal, and J-shaped forms. The UPGWD’s ability to reduce to five well-known distributions by adjusting its parameters further enhances its applicability in fields such as medical research and reliability engineering.
The section also discusses several reliability measures associated with the UPGWD, including the survival function, hazard rate function, and odds function, which are crucial for survival analysis and reliability assessments. Notably, the hazard rate function exhibits J-shaped and bathtub characteristics, which are significant for modeling the lifespan of components or systems. The authors emphasize the UPGWD’s closed-form expressions for its PDF and CDF, facilitating the derivation of statistical properties and enhancing its utility in simulations and hydrology applications. The empirical validation of the UPGWD against existing distributions indicates its superior performance in modeling real-world datasets, underscoring its potential as a robust tool in statistical analysis.