DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-16599-w
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40836027
تاريخ النشر: 2025-08-21
المؤلف: Lalchand Verma وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة البحثية نموذج وبائي مشترك SIR-SI لتحليل ديناميات انتقال حمى الضنك، مع دمج إطار العمل القابل للإصابة-المصاب-المتعافي (SIR) للبشر وإطار العمل القابل للإصابة-المصاب (SI) للبعوض. يتم التعبير عن النموذج كنظام من المعادلات التفاضلية غير الخطية، معززة من خلال دمج مشتقات كابوتو من الرتبة الكسرية لأخذ تأثيرات الذاكرة في انتقال المرض في الاعتبار. تبحث الدراسة بدقة في نقاط التوازن الخالية من المرض والتوازن المستوطن، وتقييم الاستقرار المحلي والعالمي، وتستخرج رقم التكاثر الأساسي، $R_0$. تحدد تحليل الحساسية المعلمات الرئيسية التي تؤثر على ديناميات الانتقال، ويتم إثبات وجود وحيدة الحلول بدقة. يتم إجراء تقريب عددي باستخدام طريقة متعددات الحدود لاغرانج ذات الخطوتين، مما يكشف أن النهج من الرتبة الكسرية يوفر رؤى أعمق في ديناميات انتقال حمى الضنك.
تشير النتائج إلى أن النموذج من الرتبة الكسرية يؤدي إلى انخفاض ذروة الإصابة، مما يتماشى بشكل أقرب مع البيانات التجريبية، وبالتالي يظهر فعاليته في التقاط تعقيدات ديناميات المرض. تؤكد الدراسة على أهمية تأثيرات الذاكرة في النمذجة الوبائية وتقترح أن البحث المستقبلي يمكن أن يوسع النموذج ليشمل أنواع إضافية من حمى الضنك، وعوامل المناخ، والبيانات الواقعية. قد يؤدي دمج الديناميات العشوائية أو المكانية والأوامر الكسرية المعتمدة على الزمن إلى تعزيز واقعية النموذج، مما يحسن دقة التنبؤ ويعزز استراتيجيات الصحة العامة للوقاية من حمى الضنك.
النتائج
تقدم قسم النتائج حلول عددية لمعاملات النموذج، تحديدًا $\alpha = 0.00004$، $\beta = 0.009191$، $\gamma = 0.3333$، $\delta = 0.375$، $\mu = 0.083333$، مع السكان الأوليين $x(0) = 0.9999$، $y(0) = 0.0006$، و$z(0) = 0.056$. تشير التحليلات المقارنة مع القيم المرجعية إلى درجة عالية من الدقة في الطريقة المقترحة، كما هو موضح في الجدول 2، الذي يتضمن الأخطاء المطلقة $E_x$، $E_y$، و$E_z$. يتم توضيح سلوك النموذج بشكل أكبر في الشكل 3، حيث يُلاحظ أن سكان الأفراد القابلين للإصابة والمصابين يزدادون مع انخفاض قيم الرتبة الكسرية، بينما $x(t)$ ينخفض مع مرور الوقت، مستقرًا بعد 50 يومًا.
تستكشف الأشكال 4 إلى 8 ديناميات النموذج تحت أوامر كسرية وتأثيرات المعلمات المتغيرة. من الجدير بالذكر أن الأشكال 6 و7 تظهر أن الزيادات في المعلمات $\beta$ و$\delta$ تؤدي إلى انخفاض في عدد السكان القابلين للإصابة، بينما يرتفع عدد السكان المصابين والمتعافين. الشكل 8 يفحص تأثير المعلمة $\mu$ على سلوك النموذج لأوامر كسرية $\kappa = 0.90$ و$1.00$. بشكل عام، تؤكد النتائج على قوة النموذج وحساسيته لتغيرات المعلمات، مما يساهم في تقديم رؤى قيمة حول ديناميات السكان المعنيين.
المناقشة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون تحليلًا شاملاً لنموذج الوباء SIR-SI، الذي يدمج ديناميات سكان البشر والبعوض في سياق انتقال حمى الضنك. يحدد النموذج سكان البشر إلى فئات قابلة للإصابة (Sh)، مصابين (Ih)، ومتRecovered (Rh)، بينما يتم تصنيف سكان البعوض إلى فئات قابلة للإصابة (Sv) ومصابين (Iv). يقوم المؤلفون بصياغة النموذج باستخدام مجموعة من المعادلات التفاضلية غير الخطية، مع الحفاظ على إجمالي ثابت للسكان لكل من البشر والبعوض. كما يمددون النموذج ليشمل مشتقات من الرتبة الكسرية عبر المشتق الكسرى لكابوتو، مما يسمح بتمثيل أكثر دقة لديناميات المرض التي تأخذ تأثيرات الذاكرة في الاعتبار.
يكشف تحليل الاستقرار عن نقطتين للتوازن: التوازن الخالي من المرض (DFE) والتوازن المستوطن. يُظهر أن DFE يكون مستقرًا محليًا عندما يكون رقم التكاثر الأساسي \( R_0 < 1 \)، مما يشير إلى أن المرض سينقرض تحت هذه الظروف. على العكس، عندما \( R_0 > 1 \)، يصبح DFE غير مستقر، مما يشير إلى إمكانية انتشار المرض. كما يقوم المؤلفون بإجراء تحليل حساسية للمعلمات الرئيسية التي تؤثر على \( R_0 \)، مع تحديد معلمات مثل معدل عض البعوض المتوسط (\( \beta \)) وقوة العدوى (\( \delta \)) كعوامل حاسمة في انتقال المرض، بينما يؤثر معدل الشفاء (\( \gamma \)) ومعدل وفاة البعوض (\( \mu \)) سلبًا على الانتقال. تؤكد النتائج على فائدة النمذجة من الرتبة الكسرية في علم الأوبئة، مما يظهر توافقها مع البيانات التجريبية وإمكاناتها في توجيه استراتيجيات الصحة العامة ضد تفشي حمى الضنك. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية دمج متغيرات إضافية مثل عوامل المناخ واستكشاف الديناميات العشوائية.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-16599-w
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40836027
Publication Date: 2025-08-21
Author(s): Lalchand Verma et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research paper presents a combined SIR-SI epidemic model to analyze the transmission dynamics of dengue fever, integrating the susceptible-infected-recovered (SIR) framework for humans and the susceptible-infected (SI) framework for mosquitoes. The model is expressed as a system of nonlinear differential equations, enhanced by incorporating Caputo fractional-order derivatives to account for memory effects in disease transmission. The study thoroughly investigates both disease-free and endemic equilibrium points, assessing local and global stability, and derives the basic reproduction number, $R_0$. A sensitivity analysis identifies key parameters affecting transmission dynamics, and the existence and uniqueness of solutions are rigorously established. Numerical approximations are performed using the two-step Lagrange polynomial method, revealing that the fractional-order approach provides deeper insights into dengue transmission dynamics.
The findings indicate that the fractional-order model results in a lower peak of infection, aligning more closely with empirical data, thus demonstrating its efficacy in capturing the complexities of disease dynamics. The study emphasizes the importance of memory effects in epidemiological modeling and suggests that future research could expand the model to include additional dengue serotypes, climate variables, and real-world data. Incorporating stochastic or spatial dynamics and time-dependent fractional orders could further enhance the model’s realism, improving forecasting accuracy and informing public health strategies for dengue fever prevention.
Results
The results section presents numerical solutions for the model parameters, specifically $\alpha = 0.00004$, $\beta = 0.009191$, $\gamma = 0.3333$, $\delta = 0.375$, $\mu = 0.083333$, with initial populations $x(0) = 0.9999$, $y(0) = 0.0006$, and $z(0) = 0.056$. A comparative analysis with reference values indicates a high degree of accuracy in the proposed method, as shown in Table 2, which includes absolute errors $E_x$, $E_y$, and $E_z$. The model’s behavior is further illustrated in Figure 3, where it is observed that the populations of susceptible and infected individuals increase with decreasing fractional order values, while $x(t)$ declines over time, stabilizing after 50 days.
Figures 4 through 8 explore the model’s dynamics under varying fractional orders and parameter influences. Notably, Figures 6 and 7 demonstrate that increases in parameters $\beta$ and $\delta$ lead to a decrease in the susceptible population, while the infected and recovered populations rise. Figure 8 examines the impact of the parameter $\mu$ on the model’s behavior for fractional orders $\kappa = 0.90$ and $1.00$. Overall, the findings underscore the robustness of the model and its sensitivity to parameter variations, contributing valuable insights into the dynamics of the populations involved.
Discussion
In this section, the authors present a comprehensive analysis of the SIR-SI epidemic model, which integrates the dynamics of human and mosquito populations in the context of dengue fever transmission. The model delineates the human population into susceptible (Sh), infected (Ih), and recovered (Rh) compartments, while the mosquito population is categorized into susceptible (Sv) and infected (Iv) compartments. The authors formulate the model using a set of nonlinear differential equations, maintaining constant total populations for both humans and mosquitoes. They further extend the model to incorporate fractional-order derivatives via the Caputo fractional derivative, allowing for a more nuanced representation of disease dynamics that accounts for memory effects.
The stability analysis reveals two equilibrium points: the disease-free equilibrium (DFE) and the endemic equilibrium. The DFE is shown to be locally asymptotically stable when the basic reproduction number \( R_0 < 1 \), indicating that the disease will die out under these conditions. Conversely, when \( R_0 > 1 \), the DFE becomes unstable, suggesting the potential for disease spread. The authors also conduct a sensitivity analysis of key parameters influencing \( R_0 \), identifying parameters such as the average mosquito biting rate (\( \beta \)) and the force of infection (\( \delta \)) as critical for disease transmission, while recovery rate (\( \gamma \)) and mosquito death rate (\( \mu \)) negatively impact transmission. The findings underscore the utility of fractional-order modeling in epidemiology, demonstrating its alignment with empirical data and its potential for informing public health strategies against dengue fever outbreaks. Future research directions include the incorporation of additional variables such as climate factors and the exploration of stochastic dynamics.