DOI: https://doi.org/10.2478/ijmce-2025-0013
تاريخ النشر: 2024-09-22
المؤلف: Enes Ata وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
في هذه الورقة البحثية، يعيد المؤلفون بناء دوال غاما وبيتا، بالإضافة إلى دوال غاوس والدوال الهندسية المتقاربة، باستخدام دالة نواة عامة في تمثيلاتها التكاملية والسلسلية. يمكن أن تكون هذه النواة العامة أي دالة خاصة، بما في ذلك الدالة الأسية، دالة ميتاج-ليفلر، دالة رايت، دالة فوكس-رايت، دالة كمر، أو سلسلة M. من خلال اختيار دوال نواة مختلفة، يظهر المؤلفون أنه يمكن اشتقاق مجموعة متنوعة من الدوال الخاصة المعممة، ويقدمون تمثيلات تكاملية، علاقات وظيفية، جمع، مشتقات، صيغ تحويل، وتحويلات لابلاس المزدوجة لهذه الدوال. بالإضافة إلى ذلك، يحلون معادلات تفاضلية جزئية كسرية تتضمن هذه الدوال الخاصة ويرسمون حلولاً محددة.
تختتم الورقة بالتأكيد على تقديم دوال خاصة مع نواة عامة وقدرتها على توليد دوال خاصة معروفة أخرى. يبرز المؤلفون الخصائص الأساسية والتطبيقات لهذه الدوال المعرفة حديثًا ويقدمون دالة بيتا غير المكتملة مع نواة عامة من خلال توزيع بيتا. يقترحون اتجاهات بحث مستقبلية، والتي ستشمل استكشاف هياكل جديدة لمختلف الدوال الخاصة والمشغلين الكسرين، مثل ريمان-ليوفيلي و كابوتو، جنبًا إلى جنب مع خصائصها المحتملة وتطبيقاتها.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة تطور حساب التفاضل الكسر، مع تسليط الضوء على مساهمات باحثين مختلفين في تعريف مشغلات التكامل والمشتقات الكسرية. تؤكد على أهمية الدوال الخاصة—مثل دوال غاما وبيتا ودوال غاوس الهندسية المتقاربة والدوال الهندسية المتقاربة—في مجالات علمية متنوعة، بما في ذلك الفيزياء والرياضيات والهندسة. توضح الورقة تعريفات هذه الدوال وتقدم أشكالًا معممة، تم تطويرها بواسطة عدة مؤلفين، لتوسيع قابليتها للتطبيق.
الدافع الرئيسي من هذا البحث هو تقديم دوال خاصة مع نواة عامة يمكن أن تولد هذه الدوال المعممة واستكشاف حلولها في سياق المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية. يتم توضيح هيكل الورقة، مما يشير إلى أن الأقسام اللاحقة ستغطي المعلومات الأساسية، وخصائص الدوال التي تم تقديمها حديثًا، وحلول المعادلات التفاضلية الكسرية، وتقديم توزيع بيتا مع نواة عامة. يهدف المؤلفون إلى المساهمة في الأدبيات الحالية من خلال تقديم رؤى وأساليب جديدة تتعلق بحساب التفاضل الكسر والدوال الخاصة.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون تطبيق تحويلات لابلاس المزدوجة على الدوال الخاصة ذات النوى العامة، خاصة في سياق المعادلات التفاضلية الكسرية. يعرفون المشتق الجزئي الكسر لكيبوتو وتحويلات لابلاس المزدوجة، مقدمين معادلات ونظريات أساسية تسهل تحليل هذه الدوال. يقدم المؤلفون دوال غاما وبيتا ودوال غاوس الهندسية المتقاربة والدوال الهندسية المتقاربة ذات النوى العامة، موضحين تعريفاتها وخصائصها. من الجدير بالذكر أنهم يظهرون كيف يمكن لهذه الدوال أن تولد دوال خاصة أخرى تم تأسيسها سابقًا في الأدبيات.
كما يوضح القسم عدة تطبيقات للبنى النظرية المستمدة على المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية، مع عرض أمثلة محددة وظروف أولية. يستخرج المؤلفون حلولًا لهذه المعادلات باستخدام تحويل لابلاس المزدوج، مؤكدين على فائدة الدوال الخاصة في حل المشكلات الرياضية المعقدة. يختتمون بالتأكيد على الإمكانية للبحث المستقبلي لاستكشاف هياكل جديدة وتطبيقات لمختلف الدوال الخاصة والمشغلين الكسرين، وبالتالي توسيع الإطار الذي تم تأسيسه في هذه الورقة.
DOI: https://doi.org/10.2478/ijmce-2025-0013
Publication Date: 2024-09-22
Author(s): Enes Ata et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
In this research paper, the authors reconstruct the gamma and beta functions, as well as the Gauss and confluent hypergeometric functions, utilizing a general kernel function in their integral and series representations. This general kernel can be any special function, including the exponential function, Mittag-Leffler function, Wright function, Fox-Wright function, Kummer function, or M-series. By selecting different kernel functions, the authors demonstrate that a variety of generalized special functions can be derived, and they provide integral representations, functional relations, summation, derivative, transformation formulas, and double Laplace transforms for these functions. Additionally, they solve fractional partial differential equations involving these special functions and graph specific solutions.
The paper concludes by emphasizing the introduction of special functions with a general kernel and their ability to generate other known special functions. The authors highlight the fundamental properties and applications of these newly defined functions and present the incomplete beta function with a general kernel through the beta distribution. They suggest future research directions, which will include exploring new structures of various special functions and fractional operators, such as Riemann-Liouville and Caputo, along with their potential properties and applications.
Introduction
The introduction of the paper discusses the evolution of fractional calculus, highlighting the contributions of various researchers in defining fractional integral and derivative operators. It emphasizes the significance of special functions—such as the gamma, beta, Gauss hypergeometric, and confluent hypergeometric functions—in diverse scientific domains, including physics, mathematics, and engineering. The paper outlines the definitions of these functions and introduces generalized forms, which have been developed by several authors, to extend their applicability.
The primary motivation of this research is to introduce special functions with a general kernel that can generate these generalized functions and to explore their solutions in the context of fractional partial differential equations. The structure of the paper is outlined, indicating that subsequent sections will cover foundational information, properties of the newly introduced functions, solutions to fractional differential equations, and the introduction of a beta distribution with a general kernel. The authors aim to contribute to the existing literature by providing new insights and methodologies related to fractional calculus and special functions.
Discussion
In this section, the authors discuss the application of double Laplace transforms to special functions with general kernels, particularly in the context of fractional differential equations. They define the partial fractional Caputo derivative and the double Laplace transforms, providing essential equations and theorems that facilitate the analysis of these functions. The authors introduce gamma, beta, Gauss hypergeometric, and confluent hypergeometric functions with general kernels, detailing their definitions and properties. Notably, they demonstrate how these functions can generate other special functions previously established in the literature.
The section also outlines several applications of the derived theoretical constructs to fractional partial differential equations, showcasing specific examples and initial conditions. The authors derive solutions for these equations using the double Laplace transform, emphasizing the utility of the special functions in solving complex mathematical problems. They conclude by highlighting the potential for future research to explore new structures and applications of various special functions and fractional operators, thus extending the framework established in this paper.