DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-025-03261-2
تاريخ النشر: 2025-03-18
المؤلف: Yuelong Feng وآخرون
الموضوع الرئيسي: العمليات العشوائية والتطبيقات المالية
نظرة عامة
في هذا البحث، يقدم المؤلفون طريقة جديدة للفرق المحدود (CFD) مصممة لنموذج تسعير الخيارات Black-Scholes (TFBS) مع الزمن الكسري، باستخدام المشتق الكسري Caputo-Fabrizio (C-F) لوصف المكون الزمني الكسري. تكمن الابتكار الرئيسي في تطوير مخطط منفصل عالي الترتيب، محققًا معدل تقارب قدره \(O(\tau^2 + h^4)\)، حيث تشير \(\tau\) و \(h\) إلى أحجام الخطوات الزمنية والمكانية، على التوالي. يقوم المؤلفون بإجراء تحليل شامل للاستقرار وتقدير الخطأ عبر طريقة فورييه، مما يضمن قوة نهجهم.
تدعم فعالية المخطط العددي المقترح من خلال سلسلة من التجارب العددية، التي تتماشى مع التنبؤات النظرية بشأن الدقة. ومن الجدير بالذكر أن هذا العمل يدعي أنه الأول الذي يقدم مثل هذا المخطط العددي العالي الترتيب لنموذج Black-Scholes الكسري باستخدام المشتق الكسري C-F. تشير النتائج إلى أن الطريقة لا تتفوق فقط في حل نموذج TFBS ولكنها تحمل أيضًا إمكانيات للتطبيق على معادلات تفاضلية جزئية زمنية كسريّة أخرى من نفس الطبيعة.
مقدمة
تناقش مقدمة الورقة أهمية المعادلات التفاضلية الكسريّة (FDEs) في نمذجة ظواهر متنوعة عبر عدة تخصصات، بما في ذلك المالية، حيث تعزز دقة تسعير الخيارات واستراتيجيات إدارة المخاطر. يبرز المؤلفون قيود النماذج التقليدية، مثل نموذج Black-Scholes (BS)، الذي يعمل تحت افتراضات مقيدة. يشيرون إلى عمل جوماري على النسخ الكسريّة من معادلات BS، مؤكدين على إمكانيات هذه النماذج في عكس ديناميات السوق بشكل أفضل التي تتأثر بالبيانات التاريخية من خلال تأثيرات الذاكرة.
تركز الورقة على المشتق الكسري Caputo-Fabrizio (C-F)، الذي قدمه كابوتو وفابريزيو في عام 2015، والذي يبسط المعالجة الرياضية للمشتقات الكسريّة، خاصة في النمذجة المالية. يشير المؤلفون إلى أن الطرق العددية الحالية لحل معادلة Black-Scholes الزمنية الكسريّة (TFBS) غالبًا ما تكون من ترتيب مكاني منخفض وتفتقر إلى المخططات عالية الترتيب. لمعالجة هذه الفجوة، يقترحون طريقة فرق محدودة مضغوطة لاشتقاق الحلول العددية لنموذج TFBS، مصحوبة بتحليلات الاستقرار والتقارب. تمهد المقدمة الطريق للأقسام التالية، التي ستفصل بناء المخطط العددي، وأساسياته النظرية، والتحقق التجريبي.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج عددية للتحقق من تحليلهم النظري من خلال مقارنات بين الحلول الدقيقة والعددية باستخدام MATLAB R2020b على جهاز كمبيوتر عالي الأداء. يتم تحديد الأخطاء باستخدام معايير $L^\infty$ و $L^2$، مع تعريف معدلات التقارب لكل من الزمن والمكان. على وجه التحديد، يتم حساب معدل التقارب الزمني كـ \( \text{Rate}_t = \frac{\log(E_{t1}/E_{t2})}{\log(\tau_1/\tau_2)} \) ومعدل التقارب المكاني كـ \( \text{Rate}_x = \frac{\log(E_{x1}/E_{x2})}{\log(h_1/h_2)} \).
تم تقديم ثلاثة أمثلة عددية. في المثال 1، تشير النتائج إلى أن معدلات التقارب الزمنية تقترب من المعدل الأمثل \( O(\tau^2) \) ومعدلات التقارب المكانية تقترب من \( O(h^4) \). توضح الأشكال المطابقة الوثيقة بين الحلول العددية والدقيقة، مما يؤكد دقة الطريقة. يدعم المثال 2 هذه النتائج، حيث يظهر معدلات تقارب مماثلة ويظهر أن الطريقة المقترحة تتفوق على الطرق الحالية من حيث الدقة حتى مع عدد أقل من العقد المنفصلة. يعزز المثال 3 استقرار الطريقة العددية وسرعة التقارب للمخططات المقترحة، بينما يختبر المثال 4 فعالية الطريقة في السيناريوهات التي تكون فيها الحلول الدقيقة غير معروفة، مؤكدًا دقة من الدرجة الثانية في الزمن ودقة من الدرجة الرابعة في المكان. بشكل عام، تدعم النتائج الادعاءات النظرية بشأن أداء الطريقة.
نقاش
في هذا القسم، يقدم المؤلفون مخطط فرق محدودة مضغوط لحل نموذج تسعير الخيارات Black-Scholes الزمنية الكسريّة، باستخدام المشتق الكسري Caputo-Fabrizio. يقومون بتأسيس عدة ليمات تسهل اشتقاق المخطط العددي، موضحين أن المشتقات المكانية الثانية يمكن تقريبها باستخدام مشغلين مضغوطين. تشمل النتائج الرئيسية صياغة مخطط عددي من الدرجة الرابعة، ممثلاً كالتالي:
\[
\lambda \left( U^n_j – \sum_{k=1}^{n-1} A_k U^k_j – \gamma U^0_j \right) = pH^{-1} \delta^2_x U^n_j + qA^{-1}_1 \hat{\delta}_x U^n_j – rU^n_j + f^n_j,
\]
حيث يتم تحديد حد الخطأ بـ \( \|R^n_j\| \leq C(\tau^2 + h^4) \).
يقوم المؤلفون بتحليل الاستقرار والتقارب للمخطط المقترح بدقة، مثبتين أنه مستقر وغير مشروط ومتقارب مع تقدير خطأ قدره \( O(\tau^2 + h^4) \). يقدمون خوارزمية مفصلة للتنفيذ ويحققون نتائجهم النظرية من خلال أربعة أمثلة عددية، مؤكدين فعالية المخطط لنموذج Black-Scholes الكسري. يستنتج المؤلفون أن طريقتهم يمكن توسيعها لتشمل معادلات تفاضلية جزئية زمنية كسريّة أخرى مشابهة، مما يبرز قابليتها الواسعة في التحليل العددي.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-025-03261-2
Publication Date: 2025-03-18
Author(s): Yuelong Feng et al.
Primary Topic: Stochastic processes and financial applications
Overview
In this research, the authors present a novel compact finite difference (CFD) method tailored for the time-fractional Black-Scholes (TFBS) option pricing model, utilizing the Caputo-Fabrizio (C-F) fractional derivative to characterize the time-fractional component. The primary innovation lies in the development of a high-order discrete scheme, achieving a convergence rate of \(O(\tau^2 + h^4)\), where \(\tau\) and \(h\) denote the temporal and spatial step sizes, respectively. The authors conduct a thorough stability analysis and error estimation via the Fourier method, ensuring the robustness of their approach.
The effectiveness of the proposed numerical scheme is substantiated through a series of numerical experiments, which align with the theoretical predictions regarding accuracy. Notably, this work claims to be the first to introduce such a high-order numerical scheme for the fractional Black-Scholes model employing the C-F fractional derivative. The findings suggest that the method not only excels in solving the TFBS model but also holds potential for application to other time-fractional partial differential equations of similar nature.
Introduction
The introduction of the paper discusses the significance of fractional differential equations (FDEs) in modeling various phenomena across multiple disciplines, including finance, where they enhance the accuracy of option pricing and risk management strategies. The authors highlight the limitations of traditional models, such as the Black-Scholes (BS) model, which operates under restrictive assumptions. They reference Jumarie’s work on fractional versions of the BS equations, emphasizing the potential of these models to better reflect market dynamics influenced by historical data through memory effects.
The paper focuses on the Caputo-Fabrizio (C-F) fractional derivative, introduced by Caputo and Fabrizio in 2015, which simplifies the mathematical treatment of fractional derivatives, particularly in financial modeling. The authors note that existing numerical methods for solving the time-fractional Black-Scholes (TFBS) equation are often of low spatial order and lack high-order schemes. To address this gap, they propose a compact finite difference method to derive numerical solutions for the TFBS model, accompanied by stability and convergence analyses. The introduction sets the stage for the subsequent sections, which will detail the construction of the numerical scheme, its theoretical underpinnings, and empirical validations.
Results
In this section, the authors present numerical results to validate their theoretical analysis through comparisons of exact and numerical solutions using MATLAB R2020b on a high-performance PC. The errors are quantified using the $L^\infty$ and $L^2$ norms, with convergence rates defined for both time and space. Specifically, the time convergence rate is calculated as \( \text{Rate}_t = \frac{\log(E_{t1}/E_{t2})}{\log(\tau_1/\tau_2)} \) and the space convergence rate as \( \text{Rate}_x = \frac{\log(E_{x1}/E_{x2})}{\log(h_1/h_2)} \).
Three numerical examples are provided. In Example 1, the results indicate that the temporal convergence rates approach the optimal rate of \( O(\tau^2) \) and spatial convergence rates approach \( O(h^4) \). Figures illustrate the close match between numerical and exact solutions, confirming the method’s accuracy. Example 2 further supports these findings, showing similar convergence rates and demonstrating that the proposed method outperforms existing methods in terms of accuracy even with fewer discrete nodes. Example 3 reinforces the numerical stability and convergence speed of the proposed schemes, while Example 4 tests the method’s effectiveness in scenarios where the exact solution is unknown, confirming second-order accuracy in time and fourth-order accuracy in space. Overall, the results substantiate the theoretical claims regarding the method’s performance.
Discussion
In this section, the authors present a compact finite difference scheme for solving the time-fractional Black-Scholes option pricing model, specifically utilizing the Caputo-Fabrizio fractional derivative. They establish several lemmas that facilitate the derivation of the numerical scheme, demonstrating that the second spatial derivatives can be approximated using compact operators. The main findings include the formulation of a fourth-order numerical scheme, represented as:
\[
\lambda \left( U^n_j – \sum_{k=1}^{n-1} A_k U^k_j – \gamma U^0_j \right) = pH^{-1} \delta^2_x U^n_j + qA^{-1}_1 \hat{\delta}_x U^n_j – rU^n_j + f^n_j,
\]
where the error term is bounded by \( \|R^n_j\| \leq C(\tau^2 + h^4) \).
The authors rigorously analyze the stability and convergence of the proposed scheme, proving that it is unconditionally stable and convergent with an error estimate of \( O(\tau^2 + h^4) \). They provide a detailed algorithm for implementation and validate their theoretical results through four numerical examples, confirming the effectiveness of the scheme for the fractional Black-Scholes model. The authors conclude that their method can be extended to other similar time-fractional partial differential equations, highlighting its broad applicability in numerical analysis.