DOI: https://doi.org/10.1186/s13661-025-01994-z
تاريخ النشر: 2025-01-17
المؤلف: Said Zibar وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تستقصي هذه الدراسة وجود وحيدة واستقرار الحلول لنظام غير خطي مرتبط يستخدم مشتقات كسرية عامة مختلطة، وتحديداً مشتقات ψ-Caputo و φ-Riemann-Liouville، تحت شروط حدود مختلطة. باستخدام نظرية النقاط الثابتة، يثبت المؤلفون نتائج هامة تتعلق بحلول النظام، بما في ذلك شروط وحيدتها. كما تتناول التحليل استقرار Hyers-Ulam للنظام المقترح، مدعومًا بأمثلة توضيحية تعزز النتائج النظرية. لا تعمل هذه الأبحاث فقط على تعميم النتائج الموجودة في الأدبيات، بل تقدم أيضًا رؤى جديدة حول السلوك النوعي للأنظمة التفاضلية الكسرية.
في الختام، يقدم البحث استكشافًا شاملاً لنظام تفاضلي كسرية مرتبط φ-Caputo و φ-Riemann-Liouville، مع التركيز على قابليته للتطبيق على الأنظمة المعقدة التي تتميز بتأثيرات الذاكرة والوراثة. يوضح المؤلفون وجود وحيدة الحلول من خلال بديل غير الخطي لـ Leary-Schauder ومبادئ رسم الخرائط الانكماشية ضمن فضاء Banach. تشمل المساهمات الرئيسية فحصًا دقيقًا لشروط الحدود المختلطة وتطبيق نظريات النقاط الثابتة، مما يوسع الفهم لمعادلات التفاضل الكسرية. تضع النتائج أساسًا قويًا لطرق البحث المستقبلية، مثل تطوير طرق عددية، وتطبيق النتائج النظرية على السيناريوهات الواقعية، واستكشاف خصائص الاستقرار بشكل أكبر، مما يثري مجال حساب التفاضل الكسرية ومشاكل القيمة الحدودية.
مقدمة
تسلط مقدمة هذه الورقة البحثية الضوء على الاهتمام المتزايد بمشاكل القيمة الحدودية (BVPs) التي تتضمن مشغلات مشتقات كسرية متنوعة، مثل مشتقات Caputo وRiemann-Liouville وHilfer. ركزت الدراسات الحديثة بشكل خاص على مشاكل القيمة الحدودية متعددة القيم مع مشتقات Hilfer وCaputo-Hadamard، مع التأكيد على الإطار الموحد الذي توفره مشتقة Hilfer الكسرية. يسمح هذا النهج بفهم عام للأنظمة التي تظهر ديناميكيات من ترتيب غير صحيح، مما يعزز نمذجة الظواهر المعقدة عبر مجالات مثل الفيزياء والهندسة والمالية.
تهدف الورقة إلى إجراء تحليل نوعي لنظام غير خطي جديد من مشاكل التفاضل الكسرية (FDPs) باستخدام مشتقات φ-Caputo وψ-Riemann-Liouville الكسرية. يدمج النظام المقترح نوى متناظرة وشروط حدود مختلطة، معالجًا الفجوات الموجودة في نمذجة الأنظمة ذات التأثيرات الوراثية. يبني البحث على المساهمات السابقة في هذا المجال، وخاصة تلك المتعلقة بالاستقرار والطرق العددية لمشاكل القيمة الحدودية الكسرية، وهو هيكل يتضمن تعريفات أساسية، ونتائج وجود ووحدة، ومناقشات حول الاستقرار، وأمثلة توضيحية، مما يسهم في التقدم النظري والتطبيقي في حساب التفاضل الكسرية.
النتائج
في هذا القسم، يحدد المؤلفون التعريفات الأساسية والرموز ذات الصلة بأبحاثهم، خاصة في سياق فضاءات Banach وحساب التفاضل الكسرية. يعرفون فضاء Banach \( Z \) بمعيار \( \| \cdot \| = \max_{\xi \in [0,1]} | \xi | \)، ويمتد هذا إلى الفضاء \( U = Z \times Z \) مع المعيار \( \|(u_1, u_2)\| = u_1 + u_2 \). تشمل المفاهيم الرئيسية المقدمة التكامل والمشتق الكسرية Riemann-Liouville، والتي تُعرف لدالة مستمرة \( \phi: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) وتتضمن تكاملات من الشكل \( I_0^+ \phi(\xi) \) و \( D_0^+ \phi(\xi) \). كما يقدم المؤلفون التكامل والمشتق \( \psi \)-Riemann-Liouville، موضحين ارتباطهما بالمشغلات الكلاسيكية اعتمادًا على اختيار دالة الوزن \( \psi(\xi) \).
بالإضافة إلى ذلك، يقدم القسم عدة ليمات وتعريفات توضح خصائص وعلاقات هذه المشغلات الكسرية. بشكل ملحوظ، يثبت الليمات 2.4 علاقة بين مشغلات \( I \) و \( D \)، بينما يوضح الليمات 2.6 خصائص المشتق الكسرية \( \psi \)-Caputo. يؤكد المؤلفون على تعددية هذه المشغلات، التي يمكن أن تمثل كل من المشتقات الكلاسيكية والكسرية Hadamard بناءً على دالة الوزن المختارة. أخيرًا، يشيرون إلى أن نتائج الوجود والوحدة ستُظهر باستخدام ليمات محددة، مما يمهد الطريق لاستكشافات إضافية في الأقسام التالية.
مناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون استقرار نظام تفاضلي كسرية مرتبط يتميز بشروط حدود مختلطة. يثبتون استقرار Hyers-Ulam (HU) للنظام من خلال عدة تعريفات ونظريات، مع التركيز بشكل خاص على المشغلات \( S_1 \) و \( S_2 \) التي تنتقل من مجموعة \( U \) إلى \( Z \). يعرف المؤلفون الشروط التي يظهر فيها النظام استقرارًا، خاصة عندما يكون نصف القطر الطيفي للمصفوفة المرتبطة \( M \) أقل من واحد، مما يشير إلى التقارب نحو الصفر. يستخدمون نظريات النقاط الثابتة، وتحديدًا بديل Leary-Schauder غير الخطي، لإظهار وجود وحيدة الحلول، مما يعزز قابلية تطبيق هذه الأطر الرياضية في تحليل الأنظمة المعقدة.
يستعرض المؤلفون أيضًا نتائجهم بأمثلة، مؤكدين النتائج النظرية من خلال مشاكل القيمة الحدودية الكسرية المحددة (BVPs). يبرزون أن الشروط لحلول فريدة واستقرار النظام قد تم الوفاء بها، كما يتضح من القيم الذاتية للمصفوفة \( M \) التي تقل عن واحد. لا يساهم هذا العمل فقط في فهم حساب التفاضل الكسرية، بل يوفر أيضًا منهجية قوية للتعامل مع الأنظمة غير الخطية المرتبطة بالمشتقات الكسرية، مما يمهد الطريق للبحث المستقبلي في هذا المجال. تمتد تداعيات هذه النتائج إلى التطبيقات العملية عبر مجالات علمية متنوعة، مما يبرز أهمية المعادلات التفاضلية الكسرية في نمذجة الظواهر الواقعية.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13661-025-01994-z
Publication Date: 2025-01-17
Author(s): Said Zibar et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This study investigates the existence, uniqueness, and stability of solutions for a nonlinear coupled system that employs mixed generalized fractional derivatives, specifically ψ-Caputo and φ-Riemann-Liouville derivatives, under mixed boundary conditions. Utilizing fixed point theory, the authors establish significant results regarding the solutions of the system, including conditions for their uniqueness. The analysis also addresses the Hyers-Ulam stability of the proposed system, supported by illustrative examples that enhance the theoretical findings. This research not only generalizes existing results in the literature but also provides new insights into the qualitative behavior of fractional differential systems.
In conclusion, the paper presents a comprehensive exploration of a coupled φ-Caputo and φ-Riemann-Liouville fractional differential system, emphasizing its applicability to complex systems characterized by memory and hereditary effects. The authors demonstrate the existence and uniqueness of solutions through Leary-Schauder’s nonlinear alternative and contraction mapping principles within a Banach space. Key contributions include a thorough examination of mixed boundary conditions and the application of fixed point theorems, which collectively extend the understanding of fractional differential equations. The findings lay a robust groundwork for future research avenues, such as the development of numerical methods, application of theoretical results to real-world scenarios, and further exploration of stability properties, thereby enriching the field of fractional calculus and boundary value problems.
Introduction
The introduction of this research paper highlights the growing interest in boundary value problems (BVPs) involving various fractional derivative operators, such as Caputo, Riemann-Liouville, and Hilfer derivatives. Recent studies have particularly focused on multivalued BVPs with Hilfer and Caputo-Hadamard derivatives, emphasizing the unified framework provided by the Hilfer fractional derivative. This approach allows for a generalized understanding of systems exhibiting non-integer order dynamics, enhancing the modeling of complex phenomena across disciplines like physics, engineering, and finance.
The paper aims to conduct a qualitative analysis of a novel nonlinear coupled system of fractional differential problems (FDPs) using φ-Caputo and ψ-Riemann-Liouville fractional derivatives. The proposed system integrates symmetrical kernels and mixed boundary conditions, addressing existing gaps in modeling systems with hereditary effects. The research builds on previous contributions in the field, particularly those related to stability and numerical methods for fractional BVPs, and is structured to include fundamental definitions, existence and uniqueness results, stability discussions, and illustrative examples, ultimately contributing to the theoretical and applied advancements in fractional calculus.
Results
In this section, the authors establish foundational definitions and notations relevant to their research, particularly within the context of Banach spaces and fractional calculus. They define the Banach space \( Z \) with a norm \( \| \cdot \| = \max_{\xi \in [0,1]} | \xi | \), and extend this to the space \( U = Z \times Z \) with the norm \( \|(u_1, u_2)\| = u_1 + u_2 \). Key concepts introduced include the Riemann-Liouville fractional integral and derivative, which are defined for a continuous function \( \phi: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) and involve integrals of the form \( I_0^+ \phi(\xi) \) and \( D_0^+ \phi(\xi) \). The authors also introduce the \( \psi \)-Riemann-Liouville integral and derivative, demonstrating their connection to classical operators depending on the choice of the weight function \( \psi(\xi) \).
Additionally, the section presents several lemmas and definitions that outline the properties and relationships of these fractional operators. Notably, Lemma 2.4 establishes a relationship between the \( I \) and \( D \) operators, while Lemma 2.6 details properties of the \( \psi \)-Caputo fractional derivative. The authors emphasize the versatility of these operators, which can represent both classical and Hadamard fractional derivatives based on the weight function selected. Finally, they indicate that the existence and uniqueness results will be demonstrated using a specific lemma, setting the stage for further exploration in subsequent sections.
Discussion
In this section, the authors discuss the stability of a coupled fractional differential system characterized by mixed boundary conditions. They establish the Hyers-Ulam (HU) stability of the system through several definitions and theorems, particularly focusing on the operators \( S_1 \) and \( S_2 \) mapping from a set \( U \) to \( Z \). The authors define conditions under which the system exhibits stability, notably when the spectral radius of the associated matrix \( M \) is less than one, indicating convergence to zero. They employ fixed point theorems, specifically Leary-Schauder’s nonlinear alternative, to demonstrate the existence and uniqueness of solutions, reinforcing the applicability of these mathematical frameworks in analyzing complex systems.
The authors further illustrate their findings with examples, confirming the theoretical results through specific fractional boundary value problems (BVPs). They highlight that the conditions for unique solutions and the stability of the system are satisfied, as evidenced by the eigenvalues of the matrix \( M \) being less than one. This work not only advances the understanding of fractional calculus but also provides a robust methodology for addressing nonlinear coupled systems with fractional derivatives, paving the way for future research in this domain. The implications of these findings extend to practical applications across various scientific fields, emphasizing the relevance of fractional differential equations in modeling real-world phenomena.