DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-025-03331-5
تاريخ النشر: 2025-07-01
المؤلف: Zahra Salemi وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل المعادلات التفاضلية غير الخطية
نظرة عامة
تتناول هذه الدراسة فئة محددة من المعادلات التفاضلية الكسرية المميزة بمشتق كابوتو الكسرية، والذي يُرمز له بـ $D^{\mu,\phi}_0^+$. تتناول الأبحاث وجود حلول إيجابية غير تافهة تحت شروط حدود غير محلية من خلال استخدام تمثيل تكاملي مكافئ عبر دالة غرين. تسهل تطبيق نظريات النقاط الثابتة إقامة هذه الحلول، مما يقدم رؤى جديدة حول قابلية الحل وخصائص مشاكل القيمة الحدية الكسرية.
في الخاتمة، يبرز المؤلفون التطبيق الواسع للمشتقات الكسرية، وخاصة تلك التي تستخدم مشغل ϕ-هيلفر، في نمذجة ظواهر متنوعة. تستكشف الدراسة مشكلتين للقيمة الحدية (BVPs) تتعلقان بمعادلات ϕ-هيلفر وتقدم نهجًا جديدًا باستخدام انكماشات α-ψ، مبتعدة عن الطرق التقليدية التي تعتمد على نظريات النقاط الثابتة الكلاسيكية. على الرغم من التعقيدات المرتبطة بمشتق ϕ-هيلفر الكسرية، يقدم المؤلفون تقنيات جديدة تحقق شروط وجود كافية، والتي تعتبر أكثر فعالية من تلك التي تم تأسيسها سابقًا. يتم تقديم أمثلة محددة للتحقق من النظريات الرئيسية، مما يربط نظرية رسم الانكماش مع المعادلات التفاضلية ويساهم في تقديم رؤى قيمة للباحثين في كلا المجالين.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية التقدم في حساب التفاضل الكسرية، وخاصة مفهوم المشتقات الكسرية بالنسبة لدالة، والتي تُرمز لها بالمشتقات الكسرية العامة. يسمح هذا التمديد بوجود أوامر غير عددية من التفاضل، مما يسهل نمذجة الأنظمة المعقدة التي لا يمكن أن تمثلها المشتقات ذات الأوامر العددية التقليدية بشكل كافٍ. تبرز الورقة الاهتمام المتزايد بمشاكل القيمة الحدية (BVPs) التي تتضمن معادلات تفاضلية ذات أوامر كسرية، والتي أظهرت فعاليتها في نمذجة ظواهر متنوعة في السياقات البيولوجية والهندسية، مثل الانتشار الشاذ والمواد اللزجة المرنة.
يركز المؤلفون على مشكلة محددة للقيمة الحدية تتعلق بمشتق كابوتو ϕ، المعبر عنه كـ \( D_{\mu,\phi}^+ q(n) + f(n, q(n)) = 0 \) لـ \( 0 < n < 1 \) و \( 1 < \mu \leq 2 \). يتم تكملة المشكلة بشروط حدود غير محلية، بما في ذلك \( q(0) = 0 \) و \( q(1) = \rho \int_0^1 p(r) q(r) \phi'(r) \, dr \)، حيث \( 0 < \rho < 1 \). تهدف الدراسة إلى التحقيق في وجود حلول غير تافهة لهذه المعادلة، بناءً على الأعمال السابقة مع تقديم شروط حدود جديدة ودالة جديدة \( \phi \). تم هيكلة الورقة لتشمل التعريفات، والنتائج الأولية، وإثباتات النتائج الرئيسية، وتطبيقات النظريات التي تم تأسيسها.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج الوجود لمشكلة القيمة الحدية (BVP) المميزة بمعادلة تفاضلية كسرية. يعرفون فضاء الدوال المستمرة، والذي يُرمز له بـ $\Lambda$، ويؤسسون مقياسًا $d(x, y) = \|x – y\|_\infty = \sup_{\zeta \in (a,b]} |x(\zeta) – y(\zeta)|$. توضح النظرية 4.1 الشروط التي بموجبها تحتوي المعادلة على حل واحد على الأقل، معتمدة على خصائص دالة $\theta: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ودالة مستمرة $F: C(I) \to C(I)$. تؤكد النظرية أنه إذا كانت بعض المتباينات المتعلقة بـ $\theta$ و$F$ ومعلمات أخرى صحيحة، فإن حلاً لمشكلة القيمة الحدية موجود.
علاوة على ذلك، تؤسس اللمحة 4.2 التكافؤ بين مشكلة القيمة الحدية ومعادلة تكاملية تتضمن نواة $G(n, m)$، والتي تُعرف من حيث الدالة $\phi$ ومعلمات أخرى. تتضمن الإثباتات التلاعب بالمعادلة التكاملية لاستنتاج شروط وجود الحلول، مما يؤدي في النهاية إلى علاقة تربط بين الشروط الحدودية والتمثيل التكامل للحل. تشير النتائج إلى أن المشكلة محددة بشكل جيد تحت الشروط المحددة، مما يوفر أساسًا لمزيد من التحليل لمشكلة القيمة الحدية.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون المفاهيم الأساسية والتعريفات المتعلقة بالمشتقات الكسرية، وخاصة مشتقات كابوتو ومشتقات ريمان-ليوفييل، بالإضافة إلى مشتقات ϕ-هيلفر. يؤسسون إطارًا لتحليل مشاكل القيمة الحدية (BVPs) باستخدام هذه المشتقات، مقدّمين مفاهيم رياضية رئيسية مثل التكامل من الجانب الأيسر بالنسبة لدالة متزايدة ϕ ومفهوم انكماشات αψ. يتم تقديم نظريات تضمن وجود نقاط ثابتة تحت شروط محددة، والتي تعتبر حاسمة لإثبات وجود حلول لمشاكل القيمة الحدية المعنية.
يواصل المؤلفون تطوير دوال غرين المرتبطة بمشاكل القيمة الحدية، موضحين خصائصها ومؤسسين متباينات تعتبر أساسية للتحليل. يستخلصون نتائج مهمة تتعلق بسلوك هذه الدوال، والتي تعتبر حيوية في صياغة الحلول لمشاكل القيمة الحدية. يختتم القسم بتقديم أمثلة توضح تطبيق النتائج النظرية، مما يعزز الأهمية العملية للشروط والأساليب التي تم تأسيسها. بشكل عام، يضع هذا النقاش أساسًا شاملاً لفهم تطبيق حساب التفاضل الكسرية في حل المعادلات التفاضلية المعقدة، مع تسليط الضوء على النهج المبتكر الذي اتبعه المؤلفون لربط نظرية رسم الانكماش مع المعادلات التفاضلية.
DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-025-03331-5
Publication Date: 2025-07-01
Author(s): Zahra Salemi et al.
Primary Topic: Nonlinear Differential Equations Analysis
Overview
This study focuses on a specific class of fractional differential equations characterized by the Caputo fractional derivative, denoted as $D^{\mu,\phi}_0^+$. The research addresses the existence of nontrivial positive solutions under nonlocal boundary conditions by employing an equivalent integral representation through Green’s function. The application of fixed point theorems facilitates the establishment of these solutions, offering new insights into the solvability and properties of fractional boundary value problems.
In the conclusion, the authors highlight the extensive applicability of fractional derivatives, particularly those utilizing the ϕ-Hilfer operator, in modeling various phenomena. The study investigates two boundary value problems (BVPs) involving ϕ-Hilfer equations and introduces a novel approach using α-ψ-contractions, diverging from traditional methods that rely on classical fixed point theorems. Despite the complexities associated with the ϕ-Hilfer fractional derivative, the authors present new techniques that yield sufficient existence conditions, which are deemed more effective than those previously established. Specific examples are provided to validate the primary theorems, bridging contraction mapping theory with differential equations and contributing valuable insights for researchers in both fields.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the advancements in fractional calculus, particularly the concept of fractional derivatives with respect to a function, denoted as generalized fractional derivatives. This extension allows for non-integer orders of differentiation, facilitating the modeling of complex systems that traditional integer-order derivatives cannot adequately represent. The paper highlights the growing interest in boundary value problems (BVPs) involving fractional-order differential equations, which have been shown to effectively model various phenomena in biological and engineering contexts, such as anomalous diffusion and viscoelastic materials.
The authors focus on a specific boundary value problem involving the $\phi$-Caputo derivative, expressed as \( D_{\mu,\phi}^+ q(n) + f(n, q(n)) = 0 \) for \( 0 < n < 1 \) and \( 1 < \mu \leq 2 \). The problem is supplemented with nonlocal boundary conditions, including \( q(0) = 0 \) and \( q(1) = \rho \int_0^1 p(r) q(r) \phi'(r) \, dr \), where \( 0 < \rho < 1 \). The study aims to investigate the existence of nontrivial solutions for this equation, building on previous works while introducing new boundary conditions and a novel function \( \phi \). The paper is structured to include definitions, preliminary results, proofs of key findings, and applications of the established theorems.
Results
In this section, the authors present existence results for a boundary value problem (BVP) characterized by a fractional differential equation. They define a space of continuous functions, denoted as $\Lambda$, and establish a metric $d(x, y) = \|x – y\|_\infty = \sup_{\zeta \in (a,b]} |x(\zeta) – y(\zeta)|$. Theorem 4.1 outlines conditions under which the equation has at least one solution, relying on the properties of a function $\theta: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ and a continuous function $F: C(I) \to C(I)$. The theorem asserts that if certain inequalities involving $\theta$, $F$, and other parameters hold, then a solution to the BVP exists.
Furthermore, Lemma 4.2 establishes the equivalence between the BVP and an integral equation involving a kernel $G(n, m)$, which is defined in terms of the function $\phi$ and other parameters. The proof involves manipulating the integral equation to derive conditions for the existence of solutions, ultimately leading to a relationship that connects the boundary conditions with the integral representation of the solution. The results indicate that the problem is well-posed under the specified conditions, providing a foundation for further analysis of the BVP.
Discussion
In this section, the authors discuss the foundational concepts and definitions related to fractional derivatives, particularly the Caputo and Riemann-Liouville derivatives, as well as the ϕ-Hilfer derivatives. They establish a framework for analyzing boundary value problems (BVPs) using these derivatives, introducing key mathematical constructs such as the left-sided integral with respect to an increasing function ϕ and the concept of αψ contractions. Theorems are presented that guarantee the existence of fixed points under specific conditions, which are crucial for proving the existence of solutions to the BVPs under consideration.
The authors further develop Green functions associated with the BVPs, demonstrating their properties and establishing inequalities that are essential for the analysis. They derive significant results regarding the behavior of these Green functions, which are instrumental in formulating the solutions to the BVPs. The section culminates in the presentation of examples that illustrate the application of the theoretical findings, reinforcing the practical relevance of the established conditions and methods. Overall, this discussion lays a comprehensive groundwork for understanding the application of fractional calculus in solving complex differential equations, highlighting the innovative approach taken by the authors to bridge contraction mapping theory with differential equations.