DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-13683-z
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40781352
تاريخ النشر: 2025-08-08
المؤلف: Safoura Rezaei Aderyani وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة نموذجين رياضيين مبتكرين لدراسة التفاعلات بين الورم والجهاز المناعي، كلاهما مؤطر ضمن سياق عشوائي. يستخدم النموذج الأول مشتقات كسرية-فرعية، وبالتحديد مشغل أتانغانا-بالينو، لتحليل ديناميات الورم-المناعة نوعيًا وكمياً. يتم إثبات وجود هذا النموذج من خلال نظريات النقاط الثابتة، مما يضمن وجود وحيدة الحلول، بينما يتم تقييم الاستقرار من خلال التحليل غير الخطي. توضح المحاكاة العددية التي تستخدم التداخل الجزئي لاغرانج التفاعلات المعقدة بين خلايا المناعة والسرطان تحت معلمات كسرية وفرعية متغيرة.
النموذج الثاني يعتمد على معادلات فرق غير خطية مرتبطة باستخدام مشغل كابوتو الكسرية. مشابهًا للأول، يضمن وجود الحلول من خلال نظريات النقاط الثابتة ويستكشف خصائص مثل الاستقرار، القابلية للتحكم، والتزامن. كلا النموذجين يدمجان العشوائية الكامنة في الأنظمة البيولوجية، مما يوفر تمثيلًا أكثر واقعية لتفاعلات الورم-المناعة. تكشف النتائج من المحاكاة العددية عن خصائص ديناميكية وآثار عملية، مما يعزز فهمنا لهذه العمليات البيولوجية المعقدة. بشكل عام، يوفر دمج حساب التفاضل الكسرية والعناصر العشوائية في كلا النموذجين رؤى قيمة حول ديناميات الورم-المناعة، مما يمهد الطريق للبحوث المستقبلية التي تهدف إلى تحسين النماذج وتطوير استراتيجيات علاجية في الطب الشخصي.
النتائج
في هذا القسم، يثبت المؤلفون وجود، وحيدة، واستقرار الحلول لنموذج ورم يستخدم مشتقات كسرية-فرعية بناءً على إطار أتانغانا-بالينو. يتم إعادة صياغة النظام باستخدام مشتق أتانغانا-بالينو-ريمان-ليوفيلي (ABRL)، مما يؤدي إلى مجموعة من المعادلات التي تصف ديناميات تفاعلات الورم وخلايا المناعة. يبرز المؤلفون قيود مشتق ريمان-ليوفيلي في نمذجة الظواهر الواقعية، داعين إلى استخدام مشتق أتانغانا-بالينو-كابوتو، الذي يسمح بالشروط الأولية والحدودية التقليدية. يتم إثبات استقرار النموذج من خلال تطبيق نظريات النقاط الثابتة، مما يؤكد أن النموذج يمتلك على الأقل حلاً فريدًا واحدًا تحت شروط محددة.
تشير النتائج العددية إلى فعالية النموذج المقترح في محاكاة ديناميات الورم-المناعة، مع اهتمام خاص بسلوك خلايا التأثير ونمو الورم مع مرور الوقت. يقدم المؤلفون نتائج توضح كيف أن عدد خلايا التأثير يزيد في البداية استجابةً لنمو الورم، ويصل إلى ذروته قبل أن ينخفض محتملًا إذا تمكن الورم من التهرب من الكشف المناعي. بالإضافة إلى ذلك، تكشف النتائج أن معامل الدرجة الكسرية $\lambda$ يؤثر بشكل كبير على استقرار النظام وفعالية التحكم، حيث تعزز القيم المنخفضة الاستجابة والدقة في التحكم في الورم. تختتم الدراسة بالقول إنه بينما توفر المشتقات الكسرية فهمًا أكثر دقة لتفاعلات الورم-المناعة، قد تؤدي إلى معدلات تقارب أبطأ مقارنة بالمشتقات الكلاسيكية، مما يبرز التوازن بين دقة التقدير وسرعة الاستجابة في استراتيجيات التحكم.
المناقشة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون إطارًا شاملاً لتحليل تفاعلات الورم-المناعة من خلال نماذج رياضية متقدمة، مع التركيز بشكل خاص على استخدام حساب التفاضل الكسرية والمشتقات الكسرية-فرعية. يقدمون مشتق أتانغانا-بالينو من الدرجة الكسرية، الذي يدمج نوى مختلفة مثل الانخفاض الأسي، قانون القوة، ودالة ميتاج-ليفيلر العامة، المشار إليها بـ FFE وFFP وFFM، على التوالي. يتم تقديم تعريفات المشتقات الكسرية-فرعية والتكاملات، مع تسليط الضوء على اعتمادها على الدرجة الكسرية $\lambda_1$ والأبعاد الفرعية $\lambda_2$. كما يثبت المؤلفون وجود وحيدة نموذجهم، موضحين وجود وحيدة الحلول من خلال نظريات النقاط الثابتة، ويحللون الاستقرار من خلال طرق غير خطية.
تستكشف الدراسة أيضًا ديناميات خلايا المناعة، وخاصة خلايا T والخلايا الشجرية، استجابةً لنمو الورم. يقوم المؤلفون بنمذجة التفاعلات نوعيًا وكمياً، كاشفين كيف تتطور الاستجابات المناعية مع مرور الوقت. توضح المحاكاة العددية التفاعل بين خلايا المناعة والسرطان، مع اهتمام خاص بأدوار السيتوكينات مثل IL-2 وسلوك الخلايا الشجرية طوال الاستجابة المناعية. تؤكد النتائج على أهمية اختيار المعلمات الكسرية والفرعية المناسبة، والتي يتم تبريرها من خلال تحليلات الحساسية والبيانات التجريبية، مما يساهم في فهم قوي لديناميات الورم-المناعة. يتم تمثيل النتائج بصريًا من خلال مخططات الكنتور، التي تصور التغيرات الزمنية في تجمعات خلايا المناعة، مما يبرز التفاعلات المعقدة وغير الخطية التي تحكم الاستجابات المناعية تجاه الأورام.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-025-13683-z
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/40781352
Publication Date: 2025-08-08
Author(s): Safoura Rezaei Aderyani et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This research presents two innovative mathematical models to study the interactions between the tumor and immune system, both framed within a stochastic context. The first model utilizes fractal-fractional derivatives, specifically the Atangana-Baleanu operator, to analyze tumor-immune dynamics qualitatively and quantitatively. The well-posedness of this model is established through fixed point theorems, ensuring the existence and uniqueness of solutions, while stability is assessed via nonlinear analysis. Numerical simulations employing Lagrangian-piecewise interpolation illustrate the complex interactions between immune and cancer cells under varying fractional and fractal parameters.
The second model is based on coupled nonlinear difference equations using the Caputo fractional operator. Similar to the first, it guarantees the existence of solutions through fixed point theorems and explores properties such as stability, controllability, and synchronization. Both models incorporate randomness inherent in biological systems, providing a more realistic representation of tumor-immune interactions. The findings from numerical simulations reveal dynamic characteristics and practical implications, enhancing our understanding of these complex biological processes. Overall, the integration of fractional calculus and stochastic elements in both models offers valuable insights into tumor-immune dynamics, laying the groundwork for future research aimed at refining models and advancing therapeutic strategies in personalized medicine.
Results
In this section, the authors establish the existence, uniqueness, and stability of solutions for a tumor model utilizing fractal-fractional derivatives based on the Atangana-Baleanu framework. The system is reformulated using the Atangana-Baleanu-Riemann-Liouville (ABRL) derivative, leading to a set of equations that describe the dynamics of tumor and immune cell interactions. The authors highlight the limitations of the Riemann-Liouville derivative in modeling real-world phenomena, advocating for the Atangana-Baleanu-Caputo derivative, which allows for traditional initial and boundary conditions. The stability of the model is demonstrated through the application of fixed-point theorems, confirming that the model possesses at least one unique solution under specified conditions.
The numerical results indicate the effectiveness of the proposed model in simulating tumor-immune dynamics, with particular attention to the behavior of effector cells and tumor growth over time. The authors present findings that illustrate how the population of effector cells initially increases in response to tumor growth, reaching a peak before potentially declining if the tumor evades immune detection. Additionally, the results reveal that the fractional order parameter $\lambda$ significantly influences the system’s stability and control effectiveness, with lower values enhancing responsiveness and accuracy in tumor control. The study concludes that while fractional derivatives provide a more nuanced understanding of tumor-immune interactions, they may result in slower convergence rates compared to classical derivatives, emphasizing the trade-off between estimation accuracy and speed of response in control strategies.
Discussion
In this section, the authors present a comprehensive framework for analyzing tumor-immune interactions through advanced mathematical models, specifically employing fractional calculus and fractal-fractional derivatives. They introduce the Atangana-Baleanu fractional-order derivative, which incorporates various kernels such as exponential decay, power law, and the generalized Mittag-Leffler function, denoted as FFE, FFP, and FFM, respectively. The definitions of fractal-fractional derivatives and integrals are provided, highlighting their dependence on fractional order $\lambda_1$ and fractal dimension $\lambda_2$. The authors also establish the well-posedness of their model, demonstrating existence and uniqueness of solutions via fixed point theorems, and analyze stability through nonlinear methods.
The study further explores the dynamics of immune cells, particularly T cells and dendritic cells, in response to tumor growth. The authors model the interactions qualitatively and quantitatively, revealing how immune responses evolve over time. Numerical simulations illustrate the interplay between immune and cancer cells, with specific attention to the roles of cytokines such as IL-2 and the behavior of dendritic cells throughout the immune response. The results underscore the importance of selecting appropriate fractional and fractal parameters, which are justified through sensitivity analyses and empirical data, ultimately contributing to a robust understanding of tumor-immune dynamics. The findings are visually represented through contour plots, which depict the temporal changes in immune cell populations, emphasizing the complex, nonlinear interactions that govern immune responses to tumors.