DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-67158-8
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/39147794
تاريخ النشر: 2024-08-15
المؤلف: Thabet Abdeljawad وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تسلط ورقة البحث الضوء على الاهتمام المتزايد في حساب التفاضل الكسري، وخاصة تطبيقاته في نمذجة العمليات الواقعية من خلال معادلات التفاضل الكسري. تركز الدراسة على فئة معينة من معادلات التفاضل الكسري الهجينة (HFDEs) باستخدام مشتق أتانغانا-بالينو-كابوتو (ABC). تستخدم التحليل الوظيفي غير الخطي لاستكشاف الجوانب النوعية لهذه المعادلات، وتطبق معايير استقرار أولام-هاير لتقييم استقرار الحلول. بالإضافة إلى ذلك، تم تطوير تقنية عددية قوية للحصول على الحلول، والتي يتم توضيحها من خلال تمثيلات رسومية باستخدام أوامر كسري مختلفة.
تؤكد النتائج على إمكانية استخدام مشغلات التفاضل غير المحلية لنمذجة الظواهر الطبيعية المعقدة، مما يبرز الحاجة إلى مزيد من التحقيق في HFDEs الكسريّة مع مشغلات كسريّة غير مفردة. تؤسس البحث شروطًا كافية لوجود وخصوصية الحلول من خلال تحليل النقاط الثابتة وتظهر قابلية تطبيق معايير استقرار U-H في هذا السياق. يتم التحقق من النتائج باستخدام نموذج لاسوتا-وازيفسكا البيولوجي، ويعبر المؤلفون عن نواياهم لتوسيع هذا العمل ليشمل أنظمة ديناميكية أكثر تعقيدًا في الدراسات المستقبلية، مما يساهم في المجال الأوسع للعلوم والتكنولوجيا.
نقاش
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الإطار النظري والنتائج المتعلقة بمعادلات التفاضل الكسري-الكسري (HFDEs) باستخدام مشتقات من نوع ABC. يحددون تعريفات لمختلف التكاملات والمشتقات الكسريّة، بما في ذلك الأنواع ريمان-ليوفيلي و الكسريّة، ويقدمون نظرية نوعية لوجود وخصوصية الحلول لمعادلات التفاضل الكسري-الكسري. يستخدم المؤلفون نظريات النقاط الثابتة، وخاصة مبدأ انكماش باناش، لإظهار أنه تحت ظروف معينة، يوجد حل فريد للمشكلة المقترحة.
يمتد النقاش أيضًا إلى تحليل استقرار الحلول، وبشكل خاص استقرار U-H، وهو أمر حاسم لضمان أن التقريبات العددية تتماشى عن كثب مع الحلول الدقيقة. يستنتج المؤلفون شروطًا لاستقرار U-H واستقرار U-H العام، مؤكدين أن الحلول تظل مستقرة تحت الاضطرابات. يوضحون نتائجهم النظرية من خلال مثال عددي يتعلق بتكوين الدم، مما يظهر تأثير الأوامر الكسريّة والكسريّة على ديناميات إنتاج خلايا الدم الحمراء. تشير النتائج إلى أن كل من عمليات النمو والانخفاض لكثافة خلايا الدم الحمراء تتأثر بشكل كبير بهذه الأوامر، مما يبرز أهمية حساب التفاضل الكسري-الكسري في نمذجة الظواهر البيولوجية المعقدة.
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-67158-8
PMID: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/39147794
Publication Date: 2024-08-15
Author(s): Thabet Abdeljawad et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
The research paper highlights the growing interest in fractional calculus, particularly its applications in modeling real-world processes through fractional differential equations. The study focuses on a specific class of hybrid fractional differential equations (HFDEs) utilizing the Atangana-Baleanu-Caputo (ABC) derivative. It employs nonlinear functional analysis to explore the qualitative aspects of these equations, applying Ulam-Hyer’s stability criteria to assess the stability of solutions. Additionally, a robust numerical technique is developed to obtain solutions, which are illustrated through graphical representations using various fractional orders.
The findings emphasize the potential of non-local differentiation operators to model complex natural phenomena, underscoring the need for further investigation into fractal HFDEs with non-singular fractional operators. The research establishes sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions through fixed point analysis and demonstrates the applicability of the U-H stability criteria in this context. The results are validated using the Lasota-Wazewska biological model, and the authors express intentions to extend this work to more intricate dynamical systems in future studies, thereby contributing to the broader field of science and technology.
Discussion
In this section, the authors discuss the theoretical framework and findings related to fractal-fractional differential equations (HFDEs) using ABC-type fractional derivatives. They establish definitions for various fractional integrals and derivatives, including Riemann-Liouville and fractal types, and present a qualitative theory for the existence and uniqueness of solutions to the fractal-fractional differential equations. The authors employ fixed point theorems, particularly Banach’s contraction principle, to demonstrate that under certain conditions, a unique solution exists for the proposed problem.
The discussion further extends to the stability analysis of the solutions, specifically U-H stability, which is crucial for ensuring that numerical approximations closely align with exact solutions. The authors derive conditions for U-H stability and generalized U-H stability, confirming that the solutions remain stable under perturbations. They illustrate their theoretical findings through a numerical example related to hematopoiesis, demonstrating the impact of fractional and fractal orders on the dynamics of red blood cell production. The results indicate that both the growth and decay processes of red blood cell density are significantly influenced by these orders, highlighting the relevance of fractal-fractional calculus in modeling complex biological phenomena.