DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.033.03.02
تاريخ النشر: 2024-01-13
المؤلف: Gunasekar Gunasekar وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الورقة نهجًا جديدًا لحل عائلات المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية باستخدام طريقة حساب التفاضل والتكامل الكسرية المباشرة، التي توسع الطريقة الكلاسيكية لفروبينيوس. تستفيد المنهجية من النظريات المعروفة المتعلقة بالحلول الخاصة لهذه المعادلات، مستخدمة تحويل لابلاس (LT) ومعاملات التمديد لسلاسل ثنائية الحدود. تم تضمين مثال توضيحي لإظهار تطبيق هذا النهج.
في الختام، تسلط الدراسة الضوء على فعالية تحويل لابلاس في معالجة المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية وتستكشف علاقاته مع تحويلات أخرى، كاشفة عن تفاعلات فريدة. لا يقدم المنهج المقترح طريقة منهجية لحل هذه المعادلات فحسب، بل يؤكد أيضًا على فحص خصائص متنوعة، مدعومة بأمثلة توضيحية تعزز فهم المفاهيم المعنية.
مقدمة
تستعرض مقدمة هذه الورقة البحثية التطور التاريخي وأهمية حساب التفاضل والتكامل الكسرية، الذي نشأ من التحدي المتمثل في توسيع المشتقات إلى أوامر غير صحيحة، الذي طرحه لاهوبتال لأول مرة في عام 1695. لقد وجدت حساب التفاضل والتكامل الكسرية تطبيقات عبر مجالات متنوعة مثل الكهرومغناطيسية، واللزوجة المرنة، وميكانيكا السوائل، ومعالجة الإشارات، حيث يتم استخدامها لنمذجة الأنظمة المعقدة من خلال المعادلات التفاضلية الكسرية. هذه النماذج بارعة بشكل خاص في التقاط الظواهر التي تتطلب تمثيلات دقيقة للتخميد.
تسلط الورقة الضوء على المساهمات الرئيسية في هذا المجال، بما في ذلك تقديم تحويل تارغ من قبل تارغ وصالح في عام 2011، الذي أسس روابط بين تحويلات لابلاس وتارغ وتم توسيعه لاحقًا ليشمل المعادلات التكاملية التفاضلية. بالإضافة إلى ذلك، تذكر عمل حسن طه وآخرين في حل معادلات التلغراف باستخدام ثنائيات تحويل التكامل، واستكشاف سلاسل ثنائية الحدود وتحويلات لابلاس لتوليد حلول للمعادلات التفاضلية الكسرية المتجانسة من قبل لين ولو. تهدف الدراسة الحالية إلى تطوير مفهوم المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية باستخدام تحويل لابلاس وسلاسل ثنائية الحدود، مع مناقشة الخصائص ذات الصلة المرتبطة بهذا الموضوع.
مناقشة
في هذا القسم، يحدد المؤلفون المفاهيم الأساسية والنتائج المتعلقة بدراسة المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية. يعرفون عدة دوال رياضية وعمليات، بما في ذلك الدالة العادية على المشتق الكسرية، وتحويل لابلاس (LT)، ودوال معينة مثل دوال ميتاج-ليفيلر ودوال رايت. كما يوضح المؤلفون المشتقات الكسرية لريمان-ليوفيلي ويقدمون إطارًا شاملاً لفهم العلاقات بين هذه البنى الرياضية.
تقدم الورقة نظرية هامة (نظرية 3.1) التي تؤسس الحل الفريد لمعادلة تكاملية تفاضلية كسرية تحت ظروف معينة. يتم التعبير عن الحل من حيث سلاسل تتضمن الدوال المعرفة، مما يظهر التفاعل المعقد بين تحويل لابلاس والمشتقات الكسرية. بالإضافة إلى ذلك، يوضح المؤلفون تطبيق نتائجهم من خلال أمثلة، مما يوضح فائدة تحويل لابلاس في حل المعادلات التكاملية التفاضلية الكسرية المعقدة. تؤكد الخاتمة على النهج المبتكر المتبع في هذه الدراسة، مسلطة الضوء على الروابط بين تحويل لابلاس وتحويلات أخرى، وتقديم منهجية جديدة لمعالجة هذه المعادلات.
DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.033.03.02
Publication Date: 2024-01-13
Author(s): Gunasekar Gunasekar et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This paper presents a novel approach to solving families of fractional integro-differential equations using a straightforward fractional calculus method, which extends the classical Frobenius method. The methodology leverages established theorems related to particular solutions of these equations, employing the Laplace transform (LT) and extension coefficients of binomial series. An illustrative example is included to demonstrate the application of this approach.
In conclusion, the study highlights the effectiveness of the LT in addressing fractional integro-differential equations and explores its relationships with other transforms, revealing unique interactions. The proposed methodology not only introduces a systematic way to solve these equations but also emphasizes the examination of various properties, supported by illustrative examples that enhance understanding of the concepts involved.
Introduction
The introduction of this research paper outlines the historical development and significance of fractional calculus, which originated from the challenge of extending derivatives to non-integer orders, first posed by L’Hopital in 1695. Fractional calculus has found applications across various fields such as electromagnetics, viscoelasticity, fluid mechanics, and signal processing, where it is utilized to model complex systems through fractional differential equations. These models are particularly adept at capturing phenomena that require nuanced representations of damping.
The paper highlights key contributions to the field, including the introduction of the Tarig transform by Tarig and Salih in 2011, which established connections between the Laplace and Tarig transforms and was later extended to integro-differential equations. Additionally, it mentions the work of Hassan Taha et al. in solving telegraph equations using integral transform dualities, and the exploration of binomial series and Laplace transforms for generating solutions to homogeneous fractional differential equations by Lin and Lu. The current study aims to further develop the concept of fractional integro-differential equations using the Laplace transform and binomial series, while also discussing relevant properties associated with this topic.
Discussion
In this section, the authors outline foundational concepts and results pertinent to the study of fractional integro-differential equations. They define several mathematical functions and operations, including the casual function on a fractional derivative, the Laplace transform (LT), and specific functions such as the Mittag-Leffler and Wright functions. The authors also detail the Riemann-Liouville fractional derivatives and provide a comprehensive framework for understanding the relationships between these mathematical constructs.
The paper presents a significant theorem (Theorem 3.1) that establishes the unique solution for a fractional integro-differential equation under certain conditions. The solution is expressed in terms of series involving the defined functions, showcasing the intricate interplay between the LT and the fractional derivatives. Additionally, the authors illustrate the application of their findings through examples, demonstrating the utility of the LT in solving complex fractional integro-differential equations. The conclusion emphasizes the innovative approach taken in this study, highlighting the connections between the LT and other transforms, and the introduction of a new methodology for addressing these equations.