DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.036.02.04
تاريخ النشر: 2024-07-15
المؤلف: M.A. El‐Shorbagy وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تحدد منظمة الصحة العالمية الجيارديا، التي تسببها الجيارديا ثنائية المسكن، كمرض حيواني مهمل يؤثر بشكل كبير على صحة الإنسان والحيوان. يقدم هذا البحث نموذجًا رياضيًا لانتقال الجيارديا يتضمن استراتيجيات وقائية متنوعة، مثل الفحص والعلاج والصرف الصحي البيئي. جانب رئيسي من النموذج هو معامل التفاعل بين البشر وبيئتهم، والذي يؤثر على انتشار المرض. يستخدم المؤلفون مشتقات أتانغانا-بالينو كابوتو (ABC) من الرتبة الكسرية $v$ وأبعاد الفراكتال $q$ لتطوير نموذج معدل باستخدام نهج كسر-فراكتالي.
تجري الدراسة تحليلًا نوعيًا للنموذج من خلال عدم الخطية الوظيفية ونظرية النقاط الثابتة المعتمدة على السكان، باستخدام طريقة أدامز-باشفورث الكسرية للحصول على حلول عددية. يتم تقييم الاستقرار باستخدام تقنيات استقرار أولام-هايرز (UH). تتم مقارنة النتائج مع البيانات الموجودة حول الجيارديا ثنائية المسكن، مما يبرز ضرورة تغييرات السلوك المجتمعي والالتزام بالتدابير الوقائية لإدارة انتقال المرض بشكل فعال. علاوة على ذلك، يتم استخدام نهج الشبكة العصبية العميقة (DNN)، مما يظهر دقة عالية في تحليل حالة المرض عبر مجموعات بيانات التدريب والاختبار والتحقق.
مقدمة
تسلط مقدمة ورقة البحث الضوء على التحدي الكبير الذي تمثله الجيارديا للصحة العامة، خاصة بين الأطفال دون سن الخامسة. تسبب الطفيلي الجيارديا لامبليا الجيارديا، وينتقل من خلال الطعام والماء الملوثين، حيث يمكن لعشر كيسات فقط أن تبدأ العدوى. يظهر المرض من خلال أعراض متنوعة، بما في ذلك الإسهال، وضعف الإدراك، وسوء التغذية، ويؤثر بشكل غير متناسب على السكان في البلدان النامية حيث تكون خدمات الصرف الصحي والوصول إلى المياه النظيفة غير كافية. صنفت منظمة الصحة العالمية الجيارديا كجزء من مبادرة الأمراض المهملة، مما يبرز ارتباطها بالفقر والعبء الكبير الذي تضعه على المجتمعات المتأثرة.
تناقش الورقة تعقيدات ديناميات انتقال الجيارديا، مشيرة إلى أن النماذج الحالية قد ركزت بشكل أساسي على انتقال العدوى من شخص لآخر، بينما تلعب الخزانات البيئية أيضًا دورًا حاسمًا. يهدف المؤلفون إلى تعزيز فهم ديناميات الجيارديا من خلال تقييم تأثيرات الفحص والعلاج وتدخلات الصرف الصحي من خلال النمذجة الرياضية. يقترحون نهجًا جديدًا يستخدم حساب التفاضل الكسرية-الفراكتالية والشبكات العصبية العميقة لتعزيز نمذجة انتقال المرض، مع معالجة قيود الطرق التقليدية. تمهد المقدمة الطريق لاستكشاف شامل لديناميات الجيارديا وإمكانية تحسين استراتيجيات التدخل.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج المحاكاة العددية التي أجريت على نظام النموذج (1.2) باستخدام حل MATLAB 21. تم تعيين الشروط الأولية كـ $S = 4000$، $E = 3000$، $I = 2000$، $A = 1000$، $R = 800$، و $G = 50000$. استخدمت المحاكاة شبكة عصبية عميقة (DNN) تحتوي على ثلاث طبقات مخفية تحتوي على 10 و100 و10 خلايا عصبية، على التوالي. تم استخدام تقنية ليفنبرغ-ماركاردت لتحسين الأوزان، مع 1000 دورة تدريبية. تم تحليل مجموعات بيانات DNN باستخدام طريقة أدامز-باشفورث الكسرية، مما أسفر عن تمثيلات رسومية متنوعة تدعم النتائج التحليلية.
تشير النتائج لفئات مختلفة (S، E، I) إلى دقة عالية للتقنية المقترحة، حيث كانت معاملات الانحدار قريبة باستمرار من 1 عبر جميع مجموعات البيانات. بالنسبة لفئة S، تراوحت متوسطات الخطأ التربيعي من حوالي 0.0075 إلى 0.0111، بينما تراوحت أخطاء الجذر التربيعي من 0.0868 إلى 0.1055. أظهرت فئة E متوسطات أخطاء تربيعية بين 31.1 و35.9، مع أخطاء جذر متوسط تربيعي حوالي 5.577 إلى 5.9899. بالنسبة لفئة I، كانت متوسطات الأخطاء التربيعية بين 1.9441 و2.6836، مع أخطاء جذر متوسط تربيعي تتراوح من 1.3943 إلى 1.6385. تظهر هذه النتائج فعالية نهج DNN في نمذجة ديناميات النظام قيد الدراسة بدقة.
المناقشة
في هذا القسم، يناقش المؤلفون الإطار الرياضي والتحليل النوعي لنموذج SEIR المعدل غير الخطي الكسر-فراكتالي لديناميات انتقال الجيارديا. يتضمن النموذج ستة أقسام: القابلون للإصابة، المعرضون، المصابون، البشر المتعافون، وسكان الجيارديا، مع تأثير كل من الانتقال المباشر وغير المباشر. يعرف المؤلفون النموذج باستخدام مشتق ABC، المميز بأبعاد الفراكتال والرتب الكسرية، ويثبتون وجود وحيدة واستقرار الحلول من خلال نظريات النقاط الثابتة. يظهرون أن النظام يظهر استقرار أولام-هايرز تحت ظروف معينة، مما يشير إلى أن الاضطرابات الصغيرة في الشروط الأولية تؤدي إلى حلول محدودة مع مرور الوقت.
تُحصل الحلول العددية باستخدام تقنية أدامز-باشفورث الكسرية، مما يسمح بمحاكاة ديناميات النموذج. تشير النتائج إلى أن استراتيجيات التحكم مثل الصرف الصحي والعلاج والفحص تقلل بشكل كبير من انتشار المرض. يبرز المؤلفون أن الأوامر الكسرية الأقل وأبعاد الفراكتال ترتبط بأوقات ذاكرة أقصر للاستقرار، مما يشير إلى أن التدخلات الفعالة يمكن أن تؤدي إلى انخفاض سريع في عدد الأفراد المصابين. في النهاية، تؤكد الدراسة على أهمية نهج شامل للوقاية من الجيارديا، داعية إلى التعليم الصحي العام واستراتيجيات التدخل للتخفيف من انتقال المرض في المجتمعات.
DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.036.02.04
Publication Date: 2024-07-15
Author(s): M.A. El‐Shorbagy et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
The World Health Organization identifies Giardiasis, caused by Giardia duodenalis, as a neglected zoonotic disease that significantly impacts both human and animal health. This research presents a mathematical model for Giardiasis transmission that incorporates various preventive strategies, such as screening, treatment, and environmental sanitation. A key aspect of the model is the interaction parameter between humans and their environment, which influences disease spread. The authors employ Atangana-Baleanu Caputo (ABC) derivatives of fractional order $v$ and fractal dimension $q$ to develop a modified model using a fractal-fractional approach.
The study conducts a qualitative analysis of the model through functional non-linearity and population-based fixed-point theory, utilizing the fractional Adams-Bashforth iterative method for numerical solutions. Stability is assessed using Ulam-Hyers (UH) stability techniques. The results are compared with existing data on Giardia duodenalis, emphasizing the necessity of societal behavioral changes and adherence to preventive measures to effectively manage the disease’s transmission. Furthermore, a deep neural network (DNN) approach is employed, demonstrating high accuracy in analyzing the disease condition across training, testing, and validation datasets.
Introduction
The introduction of the research paper highlights the significant public health challenge posed by Giardiasis, particularly among children under five. Caused by the Giardia lamblia parasite, Giardiasis is transmitted through contaminated food and water, with as few as ten cysts capable of initiating infection. The disease manifests through various symptoms, including diarrhea, cognitive impairment, and malnutrition, and disproportionately affects populations in developing countries where sanitation and access to clean water are inadequate. The World Health Organization has classified Giardiasis as an Ignored Disease Initiative, emphasizing its association with poverty and the high burden it places on affected communities.
The paper discusses the complexities of Giardiasis transmission dynamics, noting that existing models have primarily focused on person-to-person transmission, while environmental reservoirs also play a crucial role. The authors aim to advance the understanding of Giardiasis dynamics by evaluating the impacts of screening, treatment, and sanitation interventions through mathematical modeling. They propose a novel approach utilizing fractal-fractional calculus and deep neural networks to enhance the modeling of disease transmission, addressing limitations of traditional methods. The introduction sets the stage for a comprehensive exploration of Giardiasis dynamics and the potential for improved intervention strategies.
Results
In this section, the authors present the results of numerical simulations conducted on the model system (1.2) using the MATLAB 21 solver. Initial conditions were set as $S = 4000$, $E = 3000$, $I = 2000$, $A = 1000$, $R = 800$, and $G = 50000$. The simulations employed a deep neural network (DNN) with three hidden layers containing 10, 100, and 10 neurons, respectively. The Levenberg-Marquardt technique was utilized to optimize the weights, with 1000 epochs for training. The DNN datasets were analyzed using the fractional Adams-Bashforth method, yielding various graphical representations that corroborate the analytical results.
The results for different classes (S, E, I) indicate high accuracy of the proposed technique, with regression coefficients consistently near 1 across all datasets. For the S class, the mean square error ranged from approximately 0.0075 to 0.0111, while root mean square errors varied from 0.0868 to 0.1055. The E class exhibited mean square errors between 31.1 and 35.9, with root mean square errors around 5.577 to 5.9899. For the I class, mean square errors were between 1.9441 and 2.6836, with root mean square errors ranging from 1.3943 to 1.6385. These findings demonstrate the effectiveness of the DNN approach in accurately modeling the dynamics of the system under consideration.
Discussion
In this section, the authors discuss the mathematical framework and qualitative analysis of a fractal-fractional modified nonlinear SEIR-type model for Giardiasis transmission dynamics. The model incorporates six compartments: susceptible, exposed, infectious, recovered humans, and Giardia populations, with the influence of both direct and indirect transmission. The authors define the model using the ABC derivative, characterized by fractal dimensions and fractional orders, and establish the existence, uniqueness, and stability of solutions through fixed-point theorems. They demonstrate that the system exhibits Ulam-Hyers stability under certain conditions, indicating that small perturbations in the initial conditions lead to bounded solutions over time.
The numerical solutions are obtained using the fractal-fractional Adams-Bashforth technique, which allows for simulations of the model’s dynamics. The results indicate that control strategies such as sanitation, treatment, and screening significantly reduce disease prevalence. The authors highlight that lower fractional orders and fractal dimensions correlate with shorter memory times for stability, suggesting that effective interventions can lead to a rapid decrease in the number of infectious individuals. Ultimately, the study emphasizes the importance of a comprehensive approach to Giardiasis prevention, advocating for public health education and intervention strategies to mitigate disease transmission in communities.