DOI: https://doi.org/10.1007/s00033-024-02195-x
تاريخ النشر: 2024-03-15
المؤلف: Yan Li وآخرون
الموضوع الرئيسي: حلول المعادلات التفاضلية الكسرية
نظرة عامة
تقدم هذه الدراسة طريقة جديدة لموجات هيرميت (HWM) لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية (FPDEs) باستخدام مصفوفة تكامل وظيفي. تستخدم الطريقة مشغل المشتق الكسرية كابوتو من الدرجة $\alpha \in (0, 1]$ وتستفيد من عملية التوافق مع نقاط شبكة متقطعة لتحويل FPDEs إلى نظام من المعادلات الجبرية غير الخطية. ثم يتم تطبيق طريقة نيوتن-رافسون لحل هذه المعادلات. النتائج، المقدمة من خلال الجداول والرسوم البيانية، تظهر أن HWM تحقق دقة وكفاءة أعلى مقارنة بالطرق الحالية، كما يتضح من الأخطاء المطلقة المنخفضة ووقت الحساب الأقل.
تشير النتائج إلى أنه مع زيادة حجم المصفوفة، تتحسن دقة الحلول، مما يعزز فعالية الطريقة المقترحة. تتضمن الدراسة تحليلات التقارب المدعومة بالنظريات والبراهين، مما يبرز قوة HWM. بشكل عام، تشير النتائج إلى أن HWM لا تبسط فقط عملية الحساب ولكنها تعزز أيضًا دقة الحلول العددية لـ FPDEs، متفوقة على الحلول التقليدية مثل محلل ND في Mathematica.
مقدمة
تناقش مقدمة هذه الورقة البحثية أهمية المعادلات التفاضلية الكسرية (FDEs) في نمذجة الأنظمة الفيزيائية المعقدة، مع التأكيد على قدرتها على التقاط الذاكرة والخصائص الموروثة من خلال المشتقات الكسرية. على عكس المشتقات التقليدية ذات الدرجة الصحيحة، تتيح المشتقات الكسرية نطاقًا أوسع من السلوكيات وتكون مفيدة بشكل خاص في مجالات علمية متنوعة، بما في ذلك الفيزياء والهندسة والرياضيات التطبيقية. تسلط الورقة الضوء على الاهتمام المتزايد بـ FDEs بسبب قابليتها للتطبيق في النماذج غير الخطية والعمليات المعقدة، على الرغم من القيود الحالية في الطرق العددية لحل هذه المعادلات، خاصة في الحالات غير الخطية.
يشير المؤلفون إلى أنه بينما توجد تقنيات عديدة لحل المعادلات التفاضلية ذات الدرجة الصحيحة، لا يزال تطوير الطرق للمعادلات ذات الدرجة الكسرية أقل تقدمًا، حيث تركز معظم الطرق الحالية على المشكلات الخطية. تقدم الورقة طريقة جديدة تعتمد على الموجات تستخدم موجات هيرميت لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية، وهو موضوع لم يتم استكشافه بشكل موسع في الأدبيات. تتميز الطريقة المقترحة بوضوحها وسهولة تطبيقها وفعاليتها، كما يتضح من خلال التجارب العددية والمحاكاة. يتم توضيح هيكل الورقة، مع تفاصيل الأقسام المخصصة لخصائص موجات هيرميت، وتحليل التقارب، والتكامل الوظيفي، والنتائج العددية.
النتائج
يقدم قسم النتائج تعريفات أساسية ذات صلة بدراسة موجات هيرميت والمشتقات الكسرية. يتم تعريف التكامل الكسرية ريمان-ليوفيلي من دالة \( f \) من الدرجة \( \delta \geq 0 \) على النحو التالي:
\[
J^\delta_s f(s) =
\begin{cases}
f(s) & \text{إذا كانت } \delta = 0 \\
\frac{1}{\Gamma(\delta)} \int_0^s (s – t)^{\delta – 1} f(t) dt & \text{إذا كانت } \delta > 0
\end{cases}
\]
حيث \( \Gamma \) تمثل دالة غاما و \( C^\mu \) تمثل فضاء خطيًا مستمرًا. بالإضافة إلى ذلك، يتم تعريف المشتق الكسرية كابوتو لـ \( f(s) \) لـ \( m – 1 < \delta \leq m \) على النحو التالي: \[ \frac{\partial^\delta f(s)}{\partial s^\delta} = \frac{1}{\Gamma(m - \delta)} \int_0^s (s - t)^{m - \delta - 1} f^{(m)}(t) dt \] حيث \( m \) هو عدد صحيح موجب و \( f(s) \in C^m_\mu \). علاوة على ذلك، يتميز موجات هيرميت بالتعبير: \[ \phi_{n,m}(x) = \frac{2^{k+1}}{2\sqrt{\pi}} H_m\left(2^k x - 2n + 1\right) \] لـ \( n = 1, 2, \ldots, 2^{k-1} \) و \( m = 0, 1, 2, \ldots, M-1 \). هنا، \( H_m(x) \) تمثل كثيرات هيرميت من الدرجة \( m \) المرتبطة بدالة الوزن \( W(x) = \sqrt{1 - x^2} \) على الخط الحقيقي، والتي تتبع علاقة تكرارية محددة. هذه التعريفات تؤسس إطارًا نظريًا لتحليل خصائص وتطبيقات موجات هيرميت بالتزامن مع حساب التفاضل الكسرية.
مناقشة
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نظريتين هامتين بشأن استمرارية الدوال وتقارب توسعات موجات هيرميت. تنص النظرية 1 على أنه إذا كانت هناك سلسلة من الدوال المستمرة $\{\phi_{i,j}(t)\}$ تتقارب بشكل منتظم إلى دالة $\phi(t)$ على الفترة $[a, b]$، فإن $\phi(t)$ تكون أيضًا مستمرة على تلك الفترة. تستخدم البرهان خصائص التقارب المنتظم وعدم مساواة مينكوفسكي لإظهار أن الفرق بين $\phi(t_0)$ و $\phi(t)$ يمكن أن يكون صغيرًا بشكل تعسفي، مما يؤكد استمرارية $\phi(t)$.
تناقش النظرية 2 توسع موجات هيرميت لدالة مستمرة محدودة $y(x, t) \in L^2(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ المعرفة على $[0, 1) \times [0, 1)$. تؤكد أن التوسع يتقارب بشكل منتظم إلى $y(x, t)$. يستخرج المؤلفون معاملات موجات هيرميت $C_{i,j}$ من خلال المنتجات الداخلية والتكاملات التي تتضمن الدالة $y(x, t)$ ودوال قاعدة الموجات. من خلال تطبيق نظرية القيمة المتوسطة العامة للتكاملات، يحددون حدودًا على المعاملات، مما يؤدي في النهاية إلى استنتاج أن سلسلة المعاملات تتقارب، مما يضمن التقارب المنتظم لتوسع موجات هيرميت. يبرز هذا القسم الأسس النظرية التي تدعم الطرق العددية التي تم مناقشتها لاحقًا في الورقة.
DOI: https://doi.org/10.1007/s00033-024-02195-x
Publication Date: 2024-03-15
Author(s): Yan Li et al.
Primary Topic: Fractional Differential Equations Solutions
Overview
This study introduces a novel Hermite wavelet method (HWM) for solving fractional partial differential equations (FPDEs) using a functional integration matrix. The method employs the Caputo fractional derivative operator of order $\alpha \in (0, 1]$ and utilizes a collocation process with discrete grid points to transform FPDEs into a system of nonlinear algebraic equations. The Newton-Raphson method is then applied to solve these equations. The results, presented through tables and graphs, demonstrate that HWM yields superior accuracy and efficiency compared to existing methods, as evidenced by reduced absolute errors and lower computational time.
The findings indicate that as the matrix size increases, the accuracy of the solutions improves, reinforcing the effectiveness of the proposed method. The study includes convergence analyses supported by theorems and proofs, highlighting the robustness of HWM. Overall, the results suggest that HWM not only simplifies the computational process but also enhances the precision of numerical solutions for FPDEs, outperforming traditional solvers such as the ND solver in Mathematica.
Introduction
The introduction of this research paper discusses the significance of fractional differential equations (FDEs) in modeling complex physical systems, emphasizing their ability to capture memory and inherited characteristics through fractional derivatives. Unlike traditional integer-order derivatives, fractional derivatives allow for a broader range of behaviors and are particularly useful in various scientific fields, including physics, engineering, and applied mathematics. The paper highlights the growing interest in FDEs due to their applicability in nonlinear models and complex processes, despite the current limitations in numerical methods for solving these equations, especially for nonlinear cases.
The authors note that while numerous techniques exist for solving integer-order differential equations, the development of methods for fractional-order equations remains less advanced, with most existing approaches focusing on linear problems. The paper introduces a novel wavelet-based method utilizing Hermite wavelets to solve fractional partial differential equations, a topic that has not been extensively explored in the literature. The proposed method is characterized by its clarity, ease of application, and effectiveness, as demonstrated through numerical experiments and simulations. The structure of the paper is outlined, detailing sections dedicated to Hermite wavelet properties, convergence analysis, functional integration, and numerical results.
Results
The results section presents foundational definitions relevant to the study of Hermite wavelets and fractional derivatives. The Riemann-Liouville fractional integral of a function \( f \) of order \( \delta \geq 0 \) is defined as:
\[
J^\delta_s f(s) =
\begin{cases}
f(s) & \text{if } \delta = 0 \\
\frac{1}{\Gamma(\delta)} \int_0^s (s – t)^{\delta – 1} f(t) dt & \text{if } \delta > 0
\end{cases}
\]
where \( \Gamma \) denotes the gamma function and \( C^\mu \) represents a continuous linear space. Additionally, the Caputo fractional derivative of \( f(s) \) is defined for \( m – 1 < \delta \leq m \) as: \[ \frac{\partial^\delta f(s)}{\partial s^\delta} = \frac{1}{\Gamma(m - \delta)} \int_0^s (s - t)^{m - \delta - 1} f^{(m)}(t) dt \] where \( m \) is a positive integer and \( f(s) \in C^m_\mu \). Furthermore, the Hermite wavelets are characterized by the expression: \[ \phi_{n,m}(x) = \frac{2^{k+1}}{2\sqrt{\pi}} H_m\left(2^k x - 2n + 1\right) \] for \( n = 1, 2, \ldots, 2^{k-1} \) and \( m = 0, 1, 2, \ldots, M-1 \). Here, \( H_m(x) \) represents the Hermite polynomials of degree \( m \) associated with the weight function \( W(x) = \sqrt{1 - x^2} \) on the real line, which follows a specific recurrence relation. These definitions establish a theoretical framework for analyzing the properties and applications of Hermite wavelets in conjunction with fractional calculus.
Discussion
In this section, the authors present two significant theorems regarding the continuity of functions and the convergence of Hermite wavelet expansions. Theorem 1 establishes that if a sequence of continuous functions $\{\phi_{i,j}(t)\}$ converges uniformly to a function $\phi(t)$ on the interval $[a, b]$, then $\phi(t)$ is also continuous on that interval. The proof utilizes the properties of uniform convergence and Minkowski’s inequality to demonstrate that the difference between $\phi(t_0)$ and $\phi(t)$ can be made arbitrarily small, confirming the continuity of $\phi(t)$.
Theorem 2 addresses the Hermite wavelet expansion of a bounded continuous function $y(x, t) \in L^2(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ defined on $[0, 1) \times [0, 1)$. It asserts that the expansion converges uniformly to $y(x, t)$. The authors derive the Hermite wavelet coefficients $C_{i,j}$ through inner products and integrals involving the function $y(x, t)$ and the wavelet basis functions. By applying the generalized mean value theorem for integrals, they establish bounds on the coefficients, ultimately concluding that the series of coefficients converges, thereby ensuring the uniform convergence of the Hermite wavelet expansion. This section highlights the theoretical foundations that support the numerical methods discussed later in the paper.