DOI: https://doi.org/10.3390/math13111828
تاريخ النشر: 2025-05-30
المؤلف: Rihito Sakurai وآخرون
الموضوع الرئيسي: تحليل الموتر وتطبيقاته
نظرة عامة
في مجال المالية الرياضية، يبقى تعزيز كفاءة تسعير الخيارات، لا سيما للخيارات متعددة الأصول، تحديًا حاسمًا. تقدم هذه الدراسة نهجًا جديدًا يستخدم خوارزميات تعلم حزمة التنسور لتسريع تسعير الخيارات القائم على تحويل فورييه (FT). من خلال الاستفادة من قدرة حزم التنسور على ضغط التنسورات عالية الأبعاد، يبني الأسلوب المقترح حزم تنسور تقارب بشكل فعال الدوال ذات الصلة بتسعير الخيارات القائم على FT، مع الأخذ في الاعتبار اعتماداتها على المعلمات.
تظهر فعالية هذه الطريقة من خلال اختبارات مرجعية تتضمن تسعير الخيارات متعددة الأصول عبر مستويات تقلب وأسعار أصول مختلفة. تشير النتائج إلى أن نهج حزمة التنسور المقترح يتجاوز بشكل كبير الطرق التقليدية لمونت كارلو، التي تستخدم $10^5$ و $10^6$ مسارات محاكاة، من حيث التعقيد الحسابي مع الحفاظ على دقة قابلة للمقارنة. تشير هذه التطورات إلى اتجاه واعد لتحسين منهجيات تسعير الخيارات في التطبيقات المالية.
مقدمة
في مقدمة هذه الورقة البحثية، يتناول المؤلفون التعقيدات المرتبطة بتسعير الخيارات، مع التركيز بشكل خاص على الخيارات الأوروبية، التي تقدم عوائد بناءً على أسعار الأصول الأساسية في وقت استحقاق محدد مسبقًا $T$. تسلط الورقة الضوء على ضرورة وجود طرق تسعير دقيقة وسريعة في الصناعة المالية، خاصة بالنسبة للخيارات متعددة الأصول، التي تقدم تحديات حسابية كبيرة بسبب “لعنة الأبعاد”. تكافح منهجيات التسعير التقليدية، مثل الحلول المعتمدة على PDE وطرق مونت كارلو، مع الكفاءة ومعدلات التقارب، مما يثير الاهتمام في الحوسبة الكمومية والخوارزميات الكلاسيكية المستوحاة من الكم، وبشكل خاص خوارزميات الشبكة التنسورية (TN).
يقترح المؤلفون نهجًا مبتكرًا يستخدم تعلم حزمة التنسور (TT) لتعزيز طريقة تسعير الخيارات القائمة على تحويل فورييه (FT). تهدف هذه التقنية إلى تقريب العائد المتوقع بكفاءة من خلال تحويل التكامل من مساحة سعر الأصول إلى مساحة فورييه. ومع ذلك، يحددون قيدًا في الطريقة الحالية المعتمدة على TT، والتي تتطلب إعادة معايرة لكل تغيير في المعلمات المدخلة، مما يؤدي إلى أوقات حساب أطول مقارنة بطرق مونت كارلو. للتغلب على ذلك، يقدم المؤلفون تطبيقًا جديدًا لحزم التنسور يتضمن اعتماد المعلمات، مما يسمح بإجراء تعديلات سريعة على تسعير الخيارات دون الحاجة إلى إعادة المعايرة المتكررة. تظهر تجاربهم العددية أن هذه الطريقة تقلل بشكل كبير من التعقيد الحسابي مع الحفاظ على الدقة، خاصة في السيناريوهات التي تتضمن تقلبات وأسعار أصول متغيرة تحت نموذج بلاك-شولز. تمثل هذه الدراسة جهدًا رائدًا في تطبيق تقريبات TT المعتمدة على المعلمات لتسعير الخيارات القائم على FT، مما يقدم مزايا عملية في السوق المالية الديناميكية.
النتائج
في هذا القسم، يقدم المؤلفون نتائج تحليلهم حول التعقيد الحسابي، والوقت، والدقة لطرق تسعير الخيارات المعتمدة على حزمة التنسور (TT) وطرق مونت كارلو (MC)، مع تغيير معلمين، $\vec{\sigma}$ و $\vec{S_0}$. يتم تلخيص النتائج في الجدول II، الذي يوضح التعقيد الحسابي والوقت المرتبط بكلا الطريقتين، المشار إليهما بـ $c_{TT}$، $t_{TT}$ لتسعير TT، و $c_{MC}$، $t_{MC}$ لتسعير MC مع $10^6$ مسارات. يتم تمثيل متوسط الخطأ المطلق لأسعار الخيارات المعتمدة على TT عبر 100 مجموعة عشوائية من المعلمات بـ $e_{TT}$، بينما يتم الإشارة إلى الخطأ المقابل لتسعير MC بـ $e_{MC}$.
لضمان دقة تسعير الخيارات، وضع المؤلفون تحملًا منخفضًا لخوارزمية انكماش التنسور (TCI) عند $\epsilon_{TCI} = 10^{-9}$. كما استخدموا تحليل القيمة الفردية (SVD) لتقليل بعد الرابطة، مع تحمل قدره $\epsilon_{\phi,v}^{SVD} = 1.0 \times 10^{-6}$ للمعلمات $\phi$ و $v$. يتم الإشارة إلى أقصى أبعاد الرابطة لتمثيلات TT لهذه المعلمات كـ $\chi_{\phi}$ و $\chi_{v}$ في الجدول II. بالإضافة إلى ذلك، تم تطبيق SVD على التنسور $\tilde{V}_{k_1,\ldots,k_d}$، المشتق من انكماش TTs لـ $\phi$ و $v$، مع تحمل قدره $\epsilon_{\tilde{V}}^{SVD} = 1.0 \times 10^{-6}$، مما أسفر عن أقصى بعد رابطة يُشار إليه بـ $\chi_{V}$.
المناقشة
تتناول قسم المناقشة في الورقة مزايا استخدام تحليل حزمة التنسور (TT) لتقريب التنسورات عالية الأبعاد بكفاءة، لا سيما في سياق تسعير الخيارات. يسمح تنسيق TT بتقليل كبير في التعقيد الحسابي ومتطلبات الذاكرة من خلال الاستفادة من الهياكل ذات الرتبة المنخفضة. يقدم المؤلفون تقنيتين للضغط: الاستيفاء المتقاطع للتنسور (TCI) وتحليل القيمة الفردية (SVD). يتم تسليط الضوء على TCI لقدرتها على تعلم تمثيل TT من عدد محدود من نقاط العينة، مما يمكّن من تقريب الدوال متعددة المتغيرات دون الحاجة إلى الوصول إلى التنسور بالكامل. تعتبر هذه الطريقة مفيدة بشكل خاص لضغط التنسورات الكبيرة، حيث تقلل من خطأ المعيار الأقصى مع الحفاظ على الكفاءة الحسابية.
علاوة على ذلك، تناقش الورقة تطبيق الطرق المعتمدة على TT في تسعير الخيارات القائم على تحويل فورييه، مما يظهر فعاليتها في التعامل مع التعقيدات المرتبطة بتغيرات معلمات السوق، مثل تقلبات وأسعار الأصول. يسمح النهج المقترح بإعادة معايرة سريعة لأسعار الخيارات استجابةً للتغيرات في المدخلات، وهو أمر حاسم للتطبيقات المالية العملية. يؤكد المؤلفون أن طريقتهم المعتمدة على TT تتفوق على محاكاة مونت كارلو التقليدية من حيث الكفاءة الحسابية والدقة، خاصة عند التعامل مع مشاكل عالية الأبعاد. يقترحون أن الطريقة يمكن استخدامها بفعالية في سيناريوهات التداول في الوقت الحقيقي، حيث يمكن أن تسهل TTs المحسوبة مسبقًا تسعير الخيارات بسرعة أثناء تقلبات السوق. تشمل اتجاهات البحث المستقبلية استكشاف دمج معلمات إضافية في إطار TT لتعزيز قابليتها للتطبيق عبر أدوات مالية متنوعة.
DOI: https://doi.org/10.3390/math13111828
Publication Date: 2025-05-30
Author(s): Rihito Sakurai et al.
Primary Topic: Tensor decomposition and applications
Overview
In the realm of mathematical finance, enhancing the efficiency of option pricing, particularly for multi-asset options, remains a critical challenge. This study introduces a novel approach utilizing tensor train learning algorithms to expedite Fourier transform (FT)-based option pricing. By leveraging the capacity of tensor trains to compress high-dimensional tensors, the proposed method constructs tensor trains that effectively approximate functions relevant to FT-based option pricing, accounting for their parameter dependencies.
The efficacy of this method is demonstrated through benchmark tests involving the pricing of multi-asset options across various volatility levels and asset prices. The results indicate that the proposed tensor train approach significantly surpasses traditional Monte Carlo methods, which utilize $10^5$ and $10^6$ simulation paths, in terms of computational complexity while maintaining comparable accuracy. This advancement suggests a promising direction for improving option pricing methodologies in financial applications.
Introduction
In the introduction of this research paper, the authors address the complexities involved in option pricing, particularly focusing on European options, which provide payoffs based on the prices of underlying assets at a predetermined maturity time $T$. The paper highlights the necessity of accurate and rapid pricing methods in the financial industry, especially for multi-asset options, which present significant computational challenges due to the “curse of dimensionality.” Traditional pricing methodologies, such as PDE-based solvers and Monte Carlo methods, struggle with efficiency and convergence rates, prompting interest in quantum computing and quantum-inspired classical algorithms, specifically tensor network (TN) algorithms.
The authors propose an innovative approach that utilizes tensor train (TT) learning to enhance the Fourier transform (FT)-based option pricing method. This technique aims to efficiently approximate the expected payoff by converting the integration from asset price space to Fourier space. However, they identify a limitation in the existing TT-based method, which requires recalibration for each change in input parameters, leading to longer computation times compared to Monte Carlo methods. To overcome this, the authors introduce a novel application of TTs that incorporates parameter dependence, allowing for rapid option pricing adjustments without the need for repeated recalibration. Their numerical experiments demonstrate that this method significantly reduces computational complexity while maintaining accuracy, particularly in scenarios involving varying volatilities and asset prices under the Black-Scholes model. This study represents a pioneering effort in applying parameter-dependent TT approximations to FT-based option pricing, offering practical advantages in the dynamic financial market.
Results
In this section, the authors present the results of their analysis on the computational complexity, time, and accuracy of tensor train (TT)-based and Monte Carlo (MC)-based option pricing methods, varying two parameters, $\vec{\sigma}$ and $\vec{S_0}$. The findings are encapsulated in TABLE II, which details the computational complexity and time associated with both methods, denoted as $c_{TT}$, $t_{TT}$ for TT-based pricing, and $c_{MC}$, $t_{MC}$ for MC-based pricing with $10^6$ paths. The mean absolute error for TT-based option prices across 100 random parameter sets is represented by $e_{TT}$, while the corresponding error for MC-based pricing is denoted by $e_{MC}$.
To ensure the accuracy of option pricing, the authors set a low tolerance for the tensor contraction algorithm (TCI) at $\epsilon_{TCI} = 10^{-9}$. They also employed singular value decomposition (SVD) to reduce the bond dimension, with a tolerance of $\epsilon_{\phi,v}^{SVD} = 1.0 \times 10^{-6}$ for the parameters $\phi$ and $v$. The maximum bond dimensions for the TT representations of these parameters are indicated as $\chi_{\phi}$ and $\chi_{v}$ in TABLE II. Additionally, the SVD applied to the tensor $\tilde{V}_{k_1,\ldots,k_d}$, derived from the contraction of the TTs for $\phi$ and $v$, was conducted with a tolerance of $\epsilon_{\tilde{V}}^{SVD} = 1.0 \times 10^{-6}$, resulting in a maximum bond dimension denoted by $\chi_{V}$.
Discussion
The discussion section of the paper elaborates on the advantages of using Tensor Train (TT) decomposition for efficiently approximating high-dimensional tensors, particularly in the context of option pricing. The TT format allows for a significant reduction in computational complexity and memory requirements by leveraging low-rank structures. The authors introduce two compression techniques: Tensor Cross Interpolation (TCI) and Singular Value Decomposition (SVD). TCI is highlighted for its ability to learn a TT representation from a limited number of sample points, thus enabling the approximation of multivariate functions without requiring access to the entire tensor. This method is particularly beneficial for compressing large tensors, as it minimizes the maximum norm error while maintaining computational efficiency.
Furthermore, the paper discusses the application of TT-based methods in Fourier transform-based option pricing, demonstrating their effectiveness in handling the complexities associated with varying market parameters, such as asset volatilities and prices. The proposed approach allows for rapid recalibration of option prices in response to changing inputs, which is crucial for practical financial applications. The authors emphasize that their TT-based method outperforms traditional Monte Carlo simulations in terms of both computational efficiency and accuracy, particularly when dealing with high-dimensional problems. They suggest that the method can be effectively utilized in real-time trading scenarios, where pre-computed TTs can facilitate quick option pricing during market fluctuations. Future research directions include exploring the integration of additional parameters into the TT framework to enhance its applicability across various financial instruments.